工程力学复习知识点(共86页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上一、静力学1.静力学基本概念(1刚体刚体:形状大小都要考虑的,在任何受力情况下体内任意两点之间的距离始终保持不变的物体。在静力学中,所研究的物体都是指刚体。所以,静力学也叫刚体静力学。(2力力是物体之间的相互机械作用,这种作用使物体的运动状态改变(外效应和形状发生改变(内效应。在理论力学中仅讨论力的外效应,不讨论力的内效应。力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点,因此力是定位矢量,它符合矢量运算法则。力系:作用在研究对象上的一群力。等效力系:两个力系作用于同一物体,若作用效应相同,则此两个力系互为等效力系。(3平衡物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动。(4静力学公理公理1(二力平衡公理作用在同一刚体上的两个力成平衡的必要与充分条件为等大、反向、共线。公理2(加减平衡力系公理在任一力系中加上或减去一个或多个平衡力系,不改变原力系对刚体的外效应。推论(力的可传性原理作用于刚体的力可沿其作用线移至杆体内任意点,而不改变它对刚体的效应。在理论力学中的力是滑移矢量,仍符合矢量运算法则。因此,力对刚体的作用效应取决于力的作用线、方向和大小。公理3(力的平行四边形法则作用于同一作用点的两个力,可以按平行四边形法则合成。推论(三力平衡汇交定理当刚体受三个力作用而平衡时,若其中任何两个力的作用线相交于一点,则其余一个力的作用线必交于同一点,且三个力的作用线在同一个平面内。公理4(作用与反作用定律两个物体间相互作用力同时存在,且等大、反向、共线,分别作用在这两个物体上。公理5(刚化原理如变形物体在已知力系作用下处于平衡状态,则将此物体转换成刚体,其平衡状态不变。可见,刚体静力学的平衡条件对变形体成平衡是必要的,但不一定是充分的。(5约束和约束力1约束:阻碍物体自由运动的限制条件。约束是以物体相互接触的方式构成的。2约束力:约束对物体的作用。约束力的方向总与约束限制物体的运动方向相反。表4.1-1列出了工程中常见的几种约束类型、简图及其对应的约束力的表示法。其中前7种多见于平面问题中,后4种则多见于空间问题中。 受力分析图是分析研究对象全部受力情况的简图。其步骤是:1明确研究对象,解除约束,取分离体;2把作用在分离体上所有的主动力和约束力全部画在分离体上。 (7注意事项 画约束力时,一定按约束性质和它们所提供的约束力的特点画,并在研究对象与施力物体的接触处画出约束力;会判断二力构件和三力构件,并根据二力平衡条件和三力汇交定理确定约束力的方位;对于方向不能确定的约束力,有时可利用平衡条件来判定;若取整体为分离体时,只画外力,不画内力,当需拆开取分离体时,内力则成为外力,必须画上;一定注意作用力与反作用力的画法,这些力的箭头要符合作用与反作用定律;在画受力分析图时,不要多画或漏画力,要如实反映物体受力情况;画受力分析图时,应注意复铰(链接两个或两个以上物体的铰、作用于铰处的集中力和作用于相邻刚体上的线分布力等情况的处理方法。2. 力的分解、力的投影、力对点之矩与力对轴之矩 (1力沿直角坐标轴的分解和力在轴上的投影 X Y Z x y z F F F F F i F j F k =+=+式中:i 、j 、k 分别是沿直角坐标轴x 、y 、z 轴的基矢量;X F 、Y F 、Z F分别为F 沿直角坐标轴的分力;x F 、y F 、z F 分别为F在直角坐标轴x 、y 、z 轴上的投影,且分别为(如图4.1-1cos cos sin cos x xy F F F F = cos sin sin sin y xy F F F F =cos z F F = 图4.1-1式中:、分别为F 与各轴正向间的夹角;xy F 则为F在Oxy 平面上的投影,如图4.1-1所示。