2013年高考理科数学福建卷word解析版.doc

精选优质文档-倾情为你奉上2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)第卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013福建，理1)已知复数z的共轭复数12i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限2(2013福建，理2)已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3(2013福建，理3)双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()A B C D4(2013福建，理4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A588 B480 C450 D1205(2013福建，理5)满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B13 C12 D106(2013福建，理6)阅读如图所示的程序框图，若输入的k10，则该算法的功能是()A计算数列2n1的前10项和B计算数列2n1的前9项和C计算数列2n1的前10项和D计算数列2n1的前9项和7(2013福建，理7)在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A B C5 D108(2013福建，理8)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点9(2013福建，理9)已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1·am(n1)2··am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是()A数列bn为等差数列，公差为qmB数列bn为等比数列，公比为q2mC数列cn为等比数列，公比为qm2D数列cn为等比数列，公比为qmm10(2013福建，理10)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足：(1)Tf(x)|xS；(2)对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是()AAN*，BNBAx|1x3，Bx|x8或0x10CAx|0x1，BRDAZ，BQ第卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡的相应位置11(2013福建，理11)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_12(2013福建，理12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_13(2013福建，理13)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB，AD3，则BD的长为_14(2013福建，理14)椭圆：(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2C若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_15(2013福建，理15)当xR，|x|1时，有如下表达式：1xx2xn.两边同时积分得：，从而得到如下等式：.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：_.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16(2013福建，理16)(本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？17(2013福建，理17)(本小题满分13分)已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值18(2013福建，理18)(本小题满分13分)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，A9和B1，B2，B9.连结OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*,1i9)(1)求证：点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若OCM与OCN的面积比为41，求直线l的方程19(2013福建，理19)(本小题满分13分)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)(1)求证：CD平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值；(3)现将与四棱柱ABCDA1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的解析式(直接写出答案，不必说明理由)20(2013福建，理20)(本小题满分14分)已知函数f(x)sin(x)(0,0)的周期为，图象的一个对称中心为.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；(2)是否存在x0，使得f(x0)，g(x0)，f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由；(3)求实数a与正整数n，使得F(x)f(x)ag(x)在(0，n)内恰有2 013个零点21(2013福建，理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分如果多做，则按所做的前两题计分作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中(1)(本小题满分7分)选修42：矩阵与变换已知直线l：axy1在矩阵对应的变换作用下变为直线l：xby1.求实数a，b的值；若点P(x0，y0)在直线l上，且，求点P的坐标(2)(本小题满分7分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为a，且点A在直线l上求a的值及直线l的直角坐标方程；圆C的参数方程为(为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系(3)(本小题满分7分)选修45：不等式选讲设不等式|x2|a(aN*)的解集为A，且A，A求a的值；求函数f(x)|xa|x2|的最小值2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)第卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：D解析：由12i，得z12i，故复数z对应的点(1，2)在第四象限2答案：A解析：若a3，则A1,3B，故a3是AB的充分条件；而若AB，则a不一定为3，当a2时，也有AB故a3不是AB的必要条件故选A3答案：C解析：双曲线y21的顶点为(±2,0)，渐近线方程为，即x2y0和x2y0.故其顶点到渐近线的距离.4答案：B解析：由频率分布直方图知4060分的频率为(0.0050.015)×100.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(10.2)480.5答案：B解析：a0时，方程变为2xb0，则b为1,0,1,2都有解；a0时，若方程ax22xb0有实数解，则224ab0，即ab1.当a1时，b可取1,0,1,2.当a1时，b可取1,0,1.当a2时，b可取1，0，故满足条件的有序对(a，b)的个数为443213.6答案：A解析：当k10时，执行程序框图如下：S0，i1；S1，i2；S12，i3；S1222，i4；S122228，i10；S122229，i11.7解析：·1×(4)2×20，.又|，|，S四边形ABCD|5.8答案：D解析：选项A，由极大值的定义知错误；对于选项B，函数f(x)与f(x)的图象关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点，故不正确；对于C选项，函数f(x)与f(x)图象关于x轴对称，x0应是f(x)的极小值点，故不正确；而对于选项D，函数f(x)与f(x)的图象关于原点成中心对称，故正确9答案：C解析：an是等比数列，qmnmm(n1)mqm，(qm)mqm2.10答案：D解析：由题意(1)可知，S为函数yf(x)的定义域，T为函数yf(x)的值域由(2)可知，函数yf(x)在定义域内单调递增，对于A，可构造函数yx1，xN*，yN，满足条件；对于B，构造函数满足条件；对于C，构造函数，x(0,1)，满足条件；对于D，无法构造函数其定义域为Z，值域为Q且递增的函数，故选D第卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡的相应位置11答案：解析：由3a10得，由几何概型知.12答案：12解析：由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，球的直径，所以，故该球的表面积为S球4r24×312.13答案：解析：ADAC，DAC.sinBAC，cosBAD.由余弦定理得BD2AB2AD22AB·AD·cosBAD322××3×3.BD.14答案：解析：由直线y(xc)知其倾斜角为60°，由题意知MF1F260°，则MF2F130°，F1MF290°.