函数的连续性和间断点.docx
精选优质文档-倾情为你奉上函数的连续性一、函数连续的定义如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limxx0fx=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0连续。如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limxx0-fx=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0左连续。如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limxx0+fx=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0右连续。如果limxx0+fx=limxx0-fx=f(x0)，则函数f(x)在点x0连续。如果函数f(x)在点x0连续，则limxx0+fx=limxx0-fx=f(x0)。二、函数的间断点：函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数f(x)有下列三种情形之一，则称x0是函数f(x)的间断点。（1）. 在x0处无定义；（2）. 在x0处有定义，但limxx0fx在x0处的极限不存在；（3）. 在x0处有定义，而且limxx0fx在x0处的极限也存在，但limxx0fxf(x0)；间断点可分为两类，即第一类间断点和第二类间断点。如果函数的左极限和右极限都存在，则称为第一类间断点。如果左右极限至少有一个不存在，则称为第二类间断点。如果左右极限都存在且相等，则该间断点称为可去间断点，可去间断点很显然是第一类间断点。如果函数在x0处的极限值为，则点x0称为无穷间断点。至于震荡间断点和跳跃间断点，可以很容易根据函数图像的特征加以判别。历年真题1、 函数fx=xx-1xx+1lnx的可去间断点的个数为A0 B1 C2 D3(2013，数三，4分)【解析】函数fx=xx-1xx+1lnx在x=-1,0,1处没定义，limx-1fx=limx-1xx-1xx+1lnx=limx-1exlnx-1xx+1lnx=limx-1xlnxxx+1lnx=limx-11x+1=limx0fx=limx0xx-1xx+1lnx=limx0exlnx-1xx+1lnx=limx0xlnxxx+1lnx=limx01x+1=1limx1fx=limx1xx-1xx+1lnx=limx1exlnx-1xx+1lnx=limx1xlnxxx+1lnx=limx11x+1=12所以x=0和x=1为可去间断点。所以答案为（C)。2、 设函数fx=lnxx-1sinx，则f(x)有A 1个可去间断点，1个跳跃间断点 B1个可去间断点，1个无穷间断点 C两个跳跃间断点 D两个无穷间断点 (2008，数二，4分)【解析】不难看出fx有两个间断点x=0和x=1。limx0fx=limx0lnxx-1sinx=limx0lnxsinx=limx0lnxx=limx0lnx1x=-lim1x1x2x0=-limx0x=0所以x=0是可去间断点。limx1+fx=limx1+lnxx-1sinx=limx1+sin1ln1+x-1x-1=limx1+sin1x-1x-1=sin1limx1-fx=limx1-lnxx-1sinx=limx1-sin1ln1+x-11-x=limx1-sin1x-11-x=-sin1所以x=1是跳跃间断点。综上，正确答案是（A）。3、 求limtx(sintsinx)xsint-sinx，记此极限为f(x)，求f(x)的间断点并指出其类型(2001，数二，7分)【解析】limtx(sintsinx)xsint-sinx为1型。limtx(sintsinx)xsint-sinx=limtxexsint-sinxlnsintsinx=limtxexsint-sinxln(1+sint-sinxsinx)=limtxexsint-sinxsint-sinxsinx=limtxexsinx=exsinxx=0和x=k(k=±1,±2,)都是f(x)的间断点。由于limx0fx=limexsinx=ex0，所以x=0是f(x)的可去间断点。而x=k(k=±1,±2,)处f(x)的极限存在单侧无穷大，所以x=k(k=±1,±2,)是f(x)的第二类间断点。4、 设函数fx=ln(1+ax3)x-arcsinx x<06 x=0eax+x2-ax-1xsinx4 x>0，问a为何值时，fx在x=0处连续，a为何值时，x=0为fx的可去间断点？ (2003，数二，10分)【解析】 limx0-fx=limx0-ln(1+ax3)x-arcsinx=limx0-ax3x-arcsinx=limx0-3ax31-11-x2=limx0-3ax3-12x2=-6alimx0+fx=limx0+eax+x2-ax-1xsinx4=4limx0+eax+x2-ax-1x2=4limx0+aeax+2x-a2x=4limx0+a2eax+22=2a2+4令limx0-fx=limx0+fx得到-6a=2a2+4，求解得到a=-1或a=-2。当a=-1时：limx0-fx=limx0+fx=f(0)，即f(x)在x=0处连续。当a=-2时：limx0-fx=limx0+fx=12f(0)，即f(x)在x=0处不连续，x=0是f(x)的可去间断点。专心-专注-专业
