数学必修二第三章重难点.doc

精选优质文档-倾情为你奉上人教版数学必修二第三章 直线与方程 重难点解析第三章 课文目录31直线的倾斜角与斜率 32直线的方程 33直线的交点坐标与距离公式 重难点：1、倾斜角、斜率、过两点的直线的斜率公式。2、直线方程的两点式、截距式的推导及运用。3、两点间的距离公式和它的简单应用。4、点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离。一、直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角 一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么叫做直线的倾斜角。一条直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。 直线倾斜角的取值范围是：0°<180°。 2直线的斜率： 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，记为k, 即k=tan。 说明：(1) =0°k=0(2) 0°<<90°k>0(3) 90°<<180°k<0 (4)=90°k不存在。 注意：斜率k可以是任意实数，每条直线都存在唯一确定的倾斜角，但不是每条直线都有斜率。 3过两点的直线的斜率公式： 直线经过两点P1(x1, y1), P2(x2 ,y2), (x1x2)。它的斜率。 对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角= 90°, 直线与x轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到典型例题：例题1：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)分析: 已知两点坐标, 而且x1x2, 由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k = tan<0时, 倾斜角是钝角; 而当k = tan>0时, 倾斜角是锐角; 而当k = tan=0时, 倾斜角是0°.解析: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角是锐角; 直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角是钝角; 直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角是锐角.例题2：已知直线l1l2，且l1的倾斜角为，求l1, l2的斜率。 解析： l1的斜率角， ， 则l1，l2的斜率分别为。 点评：已知直线的倾斜角，可以由定义式直接得出直线的斜率。 例题3：求出过两点A（-2，0），B（-5，3）的直线的倾斜角和斜率。 解析：，即tan=-1， 而0，），。 点评：已知直线的斜率，可以直接得出倾斜角，但要注意角的范围。 例题4：已知点P(a,b) (a,b不同时为0)，0为坐标原点，求直线OP的斜率和倾斜角。 解析：当b=0时，由a0，则OP的倾斜角=0，斜率k=0。 当a,b同号时，。 当a,b异号时，。 当a=0时，由b0，则，k不存在。 点评：斜率是否存在，与P点位置有关；斜率的正、负与零，倾斜角的表达方式不同，这是因为倾角的范围造成的。 例题5：如图，直线的倾斜角，直线，求、的斜率。解析：的斜率，的倾斜角，的斜率例题6：已知和分别是的倾斜角和斜率，当（1）；（2）；（3）时，分别求直线的斜率解析：当时，当时，当时，例题7：已知直线l的方程：(2+1)x+2y-1-2=0(R)。 （1）求直线l的倾斜角的范围； （2）证明此直线恒过一定点，并求定点坐标。 解析：（1）当=0时，倾角；当0时，直线化为：， 若>0，直线斜率。 若<0，直线斜率。 综上所述，l的倾角的范围是。 （2）原方程变形为以为主变量的方程：(x-1)2+2y+(x-1)=0，令，可知此方程与无关的解为x=1, y=0。故直线l恒过定点(1, 0)。 二、直线的方程直线方程的四种形式： (1) 点斜式： 已知：直线l经过定点P0(x0,y0)，且斜率为k，则直线l的方程为：y-y0=k(x-x0)，称为直线的点斜式方程。特别地，当l的倾斜角为0°时，k=tan0°=0，此时，l的方程为y=y0。 如果直线l的斜率为k, 与y轴的交点为(0, b)，代入点斜式得l的方程为：y=kx+b（其中，b叫直线l的纵截距），这便是直线的斜截式。 注意：斜截式是点斜式的特例，两者均不能表示与x轴垂直的直线方程。换句话说，斜率存在的直线才可以用点斜式或斜截式表示，斜率不存在的直线的方程可写成x=x0的形式（直线经过P0(x0, y0)）。此外，斜截式中的b不是指距离，而是直线与y轴交点的纵坐标。b可正可负，也可为0。 （2）两点式： 已知：直线l过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)，(x1x2)，则利用斜率公式和点斜式可得l的方程为：（其中x1x2，y1y2）。 