(2力对点之矩(简称力矩在平面问题中,力F对矩心O 的矩是个代数量,即(OM F Fa =±式中a 为矩心点至力F作用线的距离,称为力臂。通常规定力使物体绕矩心转动为逆时针方向时,上式取正号,反之则取负号。在空间问题中,力对点之矩是个定位矢量,如图4.1-2,其表达式为 图4.1-2(OO z y x z y x M F M r F yF zF i zF xF j xF yF k =-+-+-力矩的单位为N m 或kN m 。 (3力对轴之矩 图4.1-3力F 对任一z 轴之矩为力F在垂直z 轴的平面上的投影对该平面与z 轴交点O 之矩,即(2''z O xy xy M F M F F a OA B =±=±其大小等于二倍三角形''OA B 的面积,正负号依右手螺旋法则确定,即四指与力F的方向一致,掌心面向轴,拇指指向与z 轴的指向一致,上式取正号,反之取负号。显然,当力F与矩轴共面(即平行或相交时,力对轴之矩等于零。其单位与力矩的单位相同。从图4.1-3中可见,''OA B 的面积等于OAB 面积在''OA B 平面(即Oxy 面上的投影。由此可见,力F 对z 轴之矩(z M F 等于力F对z 轴上任一点O 的矩(OM F 在z 轴上的投影,或力F对点O 的矩(O M F 在经过O 点的任一轴上的投影等于力F对该轴之矩。这就是力对点之矩与对通过该点的轴之矩之间的关系。即(x Oz y x M F M F yF zF =-(y Ox z y M F M F zF xF =-(z Oy x zM F M F xF yF =-(4合力矩定理当任意力系合成为一个合力R F 时,则其合力对于任一点之矩(或矩矢或任一轴之矩等于原力系中各力对同点之矩(或矩矢或同轴之矩的代数和(或矢量和。(O R O i m F m F =力对点之矩矢(OR O i m F m F =力对点之矩(x R x i m F m F =力对轴之矩3.汇交力系的合成与平衡(1汇交力系:诸力作用线交于一点的力系。 (2汇交力系合成结果根据力的平行四边形法则,可知汇交力系合成结果有两种可能:其一,作用线通过汇交点的一个合力R F ,为R i F F =;其二,作用线通过汇交点的一个合力R F 等于零,即0R i F F =,这是汇交力系平衡的充要条件。(3汇交力系的求解求解汇交力系的合成与平衡问题各有两种方法,即几何法与解析法,如表4.1-2所示。对于空间汇交力系,由于作图不方便一般采用解析法。 (1力偶与力偶矩1力偶(,'F F:等量、反向、不共线的两平行力组成的力系。2力偶的性质:力偶没有合力,即不能用一个力等效,也不能与一个力平衡。力偶对物体只有旋转效应,没有移动效应。力偶在任一轴上的投影为零。力偶只能与力偶等效或平衡。3力偶矩:力偶的旋转效应决定于力偶矩,其计算如表4.1-3所述。 力偶臂。(2力偶系的合成与平衡力偶系合成结果有两种可能,即一个合力偶或平衡。具体计算时,通常采用解析法,如表4.1-4所述。 表中,ix m 、iy m 、iz m 分别为力偶矩矢i m 在相应坐标轴上的投影。注意,力偶中两个力F 和'F ,对任一x 轴之矩的和等于该力偶矩矢m在同一轴上的投影,即('cos x x x m F m F m m +=式中,为m矢量与x 轴的夹角。(3汇交力系和力偶系的平衡问题首先选取分离体;然后画分离体受力分析图,在分析约束力方向时,注意利用力偶只能与力偶相平衡的概念来确定约束力的方向;接下来,列写平衡方程,对于力的投影方程,尽量选取与未知力垂直的坐标轴,使参与计算的未知量的个数越少越好,尽量使一个方程求解一个未知量,而力偶系的平衡方程与矩心的选取没有关系,注意区分力偶的矢量方向或是转向,确定好投影的正方向;最后求出结果,结果的绝对值表示大小,正负号表示假设方向是否与实际的指向一致,正号代表一致,负号则表示相反。 5.