积分中值定理的推广及其应用.doc

精选优质文档-倾情为你奉上目 录积分中值定理的推广及其应用摘 要：本文根据讨论积分中值定理及其若干改进与推广形式,结合积分中值定理及其推广形式的相关证明,例举了积分中值定理的一些典型应用.关键词：积分中值定理;推广;应用The Integral Mean Value Theorem for Its Spreading and ApplicationAbstract: This paper discusses the integral mean value theorem and its improved and promoted form, combining the integral mean value theorem and its promoted form, and giving examples for its typical applications.Keywords: the integral mean value theorem；spreading; application前言积分中值定理是数学分析中的一个基本定理之一，对一元函数的积分中值定理进入了深入讨论，更加深对此问题的理解，同时对于学习重积分及曲线曲面积分的中值定理都有很大的意义.本文将借助积分上限函数的性质及微分中值定理证明积分中值定理，给出了积分中值定理几种推广形式，同时给出了它们确定数列极限及函数极限等方面的应用,使我们对它有了更深一层的理解.1.积分中值定理1.1 积分第一中值定理定理1 若在上连续,则至少存在一点,使得.证 由于在上连续,因此存在最大值和最小值.由,使用积分不等式性质得到,或.再由连续函数的介值性，至少存在一点,使得,即有.定理2 若在上连续,则至少存在一点,使得.证 由于在上连续，从而在上可积.设其原函数为，则根据原函数存在定理可知，在上连续，且在上可导，由由拉格朗日中值定理知存在一点使得，则得显然定理2的结论要强于定理1的结论,所以将积分第一中值定理叙述成定理2的形式更好一些,这不仅是由于在很多应用中要用到这个“内”字,而且也与微分中值定理的叙述相一致.1.2积分第二中值定理积分中值定理无论在理论上还是在应用上在积分学中都有重要意义,所谓积分第二中值定理则比积分第一中值定理更为精细,下面给出该定理与其证明.定理3 设函数在上可积，在上单调且在上连续，那么存在一点，使得在上可积 . 证 假设在上单调减少且非负，将区间分成几部分，即而,记则:,由于在上单调减少且非负,即而,根据阿贝尔引理有:,当时,有即:,所以，当时有:（时成立的）,而当时也成立.由介值定理知连续函数在上某点处取得上、下确界之间的中间值即： 令,由于单调减少,则单调减少且非负,由得：,即 如果在处不一定连续,则公式可改写为:.如果在上具有连续导数,在上连续则上述定理可用一个较简单的方法证明,在证明过程中主要使用分部积分法和积分第一中值定理.证 由于在上连续,则为其原函数,现对使用分部积分,其中令,对使用积分第一中值定理所以.2积分中值定理的推广2.1 积分第一中值定理的推广定理4 若在上连续且单调,则存在唯一一点,使得.上述定理4是在加强了定理1与定理2的条件的基础上得出的.定理5 若函数与在上连续且在上不变号,则至少存在一点,使得.注 若本定理中的条件“在上连续”减弱为“在上可积”时,定理仍然是成立的.定理5的逆命题为:若函数在上连续且严格单调,且在上可积且不变号,则任意的一点,必存在,使得,且满足.在该定理中的条件“严格单调”的条件是必不可少的,否则便不能保证结论成立.定理6 若在上连续,在上可积且不变号,则至少存在一点,使得.注 在上连续且严格单调,在上可积且不变号,则任意的一点,必存在,使得,且满足.相对于定理6 中的结论,本文进一步讨论如下一些更一般的推广结论.定理7 若在上连续,在上可积且不变号,则至少存在一点,使得.为了给出积分第一中值定理的推广形式,先引入下面的两个引理:引理1 设是上有的可积的非负函数且，那么对任意，存在的子区间，使得对任意的都有.引理2 设是上有的可积的非负函数,而且有;则的充要条件是在中稠密.定理8 设是上有原函数的可积函数,在上可积且不变号,且,则至少存在一点,使得.