高中数学必修5--第三章《不等式》复习知识点总结与练习(一)(共14页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上高中数学必修5_第三章不等式复习知识点总结与练习（一）第一节不等关系与不等式知识能否忆起1实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0ab；ab0ab；ab0ab.2不等式的基本性质性质性质内容注意对称性a>bb<a传递性a>b，b>ca>c可加性a>bac>bc可乘性ac>bcc的符号ac<bc同向可加性ac>bd同向同正可乘性ac>bd可乘方性a>b>0an>bn(nN，n2)同正可开方性a>b>0>(nN，n2)1.使用不等式性质时应注意的问题：在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c的符号”等也需要注意2作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用高频考点1. 比较两个数(式)的大小例1已知等比数列an中，a10，q0，前n项和为Sn，试比较与的大小自主解答当q1时，3，5，所以；当q0且q1时，0，所以.综上可知.由题悟法比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法：一般步骤是：作商；变形；判断商与1的大小；结论(3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断注意用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论以题试法1(2012·吉林联考)已知实数a、b、c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a、b、c的大小关系是()AcbaBacbCcba Dacb解析：选Acb44aa2(2a)20，cb.将题中两式作差得2b22a2，即b1a2.1a2a2>0，1a2>a.b1a2>a.cb>a.2. 不等式的性质(2012·包头模拟)若a0ba，cd0，则下列结论：adbc；0；acbd；a·(dc)b(dc)中成立的个数是()A1 B2C3 D4(2)a0b，cd0，ad0，bc0，adbc，故错误a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，0，故正确cd，cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故正确ab，dc0，a(dc)b(dc)，故正确，故选C.由题悟法1判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质2特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题以题试法2若a、b、c为实数，则下列命题正确的是()A若ab，cd，则acbdB若ab0，则a2abb2C若ab0，则D若ab0，则解析：选BA中，只有ab0，cd0时，才成立；B中，由ab0，得a2abb2成立；C，D通过取a2，b1验证均不正确3. 不等式性质的应用典题导入例3已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)2，2f(1)4.求f(2)的取值范围自主解答f(1)ab，f(1)ab.f(2)4a2b.设m(ab)n(ab)4a2b.则解得f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10.即f(2)的取值范围为5,10由题悟法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围以题试法3若，满足试求3的取值范围解：设3x()y(2)(xy)(x2y).则解得1()1,22(2)6，两式相加，得137.3的取值范围为1,7第二节一元二次不等式及其解法知识能否忆起一元二次不等式的解集二次函数yax2bxc的图象、一元二次方程ax2bxc0的根与一元二次不等式ax2bxc>0与ax2bxc<0的解集的关系，可归纳为：判别式b24ac>00<0二次函数yax2bxc (a>0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根xx1或xx2有两相同实根xx1无实根一元二次不等式的解集ax2bxc>0(a>0)x|x<x1或x>x2x|xx1Rax2bxc<0(a>0)x|x1<x<x2若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解解一元二次不等式应注意的问题：(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同高频考点1. 一元二次不等式的解法典题导入例1解下列不等式：(1)0x2x24；(2)x24ax5a20(a0)自主解答(1)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为.(2)由x24ax5a20知(x5a)(xa)0.由于a0故分a0与a0讨论当a0时，x5a或xa；当a0时，xa或x5a.综上，a0时，解集为；a0时，解集为.由题悟法1解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2bxc0(a0)，ax2bxc0(a0)；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏以题试法1解下列不等式：(1)3x22x80；(2)ax2(a1)x10(a0)解：(1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2 x，所以原不等式的解集为.(2)原不等式变为(ax1)(x1)0，因为a0，所以(x1)0.所以当a1时，解为x1；当a1时，解集为；当0a1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为.2一元二次不等式恒成立问题典题导入例2已知f(x)x22ax2(aR)，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围自主解答法一：f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa.当a(，1) 时，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；当a1，)时，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得1 a1.综上所述，a 的取值范围为3,1法二：令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或解得3 a1.所求a的取值范围是3,1本题中的“x1，)改为“x1,1)”，求a的取值范围解：令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1,1)上恒成立，即4a24(2a)0或或解得3a1，所求a的取值范围是3,1 .由题悟法1对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方2一元二次不等式恒成立的条件：(1)ax2bxc0(a0)(xR) 恒成立的充要条件是：a0且b24ac0.(2)ax2bxc0(a0)(xR)恒成立的充要条件是：a0且b24ac0.以题试法2(2012·九江模拟)若关于x的不等式x2axa>0的解集为(，)，则实数a的取值范围是_；若关于x的不等式x2axa3的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：由1<0，即a24(a)<0，得4<a<0；由20，即a24(3a)0，得a6或a2.