集合与常用逻辑用语.docx

精选优质文档-倾情为你奉上集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法(3)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集2集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作AB(或BA)(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作AB或BA.AB既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.(3)集合相等：如果AB，并且BA，则AB.两集合相等：ABA中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性 (4)空集：不含任何元素的集合空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集记作.，0，0,00，03集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB，即ABx|xA，且xB(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作AB，即ABx|xA，或xB(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UA，即UAx|xU，且xA求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为UA.二、常用结论 (1)子集的性质：AA，A，ABA，ABB.(2)交集的性质：AAA，A，ABBA.(3)并集的性质：ABBA，ABA，ABB，AAA，AAA.(4)补集的性质：AUAU，AUA，U(UA)A，AA，AA.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n1个真子集，2n1个非空子集(6)等价关系：ABAAB；ABAAB.考点一集合的基本概念典例(1)(2017·全国卷)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，则AB中元素的个数为()A3B2C1 D0(2)已知a，bR，若a2，ab,0，则a2 019b2 019的值为()A1 B0C1 D±1解析(1)因为A表示圆x2y21上的点的集合，B表示直线yx上的点的集合，直线yx与圆x2y21有两个交点，所以AB中元素的个数为2.(2)由已知得a0，则0，所以b0，于是a21，即a1或a1.又根据集合中元素的互异性可知a1应舍去，因此a1，故a2 019b2 019(1)2 01902 0191.答案(1)B(2)C 提醒集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意题组训练1设集合A0,1,2,3，Bx|xA,1xA，则集合B中元素的个数为()A1 B2C3 D4解析：选A若xB，则xA，故x只可能是0，1，2，3，当0B时，101A；当1B时，1(1)2A；当2B时，1(2)3A；当3B时，1(3)4A，所以B3，故集合B中元素的个数为1.2若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a等于()A. B.C0 D0或解析：选D若集合A中只有一个元素，则方程ax23x20只有一个实根或有两个相等实根当a0时，x，符合题意当a0时，由(3)28a0，得a，所以a的值为0或.3.（2018·厦门模拟）已知P=x|2<x<k,xN,若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为 .解析：因为P中恰有3个元素，所以P=3，4，5，故k的取值范围为5<k6.答案：（5，6考点二集合间的基本关系典例(1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0<x<5，xN，则()ABABABCAB DBA(2)(2019·湖北八校联考)已知集合AxN*|x23x<0，则满足条件BA的集合B的个数为()A2 B3C4 D8(3)已知集合Ax|1<x<3，Bx|m<x<m，若BA，则m的取值范围为_解析(1)由x23x20得x1或x2，A1,2由题意知B1,2,3,4，比较A，B中的元素可知AB，故选C.(2)AxN*|x23x<0xN*|0<x<31,2，又BA，满足条件BA的集合B的个数为224，故选C.(3)当m0时，B，显然BA.当m>0时，因为Ax|1<x<3若BA，在数轴上标出两集合，如图，所以所以0<m1.综上所述，m的取值范围为(，1答案(1)C(2)C(3)(，1变透练清1.若本例(2)中A不变，Cx|0<x<5，xN，则满足条件ABC的集合B的个数为()A1B2C3 D4解析：选D因为A1,2，由题意知C1,2,3,4，所以满足条件的B可为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,42.