B5 量纲分析与相似原理.ppt

课程主讲人：B5 量纲分析与相似原理B5量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理 量纲分析揭示物理量量纲之间的内在联系，可量纲分析揭示物理量量纲之间的内在联系，可对物理现象作定性或半定量分析。对物理现象作定性或半定量分析。 相似原理是相似原理是指导模拟实验的理论基础。指导模拟实验的理论基础。 B5.1 B5.1 量纲与量纲齐次性量纲与量纲齐次性 1 1、量纲的概念、量纲的概念 物理量包含大小和类别；大小由单位度量。物理量包含大小和类别；大小由单位度量。分基本单位分基本单位( (物理量物理量) )和导出单位和导出单位 ( (物理量物理量) )。 流体力学基本量（单位）：质量流体力学基本量（单位）：质量( (g) )、长度长度( (m) )、时间时间( (s) )和温度和温度( ) ( ) CK或导出量（单位）由定义和物理公式决定。导出量（单位）由定义和物理公式决定。 物理量的类别物理量的类别 量纲。量纲。 基本量的量纲称为基本量纲；导出量的量纲可用基本量的量纲称为基本量纲；导出量的量纲可用基本量纲的幂次表示，称为量纲幂次式。基本量纲的幂次表示，称为量纲幂次式。 在国际单位制中基本量纲记为在国际单位制中基本量纲记为 dimM,dimL,dimTml =t导出量量纲举例：导出量量纲举例： 1dim VLT13 dimTLQ3dim ML2 dim MLTF12dim dim pML T11 dimTML12 dimTL2. 量纲齐次性原理量纲齐次性原理 物理方程的量纲齐次性：物理方程描述同类物物理方程的量纲齐次性：物理方程描述同类物理量之间的定量关系。将方程中各项均用量纲幂理量之间的定量关系。将方程中各项均用量纲幂次式表示，各项的基本量纲必须齐次。次式表示，各项的基本量纲必须齐次。 以伯努利方程（沿流线）为例：以伯努利方程（沿流线）为例： 物理方程既然是量纲齐次的，可以将其无量纲化物理方程既然是量纲齐次的，可以将其无量纲化。单位体积单位体积 2112vgzpC121dim ML TC222dim L TC2212pvgzC单位质量单位质量1dim LC 单位重量单位重量232vpzCgg 伯努利方程伯努利方程221122vpUp例如无粘流体（忽略粘性、重力）以速度例如无粘流体（忽略粘性、重力）以速度 对二对二维圆柱作定常绕流。用无量纲形式的伯努利方程维圆柱作定常绕流。用无量纲形式的伯努利方程求圆柱表面的压强系数表达式。求圆柱表面的压强系数表达式。 U无量纲化后无量纲化后压强系数为压强系数为 221/1/2pCppUv U引入无量纲速度引入无量纲速度 ，方程简化为，方程简化为 /vv U21pCv pC上式为伯努利方程的无量纲形式，压强系数上式为伯努利方程的无量纲形式，压强系数 和无量纲速度和无量纲速度 为新的无量纲量。为新的无量纲量。v用平面势流方法求得用平面势流方法求得圆柱表面压强系数曲线如图示：圆柱表面压强系数曲线如图示： 无量纲方程和曲线适用于任意大小的圆柱和任意大无量纲方程和曲线适用于任意大小的圆柱和任意大小的来流速度，具有普适性。小的来流速度，具有普适性。 前后驻点前后驻点( )( )是正值是正值1 1； 0,180 侧点侧点( )( )是最大负值是最大负值3 3； 90 此例说明通过无量纲化可将原方程的形式简化，此例说明通过无量纲化可将原方程的形式简化，并具有普适性。并具有普适性。