1997年甘肃高考理科数学真题及答案.doc
1997年甘肃高考理科数学真题及答案本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共150分考试时间120分钟第卷（选择题共65分）一选择题:本大题共15小题；第(1)(10)题每小题4分,第(11)(15)题每小题5分,共65分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1设集合M=x0x<2,集合N=xx2-2x-3<0,集合MN= ( )(A) (B) (C) (D) 2如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a=( )(A) 3(B) 6(C) (D) 3函数y=tg()在一个周期内的图像是( )4已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=,BC=2,则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是( )(A) arccos(B) arccos(C) (D) 5函数y=sin()+cos2的最小正周期是( )(A) (B) (C) (D) 6满足arccos(1x)arccosx的x的取值范围是( )(A) 1,(B) ,0(C) 0, (D) ,17将y=2x的图像( )(A) 先向左平行移动1个单位(B) 先向右平行移动1个单位(C) 先向上平行移动1个单位(D) 先向下平行移动1个单位再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数y=log2(x+1)的图像8长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 ( )(A) 20(B) 25(C) 50(D) 2009曲线的参数方程是 (t是参数，t0),它的普通方程是( )(A) (x1)2(y1)=1(B) y=(C) (D) 10函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为( )(A) 2(B) 0(C) (D) 611椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是( )(A) (B) (C) (D) 12圆台上、下底面积分别为、,侧面积为,这个圆台的体积是( )(A) (B) (C) (D) 13定义在区间的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间）的图像与f(x)的图像重合，设a>b>0,给出下列不等式：f(b)f(a)>g(a)g(b)；f(b)f(a)<g(a)g(b)；f(a)f(b)>g(b)g(a)；f(a)f(b)<g(b)g(a)，其中成立的是( )(A) 与(B) 与(C) 与(D) 与14不等式组 的解集是( )(A) (B) (C) (D) 15四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )(A) 150种(B) 147种(C) 144种(D) 141种第卷 (非选择题共85分)二填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分把答案填在题中横线上16已知的展开式中的系数为,常数a的值为_ 17已知直线的极坐标方程为sin()=,则极点到该直线的距离是_18的值为_19已知m,l是直线，、是平面，给出下列命题：若l垂直于内的两条相交直线，则l；若l平行于,则l平行于内的所有直线；若,且,则；若,且,则；若,且,则其中正确的命题的序号是_ (注:把你认为正确的命题的序号都填上) 三解答题:本大题共6小题;共69分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤20(本小题满分10分)已知复数,复数,在复数平面上所对应的点分别为P,Q证明是等腰直角三角形（其中为原点） 21(本小题满分11分)已知数列,都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p> q,且，设,Sn为数列的前n项和求22（本小题满分12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元I把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；II为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？23（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点I证明ADD1F；II求AE与D1F所成的角；III证明面AED面A1FD1；IV设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积 24(本小题满分12分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<I当x(0, x1)时，证明x<f (x)<x1；II设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0<25(25)（本小题满分12分）设圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程1997年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准一选择题:本题考查基本知识和基本运算 1B2B3A4C5B6D7D8C9B 10B 11A12D13C14C15D二填空题:本题考查基本知识和基本运算164 17 18 19，注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分三解答题20本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力解法一： 于是 因为OP与OQ的夹角为，所以OPOQ 因为，所以由此知OPQ有两边相等且其夹角为直角，故OPQ为等腰直角三角形 解法二:因为，所以因为，所以于是由此得OPOQ，OP=OQ由此知OPQ有两边相等且其夹角为直角，故OPQ为等腰直角三角形 (21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力满分11分解: 分两种情况讨论()p>1=p()p<10<q<p<1， (22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分解：（）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为 故所求函数及其定义域为 ()依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，则当时，有=因为cv0，且a>bc2，故有abcvabc2>0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分解:()AC1是正方体， AD面DC1又D1F面DC1，ADD1F ()取AB中点G，连结A1G，FG因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1GD1F设A1G与AE相交于点H，则AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以RtA1AGRtABE，GA1A=GAH，从而AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角 ()由()知ADD1F，由()知AED1F，又ADAE=A，所以D1F面AED又因为D1F面A1FD1，所以面AED面A1FD1()连结GE，GD1FGA1D1，FG面A1ED1，AA1=2，正方形ABB1A1 (24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力满分12分证明:()令F(x)=f(x)x因为x1，x2是方程f(x)x=0的根，所以F(x)=a(xx1)(xx2) 当x(0，x1)时，由于x1<x2，得(xx1)(xx2)>0，又a>0，得F(x)=a(xx1)(xx2)>0，即x<f(x) 因为所以x1x>0，1+a(xx2)=1+axax2>1ax2>0得x1f(x)>0由此得f(x)<x1 ()依题意知因为x1，x2是方程f(x)x=0的根，即x1，x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根， 因为ax2<1，所以(25)本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力满分12分解法一:设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为b， a由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1从而得2b2a2=1 又点P(a，b)到直线x2y=0的距离为， 所以5d2=a2b2 =a2+4b24ab a2+4b22(a2+b2) =2b2a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值 由此有解此方程组得或由于r2=2b2知于是，所求圆的方程是(x1) 2+(y1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2 解法二:同解法一，得得将a2=2b21代入式，整理得把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即=8(5d21)0，得5d215d2有最小值1，从而d有最小值 将其代入式得2b2±4b+2=0解得b=±1将b=±1代入r2=2b2，得r2=2由r2=a2+1得a=±1综上a=±1，b=±1，r2=2由=1知a，b同号于是，所求圆的方程是(x1) 2+(y1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2