若本例(3)中，把条件“BA”变为“AB”，其他条件不变，则m的取值范围为_解析：若AB，由得m3，m的取值范围为3，)答案：3，)3已知集合A1,2，Bx|x2mx10，xR，若BA，则实数m的取值范围为_解析：若B，则m24<0，解得2<m<2；若1B，则12m10，解得m2，此时B1，符合题意；若2B，则222m10，解得m，此时B，不合题意综上所述，实数m的取值范围为2,2)答案：2,2)考点三集合的基本运算考法(一)集合的运算典例(1)(2018·天津高考)设集合A1,2,3,4，B1,0,2,3，CxR|1x2，则(AB)C()A1,1B0,1C1,0,1 D2,3,4(2)已知全集UR，集合Ax|x23x4>0，Bx|2x2，则如图所示阴影部分所表示的集合为()Ax|2x<4 Bx|x2或x4Cx|2x1 Dx|1x2解析(1)A1,2,3,4，B1,0,2,3，AB1,0,1,2,3,4又CxR|1x2，(AB)C1,0,1(2)依题意得Ax|x<1或x>4，因此RAx|1x4，题中的阴影部分所表示的集合为(RA)Bx|1x2答案(1)C(2)D考法(二)根据集合运算结果求参数典例(1)已知集合Ax|x2x12>0，Bx|xm若ABx|x>4，则实数m的取值范围是()A(4,3) B3,4C(3,4) D(，4(2)(2019·河南名校联盟联考)已知A1,2,3,4，Ba1,2a，若AB4，则a()A3 B2C2或3 D3或1解析(1)集合Ax|x<3或x>4，ABx|x>4，3m4，故选B.(2)AB4，a14或2a4.若a14，则a3，此时B4,6，符合题意；若2a4，则a2，此时B3,4，不符合题意综上，a3，故选A.答案(1)B(2)A题组训练1已知集合A1,2,3，Bx|(x1)(x2)<0，xZ，则AB()A1 B1,2C0,1,2,3 D1,0,1,2,3解析：选C因为集合Bx|1<x<2，xZ0,1，而A1,2,3，所以AB0,1,2,32(2019·重庆六校联考)已知集合Ax|2x2x10，Bx|lg x<2，则(RA)B()A. B.C. D解析：选A由题意得A，B(0,100)，则RA(，1)，所以(RA)B.3(2019·合肥质量检测)已知集合A1，)，B，若AB，则实数a的取值范围是()A1，) B.C. D(1，)解析：选A因为AB，所以解得a1.1(2019·福州质量检测)已知集合Ax|x2k1，kZ，Bx|1<x4，则集合AB中元素的个数为()A1 B2C3 D4解析：选B依题意，集合A是由所有的奇数组成的集合，故AB1,3，所以集合AB中元素的个数为2.2设集合U1,2,3,4,5,6，A1,3,5，B3,4,5，则U(AB)()A2,6 B3,6C1,3,4,5 D1,2,4,6解析：选A因为A1,3,5，B3,4,5，所以AB1,3,4,5又U1,2,3,4,5,6，所以U(AB)2,63(2018·天津高考)设全集为R，集合Ax|0x2，Bx|x1，则A(RB)()Ax|0x1 Bx|0x1Cx|1x2 Dx|0x2解析：选B全集为R，Bx|x1，RBx|x1集合Ax|0x2，A(RB)x|0x14(2018·南宁毕业班摸底)设集合Mx|x<4，集合Nx|x22x<0，则下列关系中正确的是()AMNM BM(RN)MCN(RM)R DMNM解析：选D由题意可得，N(0,2)，M(，4)，所以MNM.5设集合A，Bx|ln x0，则AB为()A. B1,0)C. D1,1解析：选A2x<，即212x<2，1x<，A.ln x0，即ln xln 1，0<x1，Bx|0<x1，AB.6(2019·郑州质量测试)设集合Ax|1<x<2，Bx|x<a，若ABA，则a的取值范围是()A(，2 B(，1C1，) D2，)解析：选D由ABA，可得AB，又因为Ax|1<x<2，Bx|x<a，所以a2.7已知全集UAB中有m个元素，中有n个元素若AB非空，则AB的元素个数为()Amn BmnCnm Dmn解析：选D因为中有n个元素，如图中阴影部分所示，又UAB中有m个元素，故AB中有mn个元素8定义集合的商集运算为，已知集合A2,4,6，B，则集合B中的元素个数为()A6 B7C8 D9解析：选B由题意知，B0,1,2，则B，共有7个元素9设集合Ax|x2x20，Bx|x<1，且xZ，则AB_.解析：依题意得Ax|(x1)(x2)0x|1x2，因此ABx|1x<1，xZ1,0答案：1,010已知集合UR，集合A5,2，B(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为_解析：A5,2，B(1,4)，UBx|x1或x4，则题图中阴影部分所表示的集合为(UB)Ax|5x1答案：x|5x111若集合A(x，y)|y3x23x1，B(x，y)|yx，则集合AB中的元素个数为_解析：法一：由集合的意义可知，AB表示曲线y3x23x1与直线yx的交点构成的集合联立得方程组解得或故AB，所以AB中含有2个元素法二：由集合的意义可知，AB表示曲线y3x23x1与直线yx的交点构成的集合因为3x23x1x即3x24x10的判别式>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以AB中含有2个元素答案：212已知集合Ax|log2x2，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_解析：由log2x2，得0x4，即Ax|0x4，而Bx|xa，由于AB，在数轴上标出集合A，B，如图所示，则a4.答案：(4，)13设全集UR，Ax|1x3，Bx|2<x<4，Cx|axa1(1)分别求AB，A(UB)；(2)若BCB，求实数a的取值范围解：(1)由题意知，ABx|1x3x|2<x<4x|2<x3易知UBx|x2或x4，所以A(UB)x|1x3x|x2或x4x|x3或x4(2)由BCB，可知CB，画出数轴(图略)，易知2<a<a1<4，解得2<a<3.故实数a的取值范围是(2,3)专心-专注-专业