圆锥曲线与方程专题：圆锥曲线的综合问题(教师版)(共13页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上圆锥曲线与方程专题复习第四节圆锥曲线的综合问题考点一 椭圆与双曲线综合中基本量的计算问题 1.(2013年浙江卷,文9)如图,F1,F2是椭圆C1: +y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是() (A) (B) (C) (D)解析:由椭圆定义得,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=2=2,因为四边形AF1BF2为矩形,所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=12,所以2|AF1|AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+|AF2|2)=16-12=4,所以(|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|AF2|=12-4=8,所以|AF2|-|AF1|=2,因此对于双曲线有a=,c=,所以C2的离心率e=.故选D.答案:D2.(2012年山东卷,理10)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为()(A) +=1 (B) +=1 (C) +=1 (D) +=1解析:利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解.椭圆的离心率为,=,a=2b.椭圆方程为x2+4y2=4b2.双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0,渐近线x±y=0与椭圆x2+4y2=4b2在第一象限的交点为,由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b=4,b2=5,a2=4b2=20.椭圆C的方程为+=1.故选D.答案:D3.(2012年浙江卷,文8)如图所示,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是() (A)3 (B)2 (C) (D)解析:设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),半焦距为c1,则椭圆的离心率为e1=.设双曲线的标准方程为-=1(m>0,n>0),半焦距为c2,则双曲线的离心率为e2=.由双曲线与椭圆共焦点知c1=c2.由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即2m=a.=2.故选B.答案:B4.(2011年浙江卷,文9)已知椭圆C1: +=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则()(A)a2= (B)a2=13 (C)b2= (D)b2=2解析:双曲线渐近线方程为y=±2x,圆的方程为x2+y2=a2,则|AB|=2a,不妨设y=2x与椭圆交于P、Q两点,且P在x轴上方,则由已知|PQ|=|AB|=,|OP|=,P.又点P在椭圆上,+=1.又a2-b2=5,b2=a2-5,联立解得故选C.答案:C5.(2011年山东卷,文15)已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为. 解析:椭圆+=1的焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),离心率为e=.由于双曲线-=1与椭圆+=1有相同的焦点,因此a2+b2=7.又双曲线的离心率e=,所以=,所以a=2,b2=c2-a2=3,故双曲线的方程为-=1.答案: -=1考点二 椭圆与抛物线综合问题及解法 1.(2012年山东卷,理21)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.(1)求抛物线C的方程;(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.(3)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当k2时,|AB|2+|DE|2的最小值.解:(1)依题意知F,圆心Q在线段OF的垂直平分线y=上,因为抛物线C的准线方程为y=-,所以=,即p=1.因此抛物线C的方程为x2=2y.(2)假设存在点M (x0>0)满足条件,抛物线C在点M处的切线斜率为y=x0,所以直线MQ的方程为y-=x0(x-x0).令y=得xQ=+.所以Q（+,）.又|QM|=|OQ|,故（-）2+（-）2=（+）2+,因此（-）2=.又x0>0,所以x0=,此时M(,1).故存在点M(,1),使得直线MQ与抛物线C相切于点M.(3)当x0=时,由(2)得Q（,）,Q的半径为r=,所以Q的方程为（x-）2+（y-）2=.由整理得2x2-4kx-1=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由于1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-,所以|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)(4k2+2).由整理得(1+k2)x2-x-=0.设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),由于2=+>0,x3+x4=,x3x4=-.所以|DE|2=(1+k2)(x3+x4)2-4x3x4=+.因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+ +.令1+k2=t,由于k2,则t5,所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)+ +=4t2-2t+,设g(t)=4t2-2t+,t,因为g(t)=8t-2-,所以当t时,g(t)g=6,即函数g(t)在t上是增函数,所以当t=时,g(t)取到最小值,因此,当k=时,|AB|2+|DE|2取到最小值.2.(2012年广东卷,文20)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: +=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.解:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),所以c=1.将点P(0,1)代入椭圆方程+=1,得=1,即b=1.所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C1的方程为+y2=1.(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0,设直线l的方程为y=kx+m,由消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.因为直线l与椭圆C1相切,所以1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.整理得2k2-m2+1=0.由消去y并整理得k2x2+(2km-4)x+m2=0.因为直线l与抛物线C2相切,所以2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得km=1.