九年级数学下册阶段专题复习第28章锐角三角函数习题课件新人教版20200326564.ppt
阶段专题复习第二十八章请写出框图中数字处的内容请写出框图中数字处的内容: : _；_；_；_;_;_;_;_._.直角三角形中一个角的对边与斜边的比直角三角形中一个角的对边与斜边的比直角三角形中一个角的邻边与斜边的比直角三角形中一个角的邻边与斜边的比直角三角形中一个角的对边与邻边的比直角三角形中一个角的对边与邻边的比a a2 2+b+b2 2=c=c2 2A+B=90A+B=90AaAbAasin A,cos A,tan AccAb的对边的邻边的对边斜边斜边的邻边考点考点 1 1 锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念【知识点睛知识点睛】1.1.三概念：正弦：三概念：正弦：sin A= sin A= ；余弦：；余弦：cos A=cos A=正切：正切：tan A= tan A= 2.2.两类型：一是求某一锐角的三角函数值；二是给出三角函数两类型：一是求某一锐角的三角函数值；二是给出三角函数值，得到边的关系，求线段的长度值，得到边的关系，求线段的长度. .3.3.一构造：锐角三角函数的概念是在直角三角形中定义的，在一构造：锐角三角函数的概念是在直角三角形中定义的，在非直角三角形中利用锐角函数解决问题时要通过构造直角三角非直角三角形中利用锐角函数解决问题时要通过构造直角三角形求解形求解. .A 的对边斜边A; 的邻边斜边A.A的对边的邻边【例例1 1】（20122012西宁中考）如图，在西宁中考）如图，在RtRtACBACB中中, ACB=90, ACB=90, ,已知已知CDABCDAB，BC=1.BC=1.（1 1）如果）如果BCD=30BCD=30，求，求AC.AC.（2 2）如果）如果tanBCD= tanBCD= ，求，求CD.CD.【思路点拨思路点拨】（1 1）先由）先由BCD=30BCD=30，CDABCDAB求求B B的度数的度数. .再再在直角三角形在直角三角形ABCABC中，利用三角函数求中，利用三角函数求AC.AC.（2 2）由）由tanBCD= tanBCD= ，CDAB,CDAB,故转化为故转化为 ，然后设元，然后设元，利用勾股定理可解得利用勾股定理可解得CD.CD.1313BD1DC3【自主解答自主解答】（1 1）CDABCDAB，BDC=90BDC=90. .DCB=30DCB=30. .B=60B=60，在在RtRtACBACB中，中，ACB=90ACB=90，tan 60tan 60= =AC=AC=ACBC，3.(2)(2)在在RtRtBDCBDC中，中，tan BCD=tan BCD=故设故设BD=kBD=k，则，则CD=3kCD=3k，由勾股定理得：由勾股定理得：k k2 2+(3k)+(3k)2 2=1=12 2, ,解得：解得： （不合题意，舍去），（不合题意，舍去），BD1CD3，121010k k1010，103 10kCD.1010，【中考集训中考集训】1.1.（20132013杭州中考）在杭州中考）在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，若，若AB=4AB=4，sin A= sin A= ，则斜边上的高等于，则斜边上的高等于( )( )A. B. C. D.A. B. C. D.【解析解析】选选B.B.通过通过sin A= ,AB=4,sin A= ,AB=4,可得出可得出sin B= ,BC= sin B= ,BC= ，如图，过点如图，过点C C作作ABAB边的垂线交边的垂线交ABAB边于点边于点D D，则根据则根据sin B= ,BC= ,sin B= ,BC= ,得出得出CD=CD=35642548251651253545125CD4BC512548.252.2.（20122012珠海中考）如图，珠海中考）如图，ABAB是是O O的直径，弦的直径，弦CDABCDAB，垂，垂足为足为E E，如果，如果AB=26AB=26，CD=24CD=24，那么，那么sinOCE=_.sinOCE=_.【解析解析】根据垂径定理可知根据垂径定理可知CE= CD=12CE= CD=12， 在在RtRtOECOEC中，中， 所以所以sinOCE=sinOCE=答案答案: :122222OEOCCE13125，OE5.OC135133.3.（20132013无锡中考）如图，在无锡中考）如图，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AB=10AB=10，sin A= sin A= 求求BCBC的长和的长和tan Btan B的值的值. .