这便是直线方程的两点式。两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但把两点式化为整式形式：(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)，就可以利用它求出平面内过任意两个已知点的直线方程： 若x1=x2, y1y2时，则有x-x1=0，即: x=x1；若y1=y2, x1x2时，则有y-y1=0, 即：y=y1。 （3）截距式： 如果直线l在x轴，y轴上的截距分别为a和b(a0, b0)，则l的方程为：。 这便是直线方程的截距式，显然，截距式是两点式的特例，它不能表示与坐标轴垂直及过原点的直线。 （4）一般式： 方程Ax+By+C=0（A、B不全为零）叫做直线方程的一般式。任何一条直线的方程都可以化成一般式。 直线的方程都是二元一次方程；任何一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线。这就是直线与二元一次方程的关系。 当B0时：直线Ax+By+C=0的斜率，在y轴上的截距。 当B=0时：直线Ax+By+C=0的斜率不存在，在x轴上的截距。 综上所述，两个独立条件确定一条直线，所以求一条直线的方程，必须给出两个独立的条件。一般说来，确定一条直线主要有两种方法。第一个方法，由直线上的一点和直线的方向确定。而直线的方向由斜率确定，这便是直线方程的点斜式的由来（斜截式是点斜式的特例）。第二个方法，由两点确定一条直线，这便是两点式的由来，当然两点式也可以由点斜式而来，截距式可看作是两点式的特例。四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)进行比较：直线名称已知条件直线方程使用范围示意图点斜式斜截式两点式（截距式典型例题： 例题1：求满足下列条件的直线方程： （1）经过点P(-2,3)，倾斜角是直线的倾斜角的一半。 （2）经过点P(-2,3)，且在两坐标轴上截距相等。 （3）经过两点A(-2,3), B(4,-1)。 （4）经过点P(-2,3)，且与两坐标轴围成三角形的面积为4。 解析：（1）由题设直线方程为y-3=k(x+2)。 因为直线中， 此直线倾斜角=120°， 由题所求直线的倾斜角=60°，则：，所以方程为 即：就是所求方程。 （2）当直线过原点时：设直线为y=kx，由于过P(-2,3)，则3=-2k，则，则为直线方程。 当直线不过原点时：设直线为，由于过P(-2,3)，则，a=1， 所以，方程为x+y=1，即：x+y-1=0就是所求方程。 （3）由两点式得，即：2x+3y-5=0。 （4）由题可设方程为y-3=k(x+2)，分别令x=0得纵截距b=2k+3；y=0得横截距。 又由题得：，解之得。 故所求方程为：和，即：x+2y-4=0或9x+2y+12=0。 评点：（1）要根据不同的条件，选择适当的方程形式。 （2）在点斜式和斜截式中，都有斜率k, 常把k作为参数引入待定。 （3）截距相等，要注意区分截距是否为零，即是否过原点。 （4）直线方程的最后结果要求写成斜截式或者一般式的形式。 例题6：已知点P(x,y), A(x1, y1), B(x2, y2), (x1x2) 则点P在直线AB上的充要条件是（ ）。 A、 B、 C、D、 提示：本题复习充分条件和必要条件；直线的方程和方程的直线；定比分点坐标公式并渗透参数方程等内容，但作为选择题，只要熟悉概念，不难判断：A：P不能取A点，B：不能取A点和B点，D：不能取A点和B点，故只能选C。 事实上，对于C：当t=0时，表示B点，当t=1时，表示A点。 当t0，1时，由定比分点公式知，它可以表示直线AB上所有异于A、B的点（反之亦然）。例题7：过点P(2，1）作直线交正半轴于AB两点，当取到最小值时，求直线的方程.解析：设直线的方程为： 令0解得；令0，解得A（，0），B（0，），当且仅当即时，取到最小值.又根据题意，所以直线的方程为：点评：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除1的情形例题8：一直线被两直线：，：截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.解析：设所求直线与，的交点分别是A、B，设A(），则B点坐标为() 因为A、B分别在，上，所以 得：，即点A在直线上，又直线过原点，所以直线的方程为.例题9：直线在轴上的截距是1，而且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则( )A. A，B1 B.A，B1C.A，B1D.A，B1解析：将直线方程化成斜截式.因为1，B1，故否定A、D.又直线的倾斜角，直线的倾斜角为2，斜率-， A，B1，故选B例题10：若直线通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件( )A.A、B、C同号B.AC0，BC0 C.C0，AB0D.A0，BC0解法一：原方程可化为（B0）直线通过第二、三、四象限，其斜率小于0，轴上的截距小于0，即0，且00，且0即A、B同号，B、C同号.A、B、C同号，故选A 解法二：(用排除法)若C0，AB0，则原方程化为.