答案：(4,0)(，62，)2. 一元二次不等式的应用典题导入例3某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成要求售价不能低于成本价(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围自主解答(1)由题意得y100·100.因为售价不能低于成本价，所以100800.所以yf(x)20(10x)(508x)，定义域为0,2(2)由题意得20(10x)(508x)10 260，化简得8x230x130.解得x.所以x的取值范围是.由题悟法解不等式应用题，一般可按如下四步进行：(1)认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回答实际问题以题试法3某同学要把自己的计算机接入因特网现有两家ISP公司可供选择公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？解：假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x元，公司B收取的费用为元若能够保证选择A比选择B费用少，则1.5x(0x17)，整理得x25x0，解得0x5，所以当一次上网时间在5小时内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少练习题小题能否全取1(教材习题改编)下列命题正确的是()A若acbcabB若a2b2abC若ab D若ab答案：D2若xy>0，a<0，ay>0，则xy的值()A大于0B等于0C小于0 D不确定解析：选A由a<0，ay>0知y<0，又xy>0，所以x>0.故xy>0.4._1(填“>”或“<”)解析：11.答案：<5已知a，b，cR，有以下命题：若a>b，则ac2>bc2；若ac2>bc2，则a>b；若a>b，则a·2c>b·2c.其中正确的是_(请把正确命题的序号都填上)解析：若c0则命题不成立正确中由2c>0知成立答案：4若xy, ab，则在axby，axby，axby，xbya，这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是_解析：令x2，y3，a3，b2，符合题设条件xy，ab，ax3(2)5，by2(3)5，axby，因此 不成立又ax6，by6，axby，因此也不正确又1，1，因此不正确由不等式的性质可推出 成立答案：小题能否全取1(教材习题改编)不等式x(12x)0的解集是()A.B.C(，0) D.答案：B2不等式9x26x10的解集是()A. B.C. DR答案：B3(2011·福建高考)若关于x的方程x2mx10有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A(1,1) B(2,2)C(，2)(2，) D(，1)(1，)解析：选C由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式0，即m240，解得m2或m2.4(2012·天津高考)已知集合AxR|x2|<3，集合BxR|(xm)(x2)<0，且AB(1，n)，则m_，n_.解析：因为|x2|<3，即5<x<1，所以A(5,1)，又AB，所以m<1，B(m,2)，由AB(1，n)得m1，n1.答案：115不等式1的解集为_解析：由1得10，即0，解得x1，或x2.答案：x|x1，或x21(2012·重庆高考)不等式0的解集为()A(1，)B(，2)C(2,1) D(，2)(1，)解析：选C原不等式化为(x1)(x2)0，解得2x1，故原不等式的解集为(2,1)2(2013·湘潭月考)不等式x2的解集是()A(，0(2,4 B0,2)4，)C2,4) D(，2(4，)解析：选B当x20即x2时，原不等式等价于(x2)24，解得x4.当x20即x2时，原不等式等价于(x2)24，解得0x2.3关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是()A(4,5) B(3，2)(4,5)C(4,5 D3，2)(4,5解析：选D原不等式可能为(x1)(xa)0，当a1时得1xa，此时解集中的整数为2,3,4，则4a5，当a1时得ax1，则3a2，故a3，2)(4,54若(m1)x2(m1)x3(m1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A(1，)B(，1)C. D.(1，)解析：选Cm1时，不等式为2x6<0，即x<3，不合题意m1时，解得m<.6(2012·长沙模拟)已知二次函数f(x)ax2(a2)x1(aZ)，且函数f(x)在(2，1)上恰有一个零点，则不等式f(x)1的解集为()A(，1)(0，) B(，0)(1，)C(1,0) D(0,1)解析：选Cf(x)ax2(a2)x1，(a2)24aa240，函数f(x)ax2(a2)x1必有两个不同的零点，又f(x)在(2，1)上有一个零点，则f(2)f(1)0，(6a5)(2a3)0，解得a.又aZ，a1.不等式f(x)1，即x2x0，解得1x0.7若不等式1的解集为x|1x3，则实数k_.解析：1，得10，即0，(xk)(x3)0，由题意得k1.答案：18不等式x22x3 a22a1在R上的解集是，则实数a的取值范围是_解析：原不等式即x22xa22a40，在R上解集为，44(a22a4)0，即a22a30，解得1a3.答案：(1,3)9(2012·陕西师大附中模拟)若函数f(x)且f(f(3)6，则m的取值范围为_解析：由已知得f(3)6m，当m3时，6m3，则f(f(3)2(6m)m123m6，解得m2；当m3时，6m3，则f(f(3)6m56，解得3m5.综上知，m2或3m5.答案：(，2)(3,5)10解下列不等式：(1)8x116x2；(2)x22ax3a20(a0)解：(1)原不等式转化为16x28x10，即(4x1)2 0，则xR，故原不等式的解集为R.(2)原不等式转化为(xa)(x3a)0，a0，3aa，得3axa.故原不等式的解集为x|3axa11一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p1602x，生产x件的成本R50030x(元)(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解：(1)由题意知，月利润ypxR，即y(1602x)x(50030x)2x2130x500.由月利润不少于1 300元，得2x2130x5001 300.即x265x9000，解得20x45.故该厂月产量在2045件时，月利润不少于1 300元 (2)由(1)得，y2x2130x50022，由题意知，x为正整数故当x32或33时，y最大为1 612.所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元12设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(mn)(1)若m1，n2，求不等式F(x)0的解集；(2)若a0，且0xmn，比较f(x)与m的大小解：由题意知，F(x)f(x)xa(xm)·(xn)，当m1，n2时，不等式F(x)0，即a(x1)(x2)0.当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x1，或x2；当a0时，不等式F(x)0 的解集为x|1x2(2)f(x)ma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，a0，且0xmn，xm0,1anax0.f(x)m0，即f(x)m.专心-专注-专业