第9章多元函数微分法及其应用近年试题.doc

精选优质文档-倾情为你奉上0809 B一、填空题（每小题3分，共18分）2、设，则其全微分 3、函数的所有间断点是 .二、选择题（每小题3分，共15分）1、，则极限（ ）（A）不存在 （B）1 （C）2 （D）0A当点沿曲线趋向时，显然，当k取值不同是，极限也不相同。所以 不存在2、在曲线所有切线中，与平面平行的切线（ ）（A）只有一条； （B） 只有两条； （C）至少有3条； （D） 不存在曲线的切向量,平面的法向量,所以只有一条切线满足条件.3、点是函数的（ ） （A）极值点；（B）.驻点但不是极值点；（C）是极值点但不是驻点；（D）以上都不对 分析: 令,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是的鞍点,不是极值点.四、计算题（每小题8分，共32分）1、设求和解 五、解答题（每小题分10，共20分）1、要造一个容积为定数a的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小？此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为则问题就是在条件下求函数 的最小值. 作拉格朗日函数 求其对的偏导数，并使之为零，得到 因为都不等于零， 得 代入,得这是唯一可能的极值点. 由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得. 即长宽高为时, 最小表面积 0910B一、填空题（每小题2分，共10分）2、设函数是由方程给出，则全微分 ,.3、曲面在点处的切平面方程为 .切平面得法向量切平面方程为二、选择题（每小题2分，共10分）1、二元函数在点处可微是两个偏导数都存在的 （ ） （A）充分条件 （B）必要条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件.四、计算题（每小题10分，共40分）1、设，而、，求:、解：，1011B一、填空题（每小题3分，共15分）(1) 设二元函数，则 .(2) 旋转抛物面在点处的法线方程是 .法线的方向向量法线方程是.二、单项选择题（每小题3分，共15分）(4) 设的全微分为 则点 ( C ) 不是的连续点； 不是的极值点； 是的极小值点； 是的极大值点.分析:,得,由,则点 是的极小值点.三、求偏导数（每小题10分，共20分）（1）设，其中具有二阶连续偏导数.求 ；.解: (2)设是方程在点确定的隐函数，求及 解:令 1分则 6分 ； 8分 10分六、应用题（本题满分10分）从斜边长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.解：设另两边长分别为，则 ，周长 2分 设拉格朗日函数 4分 令 6分解方程组得为唯一驻点，且最大周长一定存在 8分故当时，最大周长为 10分1112B一、填空题（每小题2分，共10分）1. 在点处的2. 设函数在点取得极值，则常数.,所以例36设函数在处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题解因为在处的偏导数均存在，因此点必为驻点， 则有 ，因此有，即因为， ，所以，函数在处取得极小值二、选择题（每小题2分，共10分）3. 在点处函数的全微分存在的充分条件为 （ ）(A) 均存在 (B) 连续 (C) 的全部一阶偏导数均连续 (D) 连续且均存在三、计算题（每小题8分，共40分）1. 设是由方程所确定的隐函数，计算的值.解:设 ，则， ，4. 求函数在点沿着从该点到点的方向导数.解 方向 , .五、证明题（每小题7分，共7分）证明在点偏导数存在，但不可微.证: ,.3分 当点沿曲线趋向时，.显然，当k取值不同是，极限也不相同。所以 不存在这表示当时, 1213B一、填空题（每小题2分，共10分） (2) 极限 . 分子有理化(3) 设二元函数，则 .二、选择题（每小题2分，共10分）(1) 设函数，则极限()(A) . (B) . (C) . (D) 不存在.当点沿曲线趋向时，显然，当k取值不同是，极限也不相同。所以 不存在 (2) 二元函数在点处的全微分存在是它在该点连续的(   )(A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分也非必要条件.如果函数在一点可微分,则函数在该点连续三、计算题（每小题8分，共40分）(1) 设，求，和.解: (2) 设是由方程所确定的隐函数，求和.解I： 用隐函数求导公式，解II： 将看作的函数，两边对求导，得：即，同理两边对求导得 解III： 将方程两边求全微分，得：，解出得：，将z看作的函数，继续求导，即得二阶偏导数：，四、应用题（每小题10分，共20分）(1) 求旋转抛物面上垂直于直线的切平面方程.解: 令,任取旋转抛物面上一点，该点的法向量, 已知直线的方向向量因为所求平面的法向量与已知直线的方向向量平行,所以代入,得,所以所求的切平面方程为或.注:已知直线的方向向量也可以按下面的两种方式求1. 把看成是的函数，在方程组中对求导，得，解得则方向向量2. 令，直线的方向向量， (2) 求函数在条件下的最大值与最小值. 解令，于是由解得即,为可能的极值点，可能的极值,从而所求函数的最大值是，最小值是.五、综合题（每小题10分，共20分） (2) 设是定义在上的连续函数，是由圆和直线，所围成的区域在第一象限部分（，）. 记，求.解: 区域用极坐标表示0607高数A一、填空题（每小题4分，共32分）一、 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 函数的定义域为 _.5. 