综合,解得或所以直线l的方程为y=x+或y=-x-.3.(2010年江西卷,理21)设椭圆C1: +=1(a>b>0),抛物线C2:x2+by=b2.(1)若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率;(2)设A(0,b),Q（3,b）,又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若AMN的垂心为B（0,b）,且QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程.解:(1)因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),可得c2=b2,由a2=b2+c2=2c2,有=,所以椭圆C1的离心率e=.(2)由题设可知M,N关于y轴对称,设M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0),则由AMN的垂心为B,有·=0.所以-+（y1-b）(y1-b)=0.由于点N(x1,y1)在C2上,故有+by1=b2.由得y1=-或y1=b(舍去),所以x1=b,故M（-b,-）,N（b,- ）,所以QMN的重心坐标为（,）.由重心在C2上得3+=b2,所以b=2,M（-,-）,N（,-）.又因为M,N在C1上,所以+=1,解得a2=.所以椭圆C1的方程为+=1.抛物线C2的方程为x2+2y=4.考点三 双曲线与抛物线的综合问题及解法 1.(2013年山东卷,文11)抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2: -y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p等于()(A) (B) (C) (D)解析:如图在同一坐标系中画出C1、C2草图,知C1焦点F（0,）,C2右焦点F2(2,0).由C2渐近线方程为y=±x.直线FF2方程为+=1.联立C1与直线FF2方程得代入得2x2+p2x-2p2=0.设M(x0,y0),即2+p2x0-2p2=0.由C1得y=x,所以x0=,即x0=p.由得p=.故选D.答案:D2.(2012年新课标全国卷,理8)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点,|AB|=4,则C的实轴长为()(A) (B)2 (C)4 (D)8解析:设双曲线的标准方程为x2-y2=(>0),抛物线y2=16x的焦点是(4,0),由题意知,点(-4,2)在双曲线上.16-12=,即=4,实轴长为4.故选C.答案:C3.(2012年福建卷,理8)已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()(A) (B)4 (C)3 (D)5解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0),c=3,b2=c2-a2=5.双曲线的渐近线方程为y=±x,焦点(3,0)到y=±x的距离d=.故选A.答案:A4.(2012年山东卷,文11)已知双曲线C1: -=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()(A)x2=y (B)x2=y (C)x2=8y (D)x2=16y解析:由e=2得4=1+,=3.双曲线的渐近线方程为y=±x,抛物线x2=2py的焦点是（0, ）,它到直线y=±x的距离d=2=,p=8.抛物线方程为x2=16y.故选D.答案:D5.(2010年天津卷,文13)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为 . 解析:由双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x得=,b=a.抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),c=4.又c2=a2+b2,16=a2+(a)2,a2=4,b2=12.所求双曲线的方程为-=1.答案: - =16.(2013年天津卷,文11)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为. 解析:由y2=8x准线为x=-2.则双曲线中c=2, =2,a=1,b=.所以双曲线方程为x2-=1.答案:x2-=1考点四 圆锥曲线与圆的综合问题及解法 1.(2013年福建卷,文20)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;(2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圆C的半径.解:(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.由点C的纵坐标为2,点C在抛物线E上,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,又|CN|=|CO|=,所以|MN|=2=2=2.(2)设C（,y0）,则圆C的方程为（x-）2+(y-y0)2=+,即x2-x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+=0,设M(-1,y1),N(-1,y2),则由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,所以+1=4,解得y0=±,此时>0.所以圆心C的坐标为（,）或（,-）,从而|CO|2=,|CO|=,即圆C的半径为.2.(2013年新课标全国卷,文20)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0).由已知得=.又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得由得 此时,圆P的半径r=.由得 此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.3.(2013年重庆卷,文21)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A两点, =4. (1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P,过P、P作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求PPQ的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1,又e=,故b2=8,从而a2=16.故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+8×（1-）=(x-2x0)2-+8(x-4,4).设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,当x=x1时|QM|2取最小值,又x1(-4,4),所以当x=2x0时|QM|2取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.由对称性知P(x1,-y1),故|PP|=|2y1|,所以S=|2y1|x1-x0|=×2|x0|=·.当x0=±时,PPQ的面积S取得最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|=,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.专心-专注-专业