故|MF1|c，|MF2|C又|MF1|MF2|2a，(1)c2a，即.15答案：解析：由(1x)n，两边同时积分得：，.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16解法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X5”，因为P(X5)，所以P(A)1P(X5)，即这2人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)由已知可得，X1B，X2B，所以E(X1)，E(X2)，从而E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大解法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这2人的累计得分X3”的事件为A，则事件A包含有“X0”，“X2”，“X3”三个两两互斥的事件，因为P(X0)，P(X2)，P(X3)，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即这2人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：X1024PX2036P所以E(X1)0×2×4×，E(X2)0×3×6×.因为E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大17解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xA又当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值18解法一：(1)依题意，过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为yx.设Pi的坐标为(x，y)，由得yx2，即x210y.所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x210y.(2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx10.由得x210kx1000，此时100k24000，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则因为SOCM4SOCN，所以|x1|4|x2|.又x1·x20，所以x14x2，分别代入和，得解得.所以直线l的方程为yx10，即3x2y200或3x2y200.解法二：(1)点Pi(iN*,1i9)都在抛物线E：x210y上证明如下：过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为yx.由解得Pi的坐标为，因为点Pi的坐标都满足方程x210y，所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x210y.(2)同解法一19解：(1)取CD的中点E，连结BE.ABDE，ABDE3k，四边形ABED为平行四边形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，BEC90°，即BECD，又BEAD，CDADAA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD又AA1ADA，CD平面ADD1A1.(2)以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0，6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，所以(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)设平面AB1C的法向量n(x，y，z)，则由得取y2，得n(3,2，6k)设AA1与平面AB1C所成角为，则sin |cos，n|，解得k1，故所求k的值为1.(3)共有4种不同的方案f(k)20解法一：(1)由函数f(x)sin(x)的周期为，0，得2.又曲线yf(x)的一个对称中心为，(0，)，故，得，所以f(x)cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得ycos x的图象，再将ycos x的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以g(x)sin x.(2)当x时，sin x，0cos 2x，所以sin xcos 2xsin xcos 2x.问题转化为方程2cos 2xsin xsin xcos 2x在内是否有解设G(x)sin xsin xcos 2x2cos 2x，x，则G(x)cos xcos xcos 2x2sin 2x(2sin x)因为x，所以G(x)0，G(x)在内单调递增又，且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0，即存在唯一的x0满足题意(3)依题意，F(x)asin xcos 2x，令F(x)asin xcos 2x0.当sin x0，即xk(kZ)时，cos 2x1，从而xk(kZ)不是方程F(x)0的解，所以方程F(x)0等价于关于x的方程，xk(kZ)现研究x(0，)(，2)时方程的解的情况令，x(0，)(，2)，则问题转化为研究直线ya与曲线yh(x)，x(0，)(，2)的交点情况，令h(x)0，得或.当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：xh(x)00h(x)11当x0且x趋近于0时，h(x)趋向于，当x且x趋近于时，h(x)趋向于，当x且x趋近于时，h(x)趋向于，当x2且x趋近于2时，h(x)趋向于.故当a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，)内无交点，在(，2)内有2个交点；当a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，)内有2个交点，在(，2)内无交点；当1a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，)内有2个交点，在(，2)内有2个交点由函数h(x)的周期性，可知当a±1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，n)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线ya与曲线yh(x)在(0，n)内恰有2 013个交点；又当a1或a1时，直线ya与曲线yh(x)在(0，)(，2)内有3个交点，由周期性，2 0133×671，所以依题意得n671×21 342.综上，当a1，n1 342或a1，n1 342时，函数F(x)f(x)ag(x)在(0，n)内恰有2 013个零点解法二：(1)、(2)同解法一(3)依题意，F(x)asin xcos 2x2sin2xasin x1.现研究函数F(x)在(0,2上的零点的情况设tsin x，p(t)2t2at1(1t1)，则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线，又p(0)10，p(1)a1，p(1)a1.当a1时，函数p(t)有一个零点t1(1,0)(另一个零点t21，舍去)，F(x)在(0,2上有两个零点x1，x2，且x1，x2(，2)；当a1时，函数p(t)有一个零点t1(0,1)(另一个零点t21，舍去)，F(x)在(0,2上有两个零点x1，x2，且x1，x2(0，)；当1a1时，函数p(t)有一个零点t1(1,0)，另一个零点t2(0,1)，F(x)在(0，)和(，2)分别有两个零点由正弦函数的周期性，可知当a±1时，函数F(x)在(0，n)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n满足题意当a1时，函数p(t)有一个零点t1(1,0)，另一个零点t21；当a1时，函数p(t)有一个零点t11，另一个零点t2(0,1)，从而当a1或a1时，函数F(x)在(0,2有3个零点由正弦函数的周期性，2 0133×671，所以依题意得n671×21 342.综上，当a1，n1 342或a1，n1 342时，函数F(x)f(x)ag(x)在(0，n)内恰有2 013个零点21解：设直线l：axy1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M(x，y)由，得又点M(x，y)在l上，所以xby1，即x(b2)y1，依题意得解得由，得解得y00.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x01.故点P的坐标为(1,0)(2)选修44：坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想满分7分解：由点A在直线a上，可得.所以直线l的方程可化为cos sin 2，从而直线l的直角坐标方程为xy20.由已知得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r1，因为圆心C到直线l的距离d1，所以直线l与圆C相交(3)选修45：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想满分7分解：因为A，且A，所以，且，解得a.又因为aN*，所以a1.因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当(x1)(x2)0，即1x2时取到等号所以f(x)的最小值为3.专心-专注-专业