由AB0，可知0.此时直线经过原点，位于第一、三象限，故排除C.若A0，BC0，则原方程化为.由BC0，得0.此时直线与轴平行，位于轴上方，经过一、二象限.故排除D.若AC0，BC0，知A、C异号，B、C异号A、B同号，即AB0.此时直线经过第一、二、四象限，故排除B.故A、B、C同号，应选A例题11：直线（0）的图象是( ) 解法一：由已知，直线的斜率为，在轴上的截距为又因为0.与互为相反数，即直线的斜率及其在轴上的截距互为相反数图A中，0，0;图B中，0，0;图C中，0，0故排除A、B、C.选D. 解法二：由于所给直线方程是斜截式，所以其斜率0，于是令0，解得.又因为0，直线在轴上的截距为1，由此可排除A、B、C，故选D 三、直线的交点坐标与距离公式1、两点间的距离公式2、点到直线距离公式：点到直线的距离为：3、直线的交点如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 的解，反之，如果上面方程组只有一个解，那么这个解为坐标的点就是直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。说明若无解，则两直线平行；若有无数解，则两直线重合。典型例题：例题1：例1 ：以知点A（-1，2），B（2， ），在x轴上求一点，使 ,并求 的值。解：设所求点P（x，0），于是有由 得解得 x=1。求点到下列直线的距离.(1)；(2) 解析：(1)根据点到直线的距离公式得(2)因为直线平行于轴，所以 评述：此例题(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没局限于公式.所以，所求点P（1，0）且 通过例题，使学生对两点间距离公式理解。应用。解法二：由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为k=线段AB的垂直平分线的方程是 y-在上述式子中，令y=0，解得x=1。所以所求点P的坐标为（1，0）。因此例题2：求两平行线：，：的距离.解法一：在直线上取一点P(，0），因为，所以点P到的距离等于与的距离.于是解法二：又.由两平行线间的距离公式得 例题3：求原点到下列直线的距离：(1)32260；(2) 解析：(1).(2)原点在直线上，d0例题4：求下列点到直线的距离：(1)A（2，3），330;(2)B（1，0），0；(3)C（1，2），30.解析：(1) (2)(3) 例题5：求下列两条平行线的距离：(1)230，2310，(2)310，30.解析：(1)在直线230上取一点P（，0），则点P到直线2 31的距离就是两平行线的距离，d(2)在直线30上取一点O（0，0），则点O到直线310的距离就是两平行线的距离，2例题6：已知点A（，6）到直线32的距离d取下列各值，求的值： (1)d，（2）d解析：(1)，解得2或(2)，解得2或例题7：求下列两直线交点坐标L1 ：3x+4y-2=0L1：2x+y +2=0 解析：解方程组 得 x=-2，y=2所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2），如图3。3。1。例题8：已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上.分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.解析：解方程组若0，则1.当1时，0，此时交点在第二象限内.又因为为任意实数时，都有10，故0因为1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在轴上，得交点()例题9：求下列两条直线的交点：L1：3x+4y-2=0，L2： 2x+y+2=0解析：解方程组L1与L2的交点是M(-2，2)例题10：已知两条直线：l1： x+my+6=0，l2： (m-2)x+3y+2m=0当m为何值时，l1与l2：(1)相交，(2)平行，(3)重合解析：将两直线的方程组成方程组解得m=-1或m=3(2)当m=-1时，方程组为方程无解，l1与l2平行(3)当m=3时，方程组为两方程为同一个方程，l1与l2重合直线方程单元检测题满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.并把答案写在答题卡1、过点（1，3）且垂直于直线x2y+3=0的直线方程为A.2x+y1=0 B.2x+y5=0 C.x+2y5=0 D.x2y+7=02“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m2)x+(m+2)y3=0垂直”的 （ ）A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件3.