上述定理8与定理7、定理6相比较,在上连续的条件被减弱为在上存在原函数,而且结论中的点精确到内,这不仅方便应用而且与微分中值定理相一致.注 由积分中值定理知,若函数和在上连续,在上可积且不变号,则有故有等式.式中与一般不相等,但如下的定理给出了一般性结论.特别地,当时,就是定理8.定理9 设与都是上的可积函数,且在上不变号,则至少存在一点,使得. 其中,.特别地，当在上连续时，式可以改写为.定理10 若函数和分别在内连续且在上可积,在内,则至少存在一点,使得.定理11 若在内连续且在上可积,在内,则至少存在一点,使得.2.2 积分第二中值定理的推广上面我们介绍了积分第二中值定理及其证明,下面我们把它推广,于是我们有以下定理.定理12 函数在上可积,在上单调递减,且,则存在,使得:. 函数在上可积,在上单调递增,且,则存在,使得:.定理13 函数在上可积,在上单调,则存在,使得:.定理14 函数在上连续可微,为连续可微的单调函数,则存在,使得:.注:与定理13相比,这里的条件要强的多.定理15 设函数在上单调递增且非负,在上可积,且,则存在,使得:设函数在上单调递减且非负,在上可积,且,则存在,使得:定理16 设函数在上单调且非负,在上可积,且,则有以下几点:函数在上单调递增时,存在,使得.函数在上单调递减时，存在，使得.定理17 设是上有原函数,在上可积且不变号,则至少存在一点,使得:.3积分中值定理的应用积分中值定理的理论非常复杂,证明方式也很多,这里不做过多的讨论,下面我们给出它在各个方面的应用.3.1积分第一中值定理的应用3.1.1用于确定数列极限例1 证明分析 此数列通项含有定积分,而定积分不易求出,可用推广的积分第一中值定理化解积分.证 应用推广的积分第一中值定理有3.1.2用于确定函数极限例2 设函数连续,且,求极限.分析 先做变量代换,然后用罗比塔法则,因为不能判断是否存在,所以不能用罗比塔法则,可用积分中值定理.解 令则因为所求函数极限为行=型不定式，由罗比塔法则及积分中值定理有此处在0与之间,由于函数连续有.例3 设在上不恒为零,且其导数连续,并有,试证明:存在一点,使得.证 由及在上不恒为零,可知在上不恒为常数.如果,则结论成立.下面考虑的情形.由定理2、及拉格朗日中值定理可知,存在一点,使得=,其中,于是得到.注 显然本题的条件可以减弱,结论可以加强.3.1.3用于判别级数的收敛性例3 设单调下降且非负,证明与有相同的敛散性.分析 此题目的关键在于:由积分判别法将的敛散性等价于的敛散性,而将表示为积分项级数,再利用积分中值定理及函数的非负递减性即可.证 因为递减非负,则有，故有这表明与有相同的敛散性,另一方面,根据积分判别法与有相同的敛散性,由此即得所要的结论.3.2积分第二中值定理的应用3.2.1定理的直接应用例5 若在上可积,在上单调递增且非负,在上连续,则存在,使.证 令，因为非负且单调递减利用公式有:.而由即.3.2.2积分第二中值定理在不等式中的应用例6 证明时.证 取,由积分中值定理及其推广可得:例7 证明极限证 由积分中值定理和它的推论可得：令可知在上连续，而且不变号，所以存在使得：，因此有以下式子.则有注:在一些比较复杂的极限证明过程中应用积分第二中值定理可以都到很好的结果,而且计算过程简单易懂.参考文献1吉林大学数学系.数学分析（上册）M.北京:人民教育出版社，1979:.2华东师范大学数学系.数学分析（第三版）M.北京:高等教育出版社，2001,6.3金渝光.关于积分中值定理J.重庆师范学院学报（自然科学版）,1998,15（增刊）：3637.4原华丽.关于积分中值定理的探究J.山东师范大学学报（自然科学版）,2004，19（3）:8385.5邢富冲.定积分第一中值定理的改进与应用J.中央民族大学学报（自然科学版），2008，17（3）：17216原华丽.关于积分中值定理的探究J.山东师范大学学报（自然科学版），2004，19（3）：8385.7李仁琼,梁波.定积分第一中值定理的证明及其推广J.重庆文理学院学报（自然科学版）,2006,15（3）：2635.8马亚利.谈积分中值定理中的位置M.陕西师范大学学报（自然科学版）,2006,15（增刊）：1837.专心-专注-专业