214sinpC B5.2.1 B5.2.1 白金汉白金汉定理定理 B5.2 量纲分析量纲分析与与定理定理奠定量纲分析理论基础的是白金汉奠定量纲分析理论基础的是白金汉,他提出了他提出了定理定理。 该方程包含该方程包含n个物理量，每个物理量的量纲均由个物理量，每个物理量的量纲均由r个独立的基本量纲组成，这些物理量可以并只可以个独立的基本量纲组成，这些物理量可以并只可以组合成组合成 个独立的无量纲量，称为个独立的无量纲量，称为数。数。 nr2 2、选择、选择r个独立的物理量为基本量，将其余个独立的物理量为基本量，将其余 个个物理量作为导出量，依次同基本量作组合量纲分析物理量作为导出量，依次同基本量作组合量纲分析，可求得相互独立的，可求得相互独立的 个个数。数。 nrnr1 1、原方程有、原方程有n个变量个变量123(,.,)nxxxx111= (,)n rf 3 3、组成新的无量纲方程、组成新的无量纲方程例例光滑圆球绕流阻力光滑圆球绕流阻力 (1)(1)列举所有相关物理量列举所有相关物理量( , , ,)DFV d (2)(2)选择基本量选择基本量 , ,V d(3)(3)确定导出量的确定导出量的数数 求求 的的数数DF1abcDV d F 00032M L T(ML) (LT) L (MLT)abc202:013:01:11111bTcbaLaM122abc ( (阻力系数阻力系数) ) 122DDFCV dB5.2.2 B5.2.2 量纲分析法量纲分析法求求 的的数数2abcV d 111abc 000321M L T(ML ) (LT) L (ML T)abc110310T10MaLabcb ：ReVd12 （雷诺数雷诺数）(4)(4)用用数组成新的方程数组成新的方程 112()f即即 ()DCf Re或或 )(22RefdVFD上式表明光滑圆球绕流阻力是雷诺数的函数。上式表明光滑圆球绕流阻力是雷诺数的函数。(3)(3)量纲分析关键在第一步：正确选择物理量。若遗量纲分析关键在第一步：正确选择物理量。若遗漏了必需的物理量将导致错误漏了必需的物理量将导致错误, ,引入无关的物理量使引入无关的物理量使分析复杂化。这需掌握流体力学知识和一定经验。分析复杂化。这需掌握流体力学知识和一定经验。 (1) 原有原有5个物理量，需做个物理量，需做104次实验才能得到需要次实验才能得到需要的实验曲线。现在组合成的实验曲线。现在组合成2 2个无量纲量个无量纲量 ，只需做只需做10次实验（改变次实验（改变V 即可即可) )。 DC ,Re(2)(2)得到的得到的 曲线具有普适性。曲线具有普适性。 ReDC 分析光滑圆球在静止粘性流体中运动时受到的阻分析光滑圆球在静止粘性流体中运动时受到的阻力是流体力学中的经典问题，至今没有完整的解析力是流体力学中的经典问题，至今没有完整的解析解，主要靠实验研究解，主要靠实验研究。01/25/2abc 例例B5.2.2B B5.2.2B 三角堰三角堰 用量纲分析法求流量公式用量纲分析法求流量公式 。 ( )Qf h(2)(2)选择基本量选择基本量 , ,g h(3)(3)确定导出量的确定导出量的数数 解解(1)(1)列举物理量列举物理量( , ,)Qg h 求求 的的数数1abcg h Q Q000323M L T(ML ) (LT) L (LT)abc1012:033:0:bTcbaLaM2/12/51ghQ求求 的的数数2 (4)(4)用用数组成新的方程数组成新的方程 112()f5/25/21/2()( )QfQfghhg或讨论讨论(1)(1)例例B4.2.1C中的解析解为中的解析解为 ，量纲分析结果与解析解形式一致。