第三节 向量的坐标.ppt
1,e1 1. 轴上有向线段的值轴上有向线段的值 eAB设有一轴设有一轴 ,uAB是是轴轴u上的有向线段。上的有向线段。 若数若数 满足：满足： （1）AB （2）AB与轴与轴 u同向时，同向时， ;0 AB与轴与轴 u反向时，反向时，. 0 则数则数 叫做轴叫做轴 u上有向线段上有向线段 AB的值的值， 记作记作: ,AB即即 .AB 设设e是与是与 u同方向的单位向量，同方向的单位向量， 则向量则向量 ;eAB 反之，若反之，若 , eAB 则则 . AB即即 eABABo1u 2euOA1 euOB2 OAOBAB ,uOA1 2uOB eueu12 设设CBA、是是u轴上的任意三点，轴上的任意三点， uABC BCABAC eBCeABeAC eBCAB BCABAC . euu12 eAB2u1uo1u 即即.12euuAB若若u1,u2即即A,B两点的坐标两点的坐标12uuAB3u2. 2. 两个向量的夹角两个向量的夹角 ABab O 3. 3. 向量的投影向量的投影 A u轴轴 平面平面 A叫做点叫做点 A在在u轴轴 上的投影。上的投影。 ,aOA 0 ,AOB称为称为 向量向量ab与与的夹角。的夹角。 记为记为 ba,ab或或., ba即即,bOB 它们的夹角可以取它们的夹角可以取 若向量若向量与与 中有一个为零向量，中有一个为零向量， ab之间的任意值。之间的任意值。 0与与 A 4uABB叫做叫做投影轴投影轴。u轴轴ABBAuPrj上的上的投影投影 。BA叫做向量叫做向量 AB在轴在轴 uABuPrj记作记作或或 ,uAB即即 B A（投影定理投影定理） .cos ABABBAu Prj其中其中 为向量为向量AB与轴与轴u的夹角。的夹角。 ABABuuPrjPrjABABuPrj cosABu向量向量AB的值的值, BAAB Projection投影投影5.12uuOAOBBAuuaABPrjeaBAu12uu . babauuuPrjPrjPrjnnaaaaaauuuujjPrjPrjPrPr2121.aauuPrjPrj 设设,ABa ,ABBAuPrjuO AABB2u1ueuu12BA称为称为AB在在u轴上的轴上的分向量分向量.6RMQMPMMM11121 xyzoPNQ1M2MR1P2P1Q2Q1R2R设设 21MMa 是以是以 1111z ,y,xM为起点、为起点、 2222z ,y,xM为终点的向量。为终点的向量。 211PPPM 211QQQM 211RRRM 212121RR,QQ,PP分别称为向量分别称为向量21MM在在 x 轴轴, y 轴轴, z 轴上的轴上的分向量分向量。21212121RRQQPPMM 7这一坐标系的这一坐标系的基本单位向量基本单位向量, 则则 kji, 以以分别表示沿分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量轴正向的单位向量, 并称它们为并称它们为 ,21 kajaiaMMazyx kzzjyyixxMM12121221因此因此 或或 上式称为上式称为向量向量 a按基本单位向量的分解式。按基本单位向量的分解式。 xyzoPNQ1M2MR1P2P1Q2Q1R2R 21iaPPx 21jaQQy 21kaRRz ,12 ixx ,12 jyy ,12 kzz 1x2x1y2y2z1zzyxa,a,aa kij向量向量 a分别在分别在 x, y, z 轴上的投影轴上的投影. 8zyxaaaa,.,12121221zzyyxxMM于是于是 .,zyxOM 特别地特别地，向径，向径: 向量向量azyxaaa,是三个数，是三个数，在三个坐标轴上的投影在三个坐标轴上的投影而向量而向量a.,kajaiazyx在三个坐标轴上的分向量是三个向量在三个坐标轴上的分向量是三个向量向量向量a,zyxaaa叫做向量叫做向量a的坐标的坐标,在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的投影投影记作：记作：zyxaaaa,a的坐标表示式的坐标表示式92. 2. 向量的坐标运算向量的坐标运算 ,zyxaaaa ,zyxbbbb zzyyxxbabababa,1 zzyyxxbabababa,2 zyxaaaa ,3 设：设： 则则 zyxaaa,当当中有一个或两个为零，中有一个或两个为零，zyxbbb,中对应中对应 的值也为零。的值也为零。zzyyxxababab当向量当向量时，时，0aba/ab zyxzyxaaabbb ,如：如：等等。0 , 6 , 0,0 , 2 , 0;0 , 6 , 9,0 , 2 , 3baba 10解解,MBAM .OMOBMB ,OAOMAM OMOBOAOM ,11OBOAOM z ,y,x求求 .z ,y,xM例例2 已知已知 ,222111ABMzyxBzyxA.1 MBAM 111z ,y,xAM 322z ,y,xBxyzo212121,11zzyyxx 222111,11zyxzyx 11 1,1,1212121zzzyyyxxx得点得点M的坐标为的坐标为2,2,2212121zzzyyyxxxAB点点 M 叫做有向线段叫做有向线段 的定比分点。的定比分点。 当当AB1 时时, 点点M 是有向线段是有向线段的中点的中点, 其坐标为其坐标为12xyzoPQ1M2MR ,称为向量称为向量 的方向角。的方向角。 a可以用它与三条坐标轴的夹角可以用它与三条坐标轴的夹角 ,0,来表示它来表示它 ,21MMa 对于非零向量对于非零向量 的方向。的方向。 向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影, 所以所以(2) ;coscos21 aMMax cos,cos,cos叫做向量叫做向量 的方向余弦的方向余弦.a;coscos21 aMMay.coscos21 aMMaz1321212121RMQMPMMMa (3) 222.aaazyx (4) .cos,cos,cos222222222zyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa （）是用向量坐标表示的向量的模。（）是用向量坐标表示的向量的模。 （）是用向量坐标表示的向量的方向余弦公式。（）是用向量坐标表示的向量的方向余弦公式。0222zyxaaaa当当时，时， 将（）式代入（）式得将（）式代入（）式得14 (5) . 1coscoscos222222222zyxzyxaaaaaa a与非零向量同向的单位向量为与非零向量同向的单位向量为 aaa0zyxaaaa,1.cos,cos,cos 例例3 已知已知,0 , 3 , 1,2, 2 , 221MM计算向量计算向量21MM的模，方向余弦的模，方向余弦和方向角。和方向角。解解 ;2, 1 , 120 , 23 , 2121MM; 221122221MM;22cos,21cos,21cos .43,3,32 15例例4 已知已知 ,B,A317504求方向和求方向和AB一致的单位向量。一致的单位向量。.ABABa 0解解 ,AB213530147 .14213222AB.,ABABa 142141143016小结：小结： 1.向量在轴上的投影向量在轴上的投影 2.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 3.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式