曲面上点P(1,1,2) 处的切平面方程为 .切平面的法向量切平面方程或.二、单项选择题（本题共5小题，每题4分，满分20分）1. 考虑二元函数的下面4条性质： 若用表示可由性质推出性质，则有 A (A) ; (B ) ; (C) ; (D) .2. 坐标原点(0,0)是函数的 B (A) 既是驻点也是极值点； (B) 驻点但非极值点；(C) 极值点但非驻点； (D) 既非驻点也非极值点. ,所以(0,0)是驻点但非极值点三 、计算题一（本题共两小题，满分15分）1. 已知、； 解: 2.已知，求.解: 注意在方程组中对求导，得，解得0708高数A一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 极限 2. 曲面上点P(2,1,0) 处的切平面方程为 .设,切平面的法向量切平面方程或.二、单项选择题（本题共5小题，每题4分，满分20分）1. 设,则它在点(1,0)处( B ).(A) 取得极大值; (B ) 无极值; (C) 取得极小值; (D) 无法判定是否有极值.解: ,.,所以函数在点(1,0)处无极值.三 、计算题（本题共两小题，满分14分）1. (7分) 设函数其中具有二阶连续偏导数,求. 1(7分) 解: 3分 7分2.(7分) 设函数，求.解: 令, 1分 2分 4分将看作的函数,继续求导,得 7分0809A一、填空题（每小题2分，满分10分）1. 极限 2. 曲面在点(1,1,2) 处的切平面方程为 .设,切平面的法向量切平面方程或.二、选择题（每题2分，满分10分）1.函数在可微是它在该点两个一阶偏导数都存在的( A ).(A) 充分条件; (B ) 必要条件; (C) 充要条件; (D) 非充分亦非必要条件.2. 设在点(0,0)处( C ).(A) 取得极大值; (B ) 取得极小值; (C) 无极值; (D) 无法判定是否有极值.三 、求偏导数或全微分（每小题8分，满分24分）1.设函数,求dz和. 解: 2. 设，求. 解：，3 设由确定，有一阶连续偏导，求解: 设则 六、（8分）求函数的极值解：解方程组求得以下五组解于是驻点,又所以1.在处,故不是极值；2. 在处故不是极值；3. 在处故不是极值；4. 在处故不是极值；5. 在处故函数在点取得极大值，极大值为36.综上所述，函数的极大值为36，无极小值.0910高数A一、填空题（每小题3分，共18分）1. 设，则.3. 函数的全微分为 .二、选择题（每小题3分，共18分）4. 曲面在任一点处的切平面与坐标轴的截距之和为 B (A) ； (B) 3； (C) 9； (D) 1. 三、计算题（每小题8分，共32分）1.设.解：； 四、应用题（每小题8分，共16分）1. 在已给的椭球面内的一切内接长方体（各边分别平行于坐标轴）中，求其体积最大者.解：此题是条件极值，约束条件是内接于椭球面由椭球的对称性，不妨设是该球面上位于第卦限的任一点，则约束条件为，本题不易变为一元函数，采用拉格朗日数乘法解之。设内接长方体的相邻边长为，其体积为：.构造拉格朗日函数求得, =六、（8分）设函数f (u)在(0,+¥)内具有二阶偏导数，且满足等式. 验证； 若求函数f (u)的表达式.解： 设，则 .2分同理，由. .4分 设，则原方程化为： 积分得：，即 .6分由得C=1.于是代入得：C1=0.函数f (u)的表达式为：. .8分1011高数A一、填空题（每小题3分，共15分）1、.2二、选择题（每小题3分，共15分）1、设可导函数满足则 ( B ) 是的极值点 是的驻点 是的连续点 在处可微分三、求下列函数的导数（每小题6分，共18分）1、已知，求解:2、已知，求解: 设则 , 3、已知，求，解: 1112高数A一、填空题（每小题2分，共10分）(1) 极限 .0二、选择题（每小题2分，共10分）(1) 函数在点处的全微分存在的充分条件是(   )(A) 在点处的两个一阶偏导数都存在. (B) 在点处连续. (C) 在点处的两个一阶偏导数都连续. (D) 在点处连续并且两个一阶偏导数都存在. (2) 设,则它在点处 (       )(A) 取得极大值. (B) 无极值. (C) 取得极小值. (D) 无法判定是否有极值.解：解方程组求得解于是驻点又所以在处,可能是极值点,也可能不是极值点.但是在附近函数有大于0的点也有小于0的点.所以在处无极值三、计算题（每小题10分，共40分）(1) 设，求，和.(1) 解：， 5分 ，10分(2) 求函数的极值.解：解方程组求得解于是得唯一驻点又,故函数在点取得极小值，极小值为五、应用题（10分）设具有连续偏导数，且满足. 求所满足的一阶微分方程，并求其通解.(2) 解：， 3分满足的一阶微分方程是. 5分通解. 10分1213高数A一、填空题（每小题2分，共10分） (2) 设二元函数，则 .二、选择题（每小题2分，共10分）(1) 设函数，则极限(A) . (B) . (C) . (D) 不存在.D(2) 二元函数在点处的全微分存在是它在该点连续的(A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分也非必要条件.A三、计算题（每小题8分，共40分）(1) 设，求，和.解: (2) 设是由方程所确定的隐函数，求和.解I： 用隐函数求导公式，解II： 将看作的函数，两边对求导，得：即，同理两边对求导得 解III： 将方程两边求全微分，得：，解出得：，将z看作的函数，继续求导，即得二阶偏导数：，五、综合题（10分）设是定义在上的连续函数，是由圆和直线，所围成的区域在第一象限部分（，）. 记，求.解: 区域用极坐标表示专心-专注-专业