量纲分析结果与解析解形式一致。 2/5)(2158hfgQ (2)(2)若没有解析解若没有解析解, ,根据量纲分析结果在保证根据量纲分析结果在保证h不变的不变的条件下做条件下做1010次实验，可得到次实验，可得到 的经验表达式。的经验表达式。 ( )f (3)(3)对对 角确定的三角堰，量纲分析解确定了角确定的三角堰，量纲分析解确定了Q与与h的定量关系。量纲分析与解析法起了同样的作用。的定量关系。量纲分析与解析法起了同样的作用。 B5.3 B5.3 流动相似与相似准则流动相似与相似准则 B5.3.1 B5.3.1 流动相似概念与相似准则数流动相似概念与相似准则数 矩形相似条件为矩形相似条件为 llhklh在流动中几何相似指在流动中几何相似指两个流场中尺度两个流场中尺度成比例。此外成比例。此外还有动力相似，即对应力成比例还有动力相似，即对应力成比例 。 gviFvgiFFFkFFF对流场本身作特征分析，写成对流场本身作特征分析，写成 。将。将h称为称为特征长度，将无量纲长度特征长度，将无量纲长度 称为几何相似准则数。称为几何相似准则数。*ll=lhh*lF相似的矩形有相同的相似准则数。取惯性力为特相似的矩形有相同的相似准则数。取惯性力为特征力，其它力与惯性力相比可得无量纲力征力，其它力与惯性力相比可得无量纲力 。 以不可压缩粘性流动为例。以不可压缩粘性流动为例。 1 1量纲分析法量纲分析法 确定相似准则数的确定相似准则数的两种两种方法方法 *,ggvvvgiiiiFFFFFFFFFF 等称为动力相似准则数。等称为动力相似准则数。 *,vgFF 有关的物理量为密度有关的物理量为密度 ，速度，速度V，长度长度l，粘度粘度 ，重力加速度重力加速度g，压强差压强差p，脉动圆频率脉动圆频率 ，共，共7 7个。个。 用量纲分析法，取用量纲分析法，取 为基本量，由为基本量，由4 4个导出个导出量可分别构成量可分别构成4 4个动力相似准则数（个动力相似准则数（数）。数）。 , ,V l量纲分析法常用于未知物理方程的场合。量纲分析法常用于未知物理方程的场合。 引入特征量引入特征量V、l、p0、g、1/，将各类物理量化将各类物理量化为无量纲量为无量纲量 2212Re ()()VlVFrgl 雷诺数 ，弗劳德数342()()plEuSrVV 欧拉数 ，斯特劳哈尔数2.2.方程分析法方程分析法 当物理方程已知时，将其无量纲化。如当物理方程已知时，将其无量纲化。如N-S方程方程)(1222222zuyuxuxpfzuwyuvxuutux方程分析法导出的相似准则数物理意义明确。方程分析法导出的相似准则数物理意义明确。 代入代入N-S方程后可得方程后可得 *0,xxuvwxyzuvwxyzVVVlllfpfpttgp；*2*2*2*022*2*2*2xluuuuuvwVtxyzpl gpuuufVVxVlxyz 4 4个无量纲系数为个无量纲系数为 数。并分别代表了数。并分别代表了不定常惯性力、重力、压力、粘性力与迁移惯性不定常惯性力、重力、压力、粘性力与迁移惯性力的量级比值。力的量级比值。 1,Sr FrEu Re， 特征长度：在圆管内取管径（圆管流动雷诺数）特征长度：在圆管内取管径（圆管流动雷诺数），对钝体绕流取绕流截面宽度（绕流雷诺数），对，对钝体绕流取绕流截面宽度（绕流雷诺数），对平板边界层取离前缘的距离（当地雷诺数）；平板边界层取离前缘的距离（当地雷诺数）； B5.4 常用的相似准则数常用的相似准则数 雷诺数是描述粘性流体行为的主要相似准则数。