【解析解析】BC=ABBC=ABsin A=10sin A=10 =4, =4,25，252222ACABBC1042 21AC2 2121tan B.BC42，考点考点 2 2 特殊角的锐角三角函数值特殊角的锐角三角函数值【知识点睛知识点睛】1.1.特殊角的三角函数值：特殊角的三角函数值：锐角锐角sinsincoscostantan303045451 160601232332222321232.2.特殊角的三角函数值需要记忆，其简单记忆方法为特殊角的三角函数值需要记忆，其简单记忆方法为: :3030,45,45,60,60的正弦值记为的正弦值记为 ，余弦相反，正切值，余弦相反，正切值记为记为3.3.应用：由特殊角可求其三角函数值，反过来，由特殊角的三应用：由特殊角可求其三角函数值，反过来，由特殊角的三角函数值，可求特殊角角函数值，可求特殊角. .123,22223333,.333【例例2 2】（20122012南昌中考）计算：南昌中考）计算：sin 30sin 30+cos 30+cos 30tan 60tan 60【思路点拨思路点拨】根据特殊角的三角函数值代入计算根据特殊角的三角函数值代入计算. .【自主解答自主解答】原式原式= =2.= =2.131332222【中考集训中考集训】1.1.（20132013天津中考）天津中考）tan 60tan 60的值等于的值等于( )( )A.1 B. C. D.2A.1 B. C. D.2【解析解析】选选C.C.由由6060角的三角函数值可知角的三角函数值可知tan 60tan 60= =233.2.2.（20132013邵阳中考）在邵阳中考）在ABCABC中，若中，若 则则C C的度数是的度数是( )( )A.30A.30 B.45 B.45 C.60 C.60 D.90 D.90【解析解析】选选D.D.由于由于 0 0， 0 0，根据非负，根据非负数的性质，得数的性质，得sin A= sin A= ，cos B= cos B= ，依据特殊角三角函数值求，依据特殊角三角函数值求得得A=30A=30,B=60,B=60, ,最后利用三角形内角和定理可求得最后利用三角形内角和定理可求得C=180C=180-30-30-60-60=90=90. .211sinA(cosB)022，1sin A221(cos B)212123.3.（20122012百色中考）计算：百色中考）计算： = =（ ）A A2 B2 B0 C0 C1 D1 D-1-1【解析解析】选选A.A.原式原式=1+2-1=2.=1+2-1=2.101tan 45( )32 （）考点考点 3 3 解直角三角形解直角三角形【知识点睛知识点睛】1.1.定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程元素的过程. .2.2.三个关系：三个关系：（1 1）两锐角之间的关系：）两锐角之间的关系：A AB B9090. .（2 2）三边之间的关系：）三边之间的关系：a a2 2+b+b2 2=c=c2 2( (勾股定理勾股定理).).（3 3）边与角之间的关系：）边与角之间的关系：sin Asin AAa;c的对边斜边AbAacos A,tan A.cAb的邻边的对边斜边的邻边【例例3 3】(2013(2013重庆中考重庆中考) )如图，在如图，在ABCABC中，中，A=45A=45，B=30B=30，CDABCDAB，垂足为，垂足为D D，CD=1CD=1，则，则ABAB的长为的长为( )( )A.2 B. C. D. +1A.2 B. C. D. +12 33133【思路点拨思路点拨】在在RtRtACDACD和和RtRtBCDBCD中，分别运用解直角三角形中，分别运用解直角三角形的知识求出的知识求出ADAD和和BDBD的长的长【自主解答自主解答】选选D.D.在在RtRtACDACD中，中，A=45A=45，CD=1CD=1，则，则AD=CD=1AD=CD=1，在，在RtRtBCDBCD中，中，B=30B=30，CD=1CD=1，则，则BD= BD= ，故，故AB=BD+AD= +1.AB=BD+AD= +1.33【中考集训中考集训】1.1.（20132013德阳中考）如图，在德阳中考）如图，在O O上有定点上有定点C C和动点和动点P P，位于，位于直径直径ABAB的异侧，过点的异侧，过点C C作作CPCP的垂线，与的垂线，与PBPB的延长线交于点的延长线交于点Q Q，已，已知：知：O O半径为半径为 ，tanABC= tanABC= ，则，则CQCQ的最大值是的最大值是( )( )A.5 B. C. D. A.5 B. C. D. 5243154253203【解析解析】选选B.ABB.AB为为O O的直径，的直径，ACB=90ACB=90，CQCPCQCP，PCQ=ACB=90PCQ=ACB=90. .P+Q=A+ABCP+Q=A+ABC，P=AP=A，Q=ABCQ=ABC，CPCP为直径时最大为为直径时最大为2 2 =5 =5，在在RtRtPCQPCQ中中CQCQ的最大值的最大值= = 52PC515.4tan Q432.2.