三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2xy=10相交于一点，则a的值是A.2 B.1 C.0 D.14、直线xcosym=0的倾斜角范围是（ ）A. B. C. D. 5、如直线、的斜率是二次方程x4x+1=0的两根，那么和的夹角是( )A. B. C. D. 6已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）A. 4 B. C. D. 7、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ）A B C D 8.已知直线l1的方程是ax-y+b0,l2的方程是bx-y-a0(ab0,ab)，则下列各示意图形中，正确的是( ) 9直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线为( )A. B. C. D.10若动点分别在直线：和：上移动，则中点到原点距离的最小值为A B C D11点A（1，3），B（5，2），点P在x轴上使|AP|BP|最大，则P的坐标为（ ）A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0)12设a,b,c分别是ABC中，A，B，C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c0与bx-sinB·y+sinC0的位置关系是( )A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直二填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分. 把正确答案填在答题卡的横线上.）13、直线l1：xmy6=0与l2：(m2)x3y2m=0，若则=_;14过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ；15.直线y=x关于直线x1对称的直线方程是 ;16已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是_；答 题 卷一、选择题（60分）题号123456789101112答案二、选择题：（16分）13._;14._;15._;16._三解答题（74分）17、（12分）根据下列条件，求直线方程（1）经过点A（3，0）且与直线2x+y5=0垂直（2）经过点B（2，1）且与直线5x+2y+3=0的夹角等于45°18（12分）ABC中，A（3，1），AB边上的中线CM所在直线方程为：6x10y59=0，B的平分线方程BT为：x4y10=0，求直线BC的方程.19、（12分）过点（，）的直线被两平行直线：与：所截线段的中点恰在直线上，求直线的方程20（12分）过点作直线分别交轴的正半轴和y轴的正半轴于点、，当（为原点）的面积最小时，求直线的方程，并求出的最小值21（12分）光线从发出射到直线：x+y=4上的E点，经反射到y轴上F点，再经y轴反射又回到Q点，求直线EF的方程。22.（14分）在平面直角坐标系中，已知矩形的长为，宽为，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图所示）。将矩形折叠，使点落在线段上。（1）若折痕所在直线的斜率为，试求折痕所在直线的方程；（2）当时，求折痕长的最大值； （3）当时，折痕为线段，设，试求的最大值。（说明：文科班只做（1），（2）理科班做（1）、（2）、（3）直线方程单元检测题参考答案一、 选择题1-5，ABBBB 6-10 .DADAA 11-12, B C二、填空题：13、；14.或；15、；16、三、解答题17、解解 (1) (2)设所求直线斜率为k，因为，直线5x+2y+3=0的斜率为所以，所以，所求直线方程为3x+7y13=0或7x3y11=0.18.设则的中点在直线上,则,即,又点在直线上,则联立得,有直线平分,则由到角公式得,得的直线方程为:.19.设线段的中点为,点到与的距离相等,故,则点直线的方程为,即20设a(a,0),B(0,b),(a,b>0),则直线的方程为：，上，又，等号当且仅当时成立，直线的方程为：x+4y8=0, Smin=821解：设Q关于y轴的对称点为，则的坐标为 设Q关于的对称点为，则中点为G，G在l上， 又 由得 由物理学知识可知，、在直线EF上， 直线EF方程为:，即 22、解：(1) 当时,此时点与点重合, 折痕所在的直线方程当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，所以与关于折痕所在的直线对称，有故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）为折痕所在的直线方程，即由得折痕所在的直线方程为： （2）当时，折痕的长为2;当时，折痕直线交于点，交轴于折痕长度的最大值为。 而 ,故折痕长度的最大值为 （3）当时，折痕直线交于，交轴于 （当且仅当时取“=”号）当时，取最大值，的最大值是。 专心-专注-专业