雷诺数是描述粘性流体行为的主要相似准则数。 特征速度：在圆管内取平均速度，对钝体绕流取特征速度：在圆管内取平均速度，对钝体绕流取来流速度，对平板边界层取外流速度。来流速度，对平板边界层取外流速度。 1 1、雷诺数、雷诺数 VlRe 按雷诺数大小可对粘性流动分类：当按雷诺数大小可对粘性流动分类：当Re1时称为大雷时称为大雷诺数流动，除边界层外外流可按无粘性流体处理诺数流动，除边界层外外流可按无粘性流体处理。 特征长度：对船舶取船长，对明渠取水深；特征长度：对船舶取船长，对明渠取水深； 弗劳德数表征惯性力与重力之量级比。主要用于船弗劳德数表征惯性力与重力之量级比。主要用于船模和明渠实验。模和明渠实验。 特征速度：对船舶取行进速度，对明渠取平均流速。特征速度：对船舶取行进速度，对明渠取平均流速。 2 2、弗劳德数、弗劳德数 VFrgl 3 3、欧拉数、欧拉数212pEuV 欧拉数表征压力与惯性力之量级比。描述压强差欧拉数表征压力与惯性力之量级比。描述压强差时，称为压强系数，表为时，称为压强系数，表为 。2=/ 0.5pCpV 斯特劳哈尔数是研究不定常流动时间特征的相似斯特劳哈尔数是研究不定常流动时间特征的相似准则数。准则数。 牛顿数是描述阻力、升力、力矩，动力机械中的牛顿数是描述阻力、升力、力矩，动力机械中的功率等影响的相似准则数。分别称为阻力系数、功率等影响的相似准则数。分别称为阻力系数、升力系数、力矩系数和功率系数等。后二者表为升力系数、力矩系数和功率系数等。后二者表为 上式中上式中D为动力机械旋转部件的直径，为动力机械旋转部件的直径，n为转速。为转速。 4 4、斯特劳哈尔数、斯特劳哈尔数 lSrV5 5、牛顿数、牛顿数 22lVFNe3 2532 3,12MWMWWCCV lD nV l 模型实验应模拟流动现象的物理本质。模型实验应模拟流动现象的物理本质。 模型实验主要用于无法用理论分析或数值计算的模型实验主要用于无法用理论分析或数值计算的场合，也用于验证理论分析或数值计算结果。场合，也用于验证理论分析或数值计算结果。 为了正确设计和进行模型实验必需对流动现象有为了正确设计和进行模型实验必需对流动现象有充分的认识，抓住支配该现象的主要物理法则。充分的认识，抓住支配该现象的主要物理法则。 B5.5 B5.5 模型实验与相似原理模型实验与相似原理 B5.5.1 B5.5.1 模型实验模型实验 模型实验的优点模型实验的优点(1) (1) 比原型实验节省费用比原型实验节省费用;(2) ;(2) 可可减少实验次数，提高工作效率减少实验次数，提高工作效率;(3);(3)按相似准则数原按相似准则数原理得到的实验曲线具有普适性。理得到的实验曲线具有普适性。 1 1相似条件和相似结果相似条件和相似结果 既适用于原型也适用于模型既适用于原型也适用于模型 B5.5.2 B5.5.2 相似原理简介相似原理简介 用量纲分析法或方程分析法得到的用量纲分析法或方程分析法得到的数方程数方程123n(,.) f 1m2m3mnm (,.)f当模型设计为（相似条件）当模型设计为（相似条件） 22m33mnnm ,. 可得（相似结果）可得（相似结果）11m 2 2主主数数 相似理论相似理论(1)(1)保证几何相似保证几何相似;(2);(2)保证模型和原型流保证模型和原型流场的主场的主数相等数相等;(3);(3)就能保证模型和原型流场相似就能保证模型和原型流场相似(4)(4)并使其他相关并使其他相关数也相等。数也相等。 相似条件中支配流动现象的主要相似条件中支配流动现象的主要数称为主数称为主数。