一般力系的简化与平衡 ( 1力线平移定理 作用在刚体上的力,若其向刚体上某点平移时,不改变原力对刚体的外效应,必须对平移点附加一个力偶,该附加力偶矩等于原力对平移点之矩。同理,根据力的平移定理可得:共面的一个力'F 和一个力偶m 可合成为一个合力F ,合力F 的大小、方向与原力相等,其作用线离原力作用线的距离为md F=。 (2任意力系的简化 1简化的一般结果 根据力线平移定理,可将作用在刚体上的任意力系向任一点O (称为简化中心简化,得到一个作用在简化中心的共点力系和一个附加力偶系,进而可以合成为一个力和一个力偶。该力等于原力系向简化中心简化的主矢,该力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。主矢 i R F F =作用线通过简化中心O主矩 (O O i O O i M m F M m F =空间:平面:注:主矢的方向和大小与简化中心无关,只与原力系中各个分力相关,其作用线仍通过简化中心;主矩一般与简化中心的位置有关。2简化的最后结果任意力系向一点简化后的最后结果,见表4.1-5。 3平行分布的线载荷的合成 平行分布线载荷和线载荷集度平行分布线载荷:沿物体中心线分布的平行力,简称线载荷。 线载荷集度:沿单位长度分布的线载荷,以q 表示,其单位为N m或kNm。同向线荷载合成结果同向线荷载合成结果为一个合力R F,该合力的大小和作用线位置依据合力投影定理和合力矩定理求得。均匀分布和线性分布的线载荷合成结果如表4.1-6所述。 (3力系的平衡条件与平衡方程任意力系平衡条件:力系向任一点简化的主矢和主矩都等于零,即 =0i RF F =(=0O O i M M F =表4.1-7列出了各力系的平衡方程。但应当指出,在空间力系和空间平行力系的平衡方程组中,其投影方程亦可用对轴的力矩方程来替代。当然,该力矩方程必须是独立的平衡方程,即可用它来求解未知量的平衡方程。 6.物体系统的平衡(1静定与静不定问题1静定问题若未知量的数目等于独立平衡方程的数目,则应用刚体静力学的理论,就可以求得全部未知量的问题,如图4.1-4(a。2静不定(超静定问题若未知量的数目超过独立平衡方程的数目,则单独应用刚体静力学的理论就不能求出全部未知量的问题,如图 4.1-4(b。静不定问题仅用刚体平衡方程式不能完全求解所有未知量,还需考虑作用与物体上的力与物体变形的关系,再列出某些补充方程来求解。静不定问题已超出了理论力学所能研究的范围,将留待材料力学、结构力学等课程中取研究。 3静不定次(度数在超静定结构中,总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数 (2物体系统平衡问题的解法和步骤1判断物体系统是否属于静定系统。物体系统是否静定,仅取决于系统内各物体所具有的独立平衡方程的个数以及系统未知量的总数,而不能由系统中某个研究对象来判断系统是否静定。若由n 个物体组成的静定系统,且在平面任意力系作用下平衡,则该系统总共可列出3n 个独立平衡方程能解出3n 个未知量。当然,若系统中某些物体受其他力系作用时,则其独立平衡方程数以及所能求出的未知量数均将相应变化。2选取研究对象的先后次序的原则是便于求解。根据已知条件和待求量,可以选取整个系统为研究对象,也可以取其中的某些部分或是某一物体为研究对象。3分析研究对象的受力情况并画出受力分析图。在受力分析图上只画外力而不画内力。在各物体的拆开出,物体间的相互作用力必须符合作用与反作用定律。画物体系统中某研究对象的受力分析图时,不能将作用在系统中其他部分上的力传递、移动和合成。4列出平衡方程。平衡方程要根据物体所作用的力系类型列出,不能多列。为了避免解联立方程,应妥当地选取投影轴和矩轴(或矩心。投影轴应尽量选取与力系中多数未知力的作用线垂直;而矩轴应使其与更多的未知力共面(矩心应选在多数未知力的交点上。力求做到一个平衡方程中只包含一个未知量。5由平衡方程解出未知量。若求得的约束力或约束力偶为负值。