（20112011营口中考）已知营口中考）已知O O的直径的直径AB=2AB=2，过点，过点A A的两条弦的两条弦AC= AC= ，AD= AD= ，则，则CBD=_CBD=_【解析解析】如图，连接如图，连接BCBC，BDBD，则，则ACB=90ACB=90, ,因为因为cos CAB= cos CAB= ，所以，所以CAB=45CAB=45, ,同理可同理可求得求得BAD=30BAD=30，所以，所以CAD=15CAD=15, ,所以所以CBD=CAD=15CBD=CAD=15. .答案答案: :151523223.3.（20122012上海中考）如图上海中考）如图, ,在在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，D D是是边边ABAB的中点，的中点，BECDBECD，垂足为点，垂足为点E E已知已知AC=15AC=15，cosA=cosA=（1 1）求线段）求线段CDCD的长的长. .（2 2）求）求sinDBEsinDBE的值的值35【解析解析】（1 1）因为）因为ACB=90ACB=90，AC=15AC=15，cosA=cosA=AB= =25.AB= =25.又因为又因为D D为为ABAB的中点，的中点，所以所以CD= AB=12.5.CD= AB=12.5.（2 2）BC= =20BC= =20，在，在RtRtBCEBCE和和RtRtDBEDBE中，中，BEBE2 2=BD=BD2 2-DE-DE2 2=BC=BC2 2-CE-CE2 2, ,设设DEDE的长为的长为x x，则，则12.512.52 2-x-x2 2=20=202 2-(12.5+x)-(12.5+x)2 2，解得，解得x=3.5x=3.5，所以所以sinDBE=sinDBE=3,5ACcosA1222ABACDE3.57.BD12.525考点考点 4 4 解直角三角形的应用解直角三角形的应用【知识点睛知识点睛】1.1.三个术语：三个术语：（1 1）仰角、俯角：视线与水平线的夹角）仰角、俯角：视线与水平线的夹角. .（2 2）方位角：观测点与被观测点的连线与南北方向的夹角）方位角：观测点与被观测点的连线与南北方向的夹角. .（3 3）坡度：一个坡的垂直距离与水平距离的比值）坡度：一个坡的垂直距离与水平距离的比值. .2.2.一种思想：建模思想，将实际问题抽象为数学模型，解直角一种思想：建模思想，将实际问题抽象为数学模型，解直角三角形三角形. .【例例4 4】（20132013天津中考）天塔是天津市的标志性建筑之天津中考）天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度. .如图，他们在点如图，他们在点A A处处测得天塔最高点测得天塔最高点C C的仰角为的仰角为4545，再往天塔方向前进至点，再往天塔方向前进至点B B处测处测得最高点得最高点C C的仰角为的仰角为5454，AB=112 m.AB=112 m.根据这个兴趣小组测得的根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度数据，计算天塔的高度CD (tan 36CD (tan 360.730.73，结果保留整数，结果保留整数).).【思路点拨思路点拨】先在先在RtRtACDACD中得出中得出ADAD，CDCD的关系，然后表示出的关系，然后表示出BDBD，CDCD的关系，再在的关系，再在RtRtBCDBCD中，得出中，得出BDBD与与CDCD的关系，最后根的关系，最后根据相等关系列方程求解据相等关系列方程求解. .【自主解答自主解答】根据题意，有根据题意，有CAD=45CAD=45，CBD=54CBD=54，AB=112 mAB=112 m，在在RtRtACDACD中，中，ACD=CAD=45ACD=CAD=45，有，有AD=CD.AD=CD.又又AD=AB+BDAD=AB+BD，BD=AD-AB=CD-112.BD=AD-AB=CD-112.在在RtRtBCDBCD中，中，tanBCD= .tanBCD= .BCD=90BCD=90-CBD=36-CBD=36，tan 36tan 36= = ，得，得BD=CDBD=CDtan36tan36. .于是，于是，CDCDtan 36tan 36=CD-112=CD-112， 415(m).415(m).