数。 例如在粘性力占主导的流动中，例如在粘性力占主导的流动中，Re数是主数是主数；在重力数；在重力占主导的流动中，占主导的流动中，Fr数是主数是主数等。数等。 例一：水面船既有粘性阻力也有水重力引起的兴例一：水面船既有粘性阻力也有水重力引起的兴波阻力。两个主波阻力。两个主数数Re、Fr数都相等时为完全相数都相等时为完全相似，但实际上做不到。似，但实际上做不到。 1 1、局部相似、局部相似 设模型与原型满足几何相似：设模型与原型满足几何相似：lm / l = k ( (几何比数几何比数) )。 由由Re数相等数相等 1mmmmVlVlk 由由Fr数相等数相等mmVlkVl 为两式均满足为两式均满足 3/21,mmkkk 设设k = 0.1, ,原型水原型水 。为完全相似，模。为完全相似，模型液体应型液体应 。无。无法找到运动粘度如此低的液体。法找到运动粘度如此低的液体。 20.01cm /s3/2220.10.01cm /s = 0.00032cm /sm 工程上仍用水作模型液体，以工程上仍用水作模型液体，以Fr数为主数为主数。测数。测得兴波阻力后再作粘性修正，称为近似相似。得兴波阻力后再作粘性修正，称为近似相似。 2 2、自模性自模性 存在一种实际流动：在一定条件下无需保证主存在一种实际流动：在一定条件下无需保证主数相等，模型与原型自动保持相似。称为自模性数相等，模型与原型自动保持相似。称为自模性， 例如圆管流中当例如圆管流中当Re足够大后进入完全粗糙区足够大后进入完全粗糙区, ,Re数不数不起作用。只要相对粗糙度相等阻力系数即相等。起作用。只要相对粗糙度相等阻力系数即相等。 穆迪图穆迪图 Re( / )d 求模型与原型相似的条件和结果。求模型与原型相似的条件和结果。 解解(1)(1)推导推导数方程并确定主数方程并确定主数。数。 例例B5.5.2 B5.5.2 矩形板粘性绕流矩形板粘性绕流 已知在风洞中用矩形模型板测已知在风洞中用矩形模型板测量空气绕流阻力，模拟原型板量空气绕流阻力，模拟原型板在其他流体中的运动阻力。在其他流体中的运动阻力。 有关的物理量有关的物理量 ( , , , , )DFfV h b 以以 为基本量，用量纲分析法得为基本量，用量纲分析法得数方程为数方程为 ,V h22(,)DDFVh hCfV hb 主主数数为为Re。(2)(2)相似条件相似条件 (3)(3)相似结果相似结果 几何相似几何相似( (高宽比高宽比) ) mmhhbb 主主数相等数相等 mmmmV hVh选择实验流体密度、粘度为选择实验流体密度、粘度为m和和m，实验速度应，实验速度应为为 VhhVmmmm当两流场实现相似后阻力系数当两流场实现相似后阻力系数 必相等必相等 DC2222DmDmmmFFV hV h 原型阻力与模型阻力换算关系为原型阻力与模型阻力换算关系为 讨论讨论(1)(1)在风洞中对某高宽比矩形板作阻力测试在风洞中对某高宽比矩形板作阻力测试。改变风速。改变风速( (Re数数) )测得一组数据。画出该板的阻测得一组数据。画出该板的阻力曲线力曲线CD = f1 (Re)，可推广到相同高宽比的其他可推广到相同高宽比的其他矩形板。矩形板。 22() ()DDmmmmVhFFVh (2)(2)改变模型尺寸做系列实验，可得一簇矩形改变模型尺寸做系列实验，可得一簇矩形板阻力实验曲线板阻力实验曲线 。这。这组无量纲实验曲线对矩形板绕流阻力问题具有组无量纲实验曲线对矩形板绕流阻力问题具有普适性。普适性。 (),/(1,2,3)DiiiCf Reh b i 谢谢！谢谢！