说明力的指向或力偶的转向与受力分析图中假设相反。若用它代入另一个方程求解其他未知量时,应连同其负号一起代入。6利用不独立平衡方程进行校核。 7.平面桁架 (1定义由若干直杆在两端用铰链彼此连接而成几何形状不变的结构成为桁架。杆件与杆件的连接点称为节点。所有杆件的轴线在同一平面内的桁架称为平面桁架,否则称为空间桁架。(2对于桁架的分析计算作如下假设 1各杆件都用光滑铰链连接。 2各杆件都是直杆。3杆件所受的外载荷都作用在节点上。对于平面桁架各力作用线都在桁架平面内。4各杆件的自重或略去不计,或平均分配到杆件两端的节点上。根据以上假设,桁架中各杆件都是二力构件,只受到轴向力作用,受拉或受图压。(3平面桁架内力的计算方法分析桁架的目的就在于确定各杆件的内力,通常有两种计算桁架内力的方法,如表4.1-8所述。当需要计算桁架中所有杆件的内力时,可采用节点法;若仅计算桁架中某几根杆件的内力,一般以截面法较为方便,但有时也可综合应用节点法和截面法。在计算中,习惯将各杆件的内力假设为拉力。若所得结果为正值,说明杆件是拉杆,反之则为压杆。 所述的三种情况,零力杆可以直接判断出。 (1物体的重心是一确定的点,它与物体在空间的位置有关。(2物体的重心坐标公式1i i C i i C i i Cx P x P y P y P z P z P =或P C P C PC xdP x P ydP y P zdP z P = 式中:C x 、C y 、C z 表示物体重心C 的坐标;P 及dP 表示各微小部分的重量;i x 、i y 、i z 及x 、y 、z 表示各微小部分重心所在位置的坐标;P 表示物体的总重量。2当物体在同一近地表面时,其重心就是其质心,则质心坐标公式为i i C i i C i i C x m x M y m y M z m z M =或MC MC MC xdmx Mydmy Mzdmz M=式中:C x 、C y 、C z 表示物体质心C 的坐标;m 及dm 表示各微小部分的质量;i x 、i y 、i z 及x 、y 、z 表示各微小部分质心所在位置的坐标;M 表示物体的总质量。3当物体在同一近地表面及均质时,其重心就是体积中心,则体积中心的坐标公式为i iC i i C i i Cx V x V y V y V z V z V =或V C VC VC xdV x V ydV y V zdV z V = 式中:C x 、C y 、C z 表示物体体积中心C 的坐标;V 及dV 表示各微小部分的体积;i x 、i y 、i z 及x 、y 、z 表示各微小部分体积中心所在位置的坐标;V 表示物体的总质量。4 当物体在同一近地表面、均质及等厚薄板时,其重心就是形心,则形心的坐标公式为i i C i i C i i Cx A x A y A y A z A z A =或AC A CAC xdA x A ydA y A zdA z A = 式中:C x 、C y 、C z 表示物体形心C 的坐标;A 及dA 表示各微小部分的面积;i x 、i y 、i z 及x 、y 、z 表示各微小部分形心所在位置的坐标;A 表示物体的总面积。一、轴向拉伸与压缩 (一考试大纲1.材料在拉伸、压缩时的力学性能低碳钢、铸铁拉伸、压缩实验的应力-应变曲线;力学性能指标。2.拉伸和压缩轴力和轴力图;杆件横截面和斜截面上的应力;强度条件;胡克定律;变形计算。(二考点主要内容 要求:了解轴向拉(压杆的受力特征与变形特征; 了解内力、应力、位移、变形和应变的概念; 掌握截面法求轴力的步骤和轴力图的作法;掌握横截面上的应力计算,了解斜截面上的应力计算; 熟悉胡克定律及其应用、拉(压杆变形计算;了解常用工程材料(低碳钢、铸铁拉(压时的力学性能,掌握强度条件的应用。 1. 引言1 材料力学的任务材料力学是研究构件强度、刚度和稳定性计算的学科。这些计算是工程师选定既安全又最经济的构件材料和尺寸的必要基础。强度是指构件在荷载作用下抵抗破坏的能力。 