点线面之间的位置关系.pdf

.-点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系【基础回顾】【基础回顾】一、三个公理和三条推论一、三个公理和三条推论公理公理 1 1：一条直线的两点在一个平面，那么这条直线上的所有的点都在这个平面。这是判断直线在平面的常用方法判断直线在平面的常用方法。公理公理 2 2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。公理公理 3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论推论 1 1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论推论 2 2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论推论 3 3：经过两条平行直线有且只有一个平面。二、平行和垂直位置关系的判断方法二、平行和垂直位置关系的判断方法1 1、两直线平行的判定、两直线平行的判定：（1）公理公理 4 4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行， 那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。2 2、两直线垂直的判定、两直线垂直的判定：（1）勾股定理（2）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条直线互相垂直；（3）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面上所有的直线；（4）如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条（5）三垂线定理：在平面的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（6）三垂线定理的逆定理：在平面的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。3 3、直线与平面平行的判定和性质、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定定理判定定理：如果不在平面的一条直线和平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；（2） 面面平行的性质面面平行的性质： 若两个平面平行， 则其中一个平面的任何直线与另一个平面平行。4 4、直线和平面垂直的判定和性质、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定判定：如果一条直线和一个平面的两条相交两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。（2）性质性质：如果两个平面垂直， 那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。5 5、两个平面垂直的判定和性质、两个平面垂直的判定和性质：（1）判定判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相-可修编-.-垂直。（2）定义法：定义法：即证两个相交平面的二面角为直角；6 6、两个平面平行的判定和性质、两个平面平行的判定和性质：（1）判定判定：如果一个平面有两条相交两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。三、异面直线所成角三、异面直线所成角（1）围围：(0,；2（2）求法求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。四、直线和平面所成角四、直线和平面所成角（1） 定义定义： 平面的一条斜线和它在平面的射影所成的锐角， 叫这条直线和这个平面所成的角。（2）围围：0 ,90 ；（3）求法求法：作出直线在平面上的射影，将直线与平面的夹角转化为平面角来求；（4）特征特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。六、二面角六、二面角：（1）平面角的三要素平面角的三要素：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面；角的两边与棱都垂直。（2）作平面角的主要方法作平面角的主要方法：定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点） ，分别在两个半平面作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；三垂线法：过其中一个面一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的围二面角的围：0,；（4）二面角的求法二面角的求法：转化为求平面角；面积射影法：利用面积射影公式S射S原cos，其中为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出-可修编-.-现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法） 。七、空间距离的求法七、空间距离的求法（立体几何中角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）（1）异面直线的距离：直接找公垂线段而求之；转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。（3）点到平面的距离：垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；体积法：转化为求三棱锥的高；等价转移法。（4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度） ：求球面上两点A、B 间的距离的步骤：计算线段 AB 的长；计算球心角AOB 的弧度数；用弧长公式计算劣弧 AB 的长。【常见题型】题型一：点共线和共面问题题型一：点共线和共面问题【例 1】如图正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点. （1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.证明证明： （1） 正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1/DD1， BD/B1D1.又 B1D1C1中，E、F为中点，1EF/B1D1.EF/BD,即D、B、F、E四点共面.2AA1D1EQB1FC1DPBC（2）Q平面AC1，Q平面BE，P平面AC1，P平面BE，平面AC1平面BE PQ.又AC1平面BE R， R平面AC1，R平面BE，RPQ. 即P、Q、R三点共线-可修编-.-【例 2】已知直线a/b/c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.证明证明：因为a/b，由公理 2 的推论，存在平面，使得a ,b .又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，d .c假设c ，则c C, 在平面过点C作c/b，cCBbA因为b/c，则c/c，此与cc C矛盾. 故直线c .ad综上述，a、b、c、d四线共面.点评点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理 2 及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.题型二：求异面直线所成角题型二：求异面直线所成角【例 1】如图中，正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.解解： （1）如图，连结DC1， DC1AB1，DC1和CC1所成的锐角CC1D就是AB1和CC1所成的角.CC1D=45， AB1和CC1所成的角是 45.（2）如图，连结DA1、A1C1，EFA1D，AB1DC1，A1DC1是直线AB1和EF所成的角.A1DC1是等边三角形， A1DC1=60，即直线AB1和EF所成的角是 60.【例 2】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.解解：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PNAB，PMCD，于是MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.