相似三角形常用模型及应用(共13页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上相似三角形模型及应用相似证明中的基本模型A字形图字型，结论：，图反字型，结论：图双字型，结论：，图内含正方形字形，结论（为正方形边长）图 图 图 图 8字型图8字型，结论：，图反8字型，结论：、四点共圆图双8字型，结论：，图8字型，结论：图，结论：、图 图 图 图 图一线三等角型结论：出现两个相似三角形图 图 图 图 角分线定理与射影定理图内角分线型，结论：，图外角分线型，结论：图斜射影定理型，结论：，图射影定理型，结论：1、，2、，3、梅涅劳斯型常用辅助线中考满分必做题考点一 相似三角形【例1】 如图，、是的边、上的点，且，求证：.【例2】 如图，在中，于，于，的面积是面积的4倍，求的长.【例3】 如图，中，点是内一点，使得，则_【例4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求考点二：相似三角形与边的比例考点说明：可运用相似三角形模型，常用字形与字形【例5】 在中，的延长线交的延长线于， 求证：.【例6】 如图，在的边上取一点，在取一点，使，直线和的延长线相交于，求证：【例7】 如图，、为边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和的延长线于点、和.求证：.考点三：相似三角形与内接矩形考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边长为米，面积为平方米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。甲设计的方案如图所示，乙设计的方案如图所示，你认为哪位同学设计的方案较好，请说明理由（加工损耗忽略不计）【例8】 中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求.【例9】 如图，已知中，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长【例10】 如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，如果，求的面积【例11】 如图，在中，动点（与点，不重合）在边上，交于点（1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长（2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长（3）试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长考点四：与平行四边形有关的相似问题【例12】 如图，已知平行四边形中，过点的直线顺次与、及的延长线相交于点、，若，则的长是_【例13】 如图，已知，求证：.【例14】 如图，的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接交于点，若,求的值【例15】 如图：矩形的面积是36，在边上分别取点，使得，且与的交点为点，求的面积。【例16】 如图，已知在矩形中，为的中点，交于，连接（）.（1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.（2）设是否存在这样的值，使得，若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由.考点五 与梯形有关的相似问题【例17】 如图，梯形的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为，则梯形的面积是（ ）ABCD【例18】 如图，梯形中，两条对角线、相交于，若，那么_【例19】 如图，在梯形中，,，若，且梯形与梯形的周长相等，求的长【例20】 已知：如图，在梯形中，是的中点，分别连接、，且与交于点，与交于.（1）求证：（2）若,，求的长.【例21】 如图，在梯形中，分别是的中点，交于，交于，求的长 【例22】 如图，已知梯形中，,（）,交于点，连接.（1）判断与，与是否分别一定相似，若相似，请加以证明.（2）如果不一定相似，请指出、满足什么关系时，它们就能相似.考点六：相似三角形与实际问题考点说明：常见的题型如测量树高、楼高，或者路灯下影子长度等问题【例23】 小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是米和米。已知小华的身高为米，那么他所住楼房的高度为_米【例24】 如图，王华同学晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为米，他继续往前走米到达处时，测得影子的长为米，已知王华的身高是米，那么路灯的高度等于（ ）A.4.5米B.6米C.7.2米D.8米考点七：位似考点说明:位似可以考察作图题，也可以填空题的形式展现，但是难度相对较简单【例25】 如图，与的位似中心为点，若，则与的面积比是_，与的比是_【例26】 作一个多边形的位似图形，若相似比已知，下列说法中错误的是（ ）A.位似中心可以是多边形的一个顶点B.位似中心可以任意选取C.所作出位似图形的大小与位似中心的位置无关D.所作出位似图形的大小与位似中心的位置有关【例27】 如图是由边长为1个单位的小正方形组成的正方形网格，为一个定点，在网格中画出一个直角三角形，要求满足满足下列条件：三个顶点都是小正方形的顶点，是一条直角边的中点，斜边长，且以为位似中心，相似比为的位似图形也在正方形网格内，这样的三角形能画出几个？考点八：“旋转相似三角形”模型考点说明：此模型结合了相似与旋转的知识，在很多的几何综合问题中都能看到它的影子，因此也是非常重要的相似基本模型【例28】 如图，在和中，（1）写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）（2）请分别说明两对三角形相似的理由【例29】 我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：_（2）如图（1），在梯形中，垂足为求证：，即四边形是等平方和四边形证明： 如果将图（1）中的绕点按逆时针方向旋转度（）后得到图（2），那么四边形能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由证明：【例30】 如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与、不重合），以为一边在正方形外作正方形，连结，我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系： （1）猜想如图1中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图46），且，（，），第（1）题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由（3）在第（2）题图5中，连结、，且，求的值考点九：“双垂直”模型考点说明:射影定理图形，虽然在考纲中并没有要求射影定理，但是还是建议学生熟练掌握，为顺利结题提供方法和思路，以及它的变形【例31】 如图，直角中，证明：，【例32】 如图，中，点在上，是的中点，于，点是的中点，连接求证：考点十：“一线三等角”模型考点说明：一线三等角模型也是相似三角形中常见的图形之一【例33】 如图，求证：【例34】 如图，等边的边长为，为上一点，且，为上一点，若，则的长为（ ）A.B.C.D.专心-专注-专业