刚度是指构件在荷载作用下抵抗变形的能力。 稳定性是指构件保持其原有平衡形式的能力。 2 变形固体的基本假设各种构件均由固体材料制成。固体在外力作用下将发生变形,故称为变形固体。材料力学中对变形固体所作的基本假设如下。连续性假设:组成固体的物质毫无空隙地充满了固体的几何空间。均匀性假设:在固体的体积内,各处的力学性能完全相同。各向同性假设:在固体的各个方向上有相同的力学性能。小变形的概念:构件由荷载引起的变形远小于构件的原始尺寸。3杆件的主要几何特征杆件是指长度L远大于横向尺寸(高度和宽度的构件。这是材料力学研究的主要对象。杆件的两个主要的几何特征是横截面的轴线。横截面:垂直于杆件长度方向的截面。轴线:各横截面形心的连线。若杆的轴线为直线,称为直杆。若杆的轴线为曲线,称为曲杆。2.轴向拉伸与压缩 图5-1-1轴向拉伸与压缩杆件的力学模型,如图5-1-1所示。受力特征:作用于杆两端的外力的合力,大小相等、指向相反、沿杆件轴线作用。变形特征:杆件主要产生轴线方向的均匀伸长(缩短。3.轴向拉伸(压缩杆横截面上的内力1内力内力是由外力作用而引起的构件内部各部分之间的相互作用力。2截面法截面法是求内力的一般方法。用截面法求内力的步骤如下。截开:在须求内力的截面处,假想沿该截面将构件截开分为二部分。代替:任取一部分为研究对象,称为脱离体。用内力代替弃去部分对脱离体的作用。平衡:对脱离体列写平衡条件,求解未知内力。截面法的图示如图5-1-2所示。 图5-1-23轴力轴向拉压杆横截面上的内力,其作用线必定与杆轴线相重合,称为轴力,以F或N表示。轴力规定以拉力为正,压力为负。N4轴力图轴力图是表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化规律的图线,如图5-1-3。4. 轴向拉压杆横截面上的应力轴向拉杆横截面上的应力垂直于截面,为正应力。正应力在整个横截面上均匀分布,如图5-1-4所示,其表示为AF N= (5-1-1式中:为横截面上的正应力,N/m 2或Pa ;N F 为轴力,N ;A 为横截面面积,m 2。 315-图415-图5. 轴向拉压杆斜截面上的应力斜截面上的应力均匀分布,如图5-1-5,其总应力及应力分量为总应力cos 0=A F p N(5-1-2正应力20cos cos =p(5-1-3切应力2sin 2sin 0=p(5-1-4式中:为由横截面外法线转至截面外法线的夹角,以逆时针转动为正;A 为斜截面m-m 的截面积;0为横截面上的正应力。以拉应力为正,压应力为负。以其对脱离体内一点产生顺时针力矩时为正,反之为负。轴向拉压杆中最大正应力发生在 0=的横截面上,最小正应力发生在F F图5-1-490=的纵截面上,其值分别为min 0max =最大切应力发生在 45±=的斜截面上,最小切应力发生在 0=的横截面和 90=的纵截面上,其值分别为2minmax= 图5-1-56. 材料的力学性能1 低碳钢在拉抻时的力学性能低碳钢拉伸时的应力-应变曲线如图5-1-6所示。 图5-1-6 低碳钢拉伸时的应力应变曲线这一曲线分四个阶段,有四个特征点,见表5-1-1。 卸载定律:在卸载过程中,应力和应变按直线规律变化,如图5-1-6中的直线d d '。冷作硬化:材料拉伸到强化阶段后,卸除荷载,再次加载时,材料的比例极限提高 而塑性降低的现象,称为冷作硬化,如图5-1-6中曲线def d ',在图5-1-6中,f o '段表示未经冷作硬化,拉伸至断裂后的塑性应变;f d ''段表示经冷作硬化,再拉伸到断裂后的塑性应变。主要性能指标表5-1-2。 2 低碳钢的力学性能低碳钢在压缩时的应力应变曲线如图5-1-7中实线所示。低碳钢压缩时的比例极限p 、屈服强度e 、弹性模量E 与拉伸时基本相同,但测不出抗拉强度b 。3 铸铁拉伸时的力学性能铸铁拉伸时的应力-应变曲线如图5-1-8所示。 