连结MN、DN，设AB=2，PM=PN=1.而AN=DN=3，由MNAD，AM=1，得MN=2，MN2=MP2+NP2，MPN=90.异面直线AB、CD成 90角.题型三：直线与平面平行的位置关系题型三：直线与平面平行的位置关系【例 4】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF平面PEC证明证明：设PC的中点为G，连接EG、FG.F为PD中点，GFCD且GF=CD.ABCD，AB=CD，E为AB中点，GFAE，GF=AE， 四边形AEGF为平行四边形.-可修编-12.-EGAF，又AF平面PEC，EG平面PEC， AF平面PEC.【例 5】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF平面BB1D1D.证明证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OEDC，OE=DC.DCD1C1，DC=D1C1，F为D1C1的中点，OED1F，OE=D1F，四边形D1FEO为平行四边形.EFD1O.又EF平面BB1D1D，D1O平面BB1D1D，EF平面BB1D1D.A【例 6】 如图， 已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、E EBC的中点，求证：AM平面EFG.D DB BG G证明证明：如右图，连结DM，交GF于O点，连结OE，O OF FM在BCD中，G、F分别是BD、CD中点， GF/BC，C CG为BD中点，O为MD中点，在AMD中，E、O为AD、MD中点，EO/ AM，又AM 平面EFG，EO 平面EFG，AM平面EFG.点评点评：要证明直线和平面平行，只须在平面找到一条直线和已知直线平行就可以了 . 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.【例 7】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1EB1B证明证明：AA1/BB1,AA1 平面BEE1B1,BB1 平面BEE1B1，D12AA1/平面BEE1B1.又AA1 平面ADD1A1，平面ADD1A1平面BEE1B1 EE1，AA1/ EE1.则AA1/ BB1 BB1/ EE1.AA1/ EE1A1E11C1B1EDBCA【例 8】如图，AB/，AC/BD，C，D，求证：AC BD.证明证明：连结CD，AC/BD，直线AC和BD可以确定一个平面，记为，C,D，C,D， CD，AB/，AB ， CDAB/CD，-可修编-A AB BD DC C.-又AC/BD，四边形ACDB为平行四边形，AC BD.题型四：平面与平面的位置关系题型四：平面与平面的位置关系【例 1】如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP平面A1BD.证明证明：连结B1D1，P、N分别是D1C1、B1C1的中点，PNB1D1.又B1D1BD，PNBD.又PN不在平面A1BD上，PN平面A1BD.同理，MN平面A1BD. 又PNMN=N， 平面PMN平面A1BD.【例 2】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求证：平面MNQ平面PBC.证明证明：PM：MA=BN：ND=PQ：QD.MQ/AD，NQ/BP，而BP平面PBC，NQ平面PBC,NQ/平面PBC.又ABCD为平行四边形，BC/AD， MQ/BC，而BC平面PBC，MQ平面PBC,MQ/平面PBC.由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理， 平面MNQ平面PBC.点评点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行 . 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.【例 4】直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱A1A 3，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点.（1）求证：平面AMN平面EFDB； （2）求平面AMN与平面EFDB的距离.证证： （1）连接A1C1,分别交MN、EF于P、Q. 连接AC交BD于O，连接AP、OQ.由已知可得MN /EF，MN /平面EFDB.由已知可得，PQ/ AO且PQ AO.AP/OQ,AP/平面EFDB. 平面AMN平面EFDB.解解： （2）过A1作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、H，易得A1HA1P1.HH PQ2-可修编-.-由AP A1A2 A1P232 (2 2238) , 根据VA1AMNVAA1MN, 则4238211113 196 192 A1H 3， 解得A1H . 所以， 平面AMN与平面EFDB的距离为.32321919点评点评：第（1）问证面面平行，转化途径为“线线平行线面平行面面平行”. 第（2）问求面面距离，巧妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，然后利用等体积法求距离. 等价转化的思想在本题中十分突出，我们可以用同样的转化思维，将此例中的两个平面的距离，转化为求点B到平面ABC的距离.【例 5】已知正方形ABCD的边长为 1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.（1）求证：APEF； （2）求证：平面APE平面APF.证明证明： （1）如右图，APE=APF=90，PEPF=P，PA平面PEF.EF平面PEF，PAEF.（2）APE=EPF=90，APPF=P，PE平面APF.又PE平面PAE，平面APE平面APF.【例 6】如图, 在空间四边形ABCD中，AB BC, CD DA,E,F,G分别是CD,DA,AC的中点，求证：平面BEF 平面BGD.A A证明证明：AB BC,G为AC中点，所以AC BG.同理可证AC DG,AC 面BGD.又易知EF/AC，则EF 面BGD.又因为EF 面BEF，所以平面BEF 平面BGD.F FG GB BE EC CD D【例 7】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求证：平面A1BD 平面BED证明证明：连接AC，交BD于F，连接A1F，EF，A1E，A1C1.由正方体ABCD A1B1C1D1， 易得A1D A1B，ED EB，F是BD的中点，所以A1F BD, EF BD，得到A1FE是二面角A1 BD E的平面角.设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，则A1F2 A1A2 AF2 22 ( 2)2 6，EF2 CE2CF212 ( 2)2 3，A1E2 A1C12CE2 (2 2)212 9.A1F2 EF2 A1E2，即A1F EF，所以平面A1BD 平面BED.点评点评：要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角，这也是证两平面垂直的常用方法. 此题由几何图形的特征，作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关键.【例 4】三棱锥P ABC中，三个侧面与底面所成的二面角相等，PO 平面ABC，垂足为O，求证：O为底面ABC的心.【证】作PD AB于D，PE BC于E，PF AC于F，连接OD、OE、OF.PO 平面ABC，PO OD, PO OE, PO OF，PO AB, PO BC, PO AC.-可修编-.-又 PD AB, PE BC, PF AC,AB 平面PDO, BC 平面PEO, AC 平面PFO.得OD AB, OE BC, OF AC,PDO,PEO,PFO为三个侧面与底面所成的二面角的平面角.即得PDO PEO PFO，PO边公共， PDO PEO PFO，得OD OE OF，又 OD AB, OE BC, OF AC.O为底面ABC的心.点评：这里用到了证明垂直问题的转化思想，即“线线垂直线面垂直线线垂直” . 上述结论对于一般棱锥也成立，即棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等，或棱锥的顶点到底面各边的距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的切圆的圆心.-可修编-