答：天塔的高度答：天塔的高度CDCD约为约为415 m.415 m.BDCDBDCD112112CD1tan 361 0.73【中考集训中考集训】1.(20131.(2013佛山中考佛山中考) )如图，若如图，若A=60A=60，AC=AC=20 m20 m，则，则BCBC大约是大约是( (结果精确到结果精确到0.1 m)( )0.1 m)( )A.34.64 m B.34.6 mA.34.64 m B.34.6 mC.28.3 m D.17.3 mC.28.3 m D.17.3 m【解析解析】选选B.A=60B.A=60，C=90C=90，B=30B=30，又又AC=20 mAC=20 m，AB=40 m,AB=40 m,由勾股定理得由勾股定理得, ,BC= 34.6BC= 34.6（m m）. .2222ABAC402020 32.2.（20132013河北中考）如图，一艘海轮位于灯塔河北中考）如图，一艘海轮位于灯塔P P的南偏东的南偏东7070方向的方向的M M处，处， 它以每小时它以每小时40 n mile40 n mile的速度向正北方向航的速度向正北方向航行，行，2 h2 h后到达位于灯塔后到达位于灯塔P P的北偏东的北偏东4040的的N N处，则处，则N N处与灯塔处与灯塔P P的距离为（的距离为（ ）A A40 n mile 40 n mile B B60 n mile60 n mileC C70 n mile 70 n mile D D80 n mile80 n mile【解析解析】选选D.D.由题意可知由题意可知NPM=180NPM=180-40-40-70-70=70=70，过点，过点P P的南北方向所在的直线与的南北方向所在的直线与MNMN平行，所以平行，所以M=70M=70，所以，所以NPM=MNPM=M，所以，所以PN=MN=40PN=MN=402=802=80（n milen mile）. .3.3.（20132013丽水中考）一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱丽水中考）一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，滑至如图位置时，AB=3 mAB=3 m，已知木箱高，已知木箱高BE= BE= 斜面坡角为斜面坡角为3030，求木箱端点，求木箱端点E E距地面距地面ACAC的高度的高度EF.EF.3 m，【解析解析】连接连接AEAE，在，在RtRtABEABE中，已知中，已知AB=3 mAB=3 m，BE= mBE= m，AE= m.AE= m.又又tanEAB= = ,tanEAB= = ,EAB=30EAB=30. .在在RtRtAEFAEF中，中，EAF=EAB+BAF=60EAF=EAB+BAF=60，EF= AEEF= AEsinEAF= sinEAF= sin 60sin 60= = =3 =3（m m）. .答：木箱端点答：木箱端点E E距地面距地面ACAC的高度的高度EFEF是是3 m.3 m.322ABBE2 333BEAB2 32 3324.4.（20132013南通中考）光明中学九年级（南通中考）光明中学九年级（1 1）班开展数学实践）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min50 m/min的速度向正东方向的速度向正东方向行走，在行走，在A A处测得建筑物处测得建筑物C C在北偏东在北偏东6060方向上，方向上，20 min20 min后他走后他走到到B B处，测得建筑物处，测得建筑物C C在北偏西在北偏西4545方向上，求建筑物方向上，求建筑物C C到公路到公路ABAB的距离（已知的距离（已知 1.7321.732）3【解析解析】作作CDABCDAB于点于点D D，AB=50AB=5020=1 000 m.20=1 000 m.由题知：由题知：CAB=90CAB=90-60-60=30=30，CBA=90CBA=90-45-45=45=45. .设设CDCD为为x x，则在则在RtRtACDACD中，中，tanCAB= tanCAB= ，即，即tan 30tan 30 ， 1.732x.1.732x.在在RtRtCBDCBD中，中，tanCBD= tanCBD= ，即即tan 45tan 45= = ，BD=xBD=x，x+1.732x=1 000 x+1.732x=1 000，解得，解得x366x366（m m）. .故建筑物故建筑物C C到公路到公路ABAB的距离约为的距离约为366 m.366 m.CDADxADxAD3xtan 30CDBDxBD