图5-1-7 低 碳钢压缩时的应力应变曲线图5-1-8 铸铁拉伸时的应力应变曲线应力与应变无明显的线性关系,拉断前的应变很小,实验时只能测到抗拉强度b 。弹性模量E 以总应变为0.1%时的割线斜率来度量。4 铸铁压缩时的力学性能铸铁压缩时的应力-应变曲线如图5-1-9所示。铸铁压缩时的抗压强度比拉伸时大45倍,破坏时破裂面与轴线成4535角,宜于作抗压构件。5 塑性材料和脆性材料延伸率%5<的材料称为脆性材料。6 屈服强度2.0对于没有明显屈服阶段的塑性材料,通常用材料产生0.2%的残余应变时所对应的应力作为屈服强度,并以2.0表示,如图5-1-10所示。 o图5-1-10图5-1-9%2.00 7. 强度条件1 许用应力材料正常工作容许采用的最高应力,由极限应力除以安全系数求得。塑性材料 ssn =脆性材料 bbn =式中:s 为屈服强度;b 为抗拉强度;n s 、n b 为安全系数。2 强度条件构件的最大工作应力不得超过材料的许用应力。轴向拉压杆的强度条件为=AF maxN max 强度计算的三大类问题: 强度校核 =AF maxN max 截面设计 maxN A 确定许可荷载 A F N max ,再根据平衡条件,由max N F 计算P 。 8. 轴向拉压杆的变形 胡克定律1 轴向拉压杆的变形杆件在轴向拉伸时,轴向伸长,横向缩短;而在轴向压缩时,轴向缩短,横向伸长,如图5-1-11所示。 图5-1-11轴向变形L L L -'=(5-1-8轴向线应变 LL= (5-1-9横向变形a a a -'=(5-1-10横向线应变aa=' (5-1-112 胡克定律当应力不超过材料比例极限时,应力与应变成正比,即E =式中 E 为材料的弹性模量。或用轴力及杆件变形量表示为EALF L N = 式中:EA 为杆的抗拉(压刚度,表示抗拉压弹性变形的能力。3 泊松比当应力不超过材料的比例极限时,横向线应变'与轴向线应变之比的绝对值为一常数,即'=泊松比是材料的弹性常数之一,无量纲。 二、剪切(一考试大纲剪切和挤压的实用计算;剪切面;挤压面;抗剪强度;挤压强度。 (二考点主要内容要求:熟悉连接件与被连接件的受力分析;准确判定剪切面与挤压面,掌握剪切与挤压的实用计算;准确理解切应力互等定理的意义,了解剪切胡克定律及其应用。 1. 剪切的概念及实用计算(1 剪切的概念 S 图5-2-1剪切的力学模型如图5-2-1所示。受力特征:构件上受到一对大小相等、方向相反,作用线相距很近且与构件轴线垂直的力作用。变形特征:构件沿内力的分界面有发生相对错动的趋势。剪切面:构件将发生相对错动的面。剪力:剪切面上的内力,其作用线与剪切面平行,用S F 或Q 表示。 (2 剪切实用计算 1 名义切应力假定切应力沿剪切面是均匀分布的。若s A 为剪切面面积,s F 为剪力,则名义切应力为ssA F =(5-2-12 许用切应力按实际的受力方式,用实验的方法求得名义剪切极限应力 ,再除以安全因数n 。3 剪切条件剪切面上的工作切应力不得超过材料的许用切应力=ssA F(5-2-22. 挤压的概念及实用计算(1 挤压的概念挤压:两构件相互接触的局部承压作用。 挤压面:两构件间相系接触的面。挤压力b F :承压接触面上的总压力。(2 挤压实用计算 1 名义挤压应力假设挤压力在名义挤压面上均匀分布,则名义挤压应力为bsbbs A F = (5-2-3式中:A bs 为名义挤压面面积。当挤压面为平面时,则名义挤压面面积等于实际的承压接触面面积;当挤压面为曲面时,则名义挤压面面积各取为实际承压接触面在垂直挤压力方向的投影面积,如图5-2-2所示。 图5-2-2键的名义挤压面面积L hA 2bs =铆钉的名义挤压面面积为dt A =bs2 许用挤压应力 根据直接实验结果,按照名义挤压应力公式计算名义极限挤压应力,再除以安全系数。3 挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力,即bs bsbbs A F =3. 切应力互等定理 剪切胡克定律(1 纯剪切纯剪切:若单元体各个侧面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切。纯剪切引起的剪应变,如图5-2-3所示。剪应变:在切应力作用下,单元体两相互垂直边间直角的改变量。单位为rad ,无量纲。在材料力学中规定以单元体左下直角增大时,为正,反之为负。 (2 切应力互等定理在互相垂直的两个平面上,垂直于两平面交线的切应力,总是大小相等,且共同指向或背离这一交线(图5-2-3,即'=(3 剪切胡克定律当切应力不超过材料的剪切比例极限时,切应力与剪应变成正比,即 G =式中G 为剪切弹性模量。对各向同性材料,E 、G 、间只有二个独立常数,它们之间的关系为(+=12EG三、扭转(一考试大纲扭矩和扭矩图;圆轴扭转切应力;切应力互等定理;剪切胡克定律;圆轴扭转的强度条件:扭转角计算及刚度条件。 (二考点主要内容要求:了解杆件产生扭转变形的受力特征与变形特征;了解传动轴的外力偶矩计算,掌握求扭矩和作扭矩图的方法;图5-2-3掌握横截面上切应力分布规律和切应力的计算; 掌握圆截面极惯性矩、抗扭截面系数计算公式。 1. 扭转的概念(1 扭转的力学模型扭转的力学模型如图5-3-1所示。 图5-3-1扭转的力学模型e受力特征:杆两端受到一对力偶矩相等、转向相反、作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。变形特征:杆件表面纵向线变成螺旋线,即杆件任意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。扭转角:杆件任意两横截面间相对转动的角度。 (2 外力偶矩的计算轴所传递的功率、转速与外力偶矩间有如下关系:(min kW 55.9r n N M e =(5-3-1(m i nPs 02.7r n N M e = (5-3-2式中:传递功率N 的单位为千瓦(kW 或公制马力(S P ,s m N 5.735P 1S =;转速n 的单位为转每分(r/min ,Me 的单位为kN ·m 。 2. 扭矩和扭矩图扭矩:受扭杆件横截面上的内力,是一个横截面平面内的力偶,其力偶矩称为扭矩,用T 表示,见图5-3-2,其值用截面法求得。扭矩符号:扭矩T 的正负号规定,以右手法则表示扭矩矢量,当矢量的指向与截面外向的指向一致时,扭矩为正,反之为负。扭矩图:表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 3. 圆杆扭转时的切应力及强度条件(1 横截面上的切应力 1 切应力分布规律横截面上任一点的切应力,其方向垂直于该点所在的半径,其值与该点到圆心的距离成正比,见图5-3-3。 e图5-3-2 max图5-3-32 切应力计算公式横截面上距圆心为的任一点的切应力=PI T(5-3-3横截面上的最大切应力发生在横截面周边各点处其值为 tp m a xW TR I T = (5-3-4 3 切应力计算公式的讨论公式适用于线弹性范围(max ,小变形条件下的等截面实心或空心圆直杆。T 为所求截面上的扭矩。 I p 称为极惯性矩,W t 称为抗扭截面系数,其值与截面尺寸有关。 图5.3-4(a对于实心圆截面(图5-3-4(a16323t 4P d W d I =,(5-3-5对于空心圆截面(图5-3-4(b(4344116132-=-=D W D I t P ,(5-3-6其中:Dd =。 (2 圆杆扭转时的强度条件强度条件:圆杆扭转时横截面上的最大切应力不得超过材料的许用切应力,即maxmax pT W = (5-3-7由强度条件可对受扭圆杆进行强度校核、截面设计和确定许可荷载三类问题的计算。4. 圆杆扭转时的扭转角计算及刚度条件(1 圆杆的扭转角计算 单位长度扭转角PGI Tdx d =(5-3-8式中:的单位为m rad 扭转角rad dx GI T Lp =(5-3-9式中:的单位为rad若长度L L 内T 、G 、I P 均为常量,则 PGI TL= (5-3-10公式适用于线弹性范围,小变形下的等直圆杆。P GI 表示圆杆抵抗扭转弹性变形的能力称为抗扭刚度。(2 圆杆扭转时的刚度条件刚度条件:圆杆扭转时的最大单位长度扭转角不得超赤规定的许可值,即(m GI M p T=180max max由刚度条件,同样可对受扭圆杆进行刚度校核、截面设计和确定许可荷载三 类问题的计算。 (三例题分析例题1:某传动轴,承受m KN M e =0.2外力偶作用,轴材料的许用切应力为MPa 60=,试分别按横截面为实心圆截面,直径为d ;横截面为8.0=的空心圆截面,外径为D ,内径为1d ,确定轴的截面尺寸,并确定其重量比。(A 3.052.499.719.511=实空G G mmd mmD mm d (B 152.399.619.411=实空G G mmd mmD mm d (C =实空G G mmd mmD mm d (D 5.052.499.619.511=实空G G mmd mmD mm d 答案:(D 解析: 1横截面为实心圆截面.设轴的直径为d ,则ep M Td W =163所以有mm M d e9.51109.511080102.33=- 2横截面为空心圆截面,设横截面的外径为D ,得(ep M D W -=16143所以有(mm M D e 9.61109.6110808.01102.364334=-=- 3重量比较,由于两根轴的材料和长度相同,其重量之比就等于两者的横截面面积之比,利用以上计算结果得:(5.05252.499.6141d 4G 2222212=-=-d D A AG =实空实空 结果表明,在满足强度的条件下,空心圆轴的重量是实心圆轴重量的一半。 例题2:某传动轴,转速n =300 r/min(转/分,轮1为主动轮,输入的功率P 1=50 kW ,轮2、轮3与轮4为从动轮,输出功率分别为P 2=10 kW ,P 3=P 4=20 kW 。 (1 试画轴的扭矩图,并求轴的最大扭矩。 (2 若将轮1与论3的位置对调,轴的最大扭矩变为何值,对轴的受力是否有利。 解:(1 计算各传动轮传递的外力偶矩;91.7 318.3 636.7PM Nm M Nm M M Nmn =(2 画出轴的扭矩图,并求轴的最大扭矩; max 1273.4 T kNm =(3 对调论1与轮3,扭矩图为; max 955 T kNm = 所以对轴的受力有利。T955T (Nm4P例题3:图示受扭圆杆,沿平面ABCD 截取下半部分为研究对象,如图b 所示。试问截面ABCD 上的切向内力所形成的力偶矩将由哪个力偶矩来平衡? 解题分析:由切应力互等定理可知截面ABCD 上的切向内力分布及其大小。该截面上切向内力形成一个垂直向上的力偶矩。在图b 中,左右两个横截面上的水平切向内力分量形成垂直于截面ABCD 的竖直向下的力偶矩,正好与截面ABCD 上切向内力的合力偶矩平衡。解:1、计算长为 l 的纵截面ABCD 上切向内力的合力偶矩。如图c 所示,在纵截面上取一微面积d l dA = ,其上切向内力的合力即ld I Tld dF Ps = 微剪力对z 轴的微力矩为ld I T ld dF dM ps z 2= 积分得到纵截面上切向内力对z 轴的合力偶矩为pRp z z I TlR ld I T dM M 322320=,方向竖直向上。 2、计算两端横截面切向内力的水平分量形成的力偶矩如图d 所示,微面积d d dA =上切向内力的水平分量为d d I T d d dF psin sin 2= 右端横截面上剪力的水平分量为32200s 32sin 2R I T d d I T F pR p =左右两个横截面上水平剪力形成绕z 轴的力偶矩为3s 32lR I T l F p=,竖直向下。 所以,截面ABCD 上的切向内力所形成的力偶矩将由左右两个横截面上水平剪力形成