12动量矩定理.PPT

课程主讲人：12动量矩定理电子教案普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教国家级规划教材材理理 论论 力力 学学朱西平朱西平 支希哲支希哲高等教育出版社 高等教育电子音像出版社 第第 12 章章 动量定理建立了作用力与动量变化之间的关动量定理建立了作用力与动量变化之间的关系，揭示了质点系机械运动规律的一个侧面。动系，揭示了质点系机械运动规律的一个侧面。动量矩定理则是从另一个侧面，揭示出质点系相对量矩定理则是从另一个侧面，揭示出质点系相对于某一点的运动规律，本章将推导动量矩定理并于某一点的运动规律，本章将推导动量矩定理并阐明其应用。阐明其应用。第12章 动量矩定理12- -1 动动 量量 矩矩12- -2 动量矩定理动量矩定理12- -3 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程12- -4 相对于质心的动量矩定理相对于质心的动量矩定理12- -5 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程几个实际问题几个实际问题谁最先到谁最先到 达顶点达顶点vArvBrmA = mBvAr vBr几个实际问题几个实际问题 直升机直升机如果没有如果没有尾翼将发尾翼将发生什么现生什么现象象几个实际问题几个实际问题 航天器航天器是怎样实是怎样实现姿态控现姿态控制的制的12-1 动 量 矩质点的动量矩质点的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩常见刚体运动的动量矩常见刚体运动的动量矩 质点质点A的动量的动量 mv 对点对点 O 的矩，的矩，定义为质点定义为质点A对点对点 O 的的动量动量 矩矩MO(mv) = r mv上式投影到各坐标轴可得动量上式投影到各坐标轴可得动量 mv 对各对各坐标轴的矩。坐标轴的矩。Mx(mv) = y ( mvz） z（mvy)My(mv) = z（mvx ） x（mvz)Mz(mv) = x (mvy） y（mvx)1. 质点的动量矩 (1) 对点的动量对点的动量 矩矩(2)对轴的动量对轴的动量 矩矩OAxyzrmvMO(mv)解析表达式解析表达式12-1 动 量 矩LO = MO(mivi) =ri mivi类似地可得类似地可得质点系对各坐标轴的动量矩质点系对各坐标轴的动量矩表达式表达式Lx = Mx(mivi)Ly = My(mivi)Lz = Mz(mivi) 质点系内各质点对某点质点系内各质点对某点 O 的动量矩的矢量和，称为这质的动量矩的矢量和，称为这质点系对该点点系对该点 O 的的动量主矩或动量矩动量主矩或动量矩，用，用 LO 表示，有表示，有 (1) 对点的动量对点的动量 矩矩(2) 对轴的动量对轴的动量 矩矩2.质点系的动量矩12-1 动 量 矩（3）质点系对固定点）质点系对固定点O的动量矩的另一种表示的动量矩的另一种表示 过固定点过固定点O建立固定坐标系建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心，以质点系的质心 C 为为原点，取平移坐标系原点，取平移坐标系 Cx y z , 质点系对固定点质点系对固定点O的动量矩的动量矩为为CCCOmLvrLLC 质点系相对质心质点系相对质心C 的动量矩的动量矩)(riiriCmvrLOAvxyzvCzyxCvCvrrCrr其中其中12-1 动 量 矩)()()(rriCiiCiiiOmmvvrrvrL 过固定点过固定点O建立固定坐标系建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心，以质点系的质心 C 为为原点，取平动坐标系原点，取平动坐标系 Cx y z ,它以质心的速度它以质心的速度 vC 运动。运动。 设质点系内任一质点设质点系内任一质点 A 在这平移坐在这平移坐标系中的相对速度是标系中的相对速度是vr ,该点的绝对速度该点的绝对速度 v=ve+vr= vC+vr ,则则质点系对固定点质点系对固定点O的的动量矩动量矩)() ()()(rrrriiiCiiiiCCiCmmmmvrvrvrvrOAvxyzvCzyxCvCvrrCrr12-1 动 量 矩)()()(rriCiiCiiiOmmvvrrvrL)() ()()(rrrriiiCiiiiCCiCmmmmvrvrvrvr)(rriiiCiCmmvrvrCCiCmLvrLC 质点系相对质心质点系相对质心C 的动量矩的动量矩对上式各项分析对上式各项分析CiCCiCmmvrvr)(0CiCiiiiCmmmrrr )()(vrvrvrC0CCiCiiCiimmmvrvrvrrrr )()(00则上式可以写为则上式可以写为Ciiimmr r)(OAvxyzvCzyxCvCvrrCrr12-1 动 量 矩 过固定点过固定点O建立固定坐标系建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心，以质点系的质心 C 为为原点，取平移坐标系原点，取平移坐标系 Cx y z , 质点系对固定点质点系对固定点O的动量矩的动量矩为为CCCOmLvrLLC 质点系相对质心质点系相对质心C 的动量矩的动量矩)(rriiiCm vrLOAvxyzvCzyxCvCvrrCrr上式即平面运动刚体对固定点上式即平面运动刚体对固定点O的的动量矩计算公式动量矩计算公式（3）质点系对固定点）质点系对固定点O的动量矩的另一种表示的动量矩的另一种表示 可以证明可以证明:在质心平移坐标系下，质点系的绝对动量对在质心平移坐标系下，质点系的绝对动量对质心质心C的动量矩等于相对动量对质心的动量矩等于相对动量对质心C的动量矩。的动量矩。 )()(rrriiiiiiCmmvrvrL即即12-1 动 量 矩 设刚体以速度设刚体以速度 v 平移，刚体内任一点平移，刚体内任一点 A 的矢径是的矢径是 ri ,该点的质量为该点的质量为mi，速度大小，速度大小是是 vi 。从而整个刚体对点从而整个刚体对点O 的动量矩的动量矩该质点对点该质点对点O 的动量矩为的动量矩为 MO(mivi) = ri miviLO = MO(mivi) = ri mivi(1) 平动刚体对固定点平动刚体对固定点O的动量矩的动量矩3.常见刚体运动的动量矩OriAmivi12-1 动 量 矩LO = MO(mivi) = (miri )vC从而整个刚体对点从而整个刚体对点O 的动量矩的动量矩该质点对点该质点对点O 的动量矩为的动量矩为 MO(mivi) = ri mivi因为刚体平移因为刚体平移 vi= v = vCLO = MO(mivi) = ri mivi又因为又因为 mi rC = miri所以所以 LO = mi rC vC=rC mi vCOriAmivi则则12-1 动 量 矩 设刚体以角速度设刚体以角速度 绕固定轴绕固定轴 z 转动，刚体内转动，刚体内任一点任一点 A 的转动半径是的转动半径是 rz 。Mz(mv) = rz m rz = mrz2 该点的速度大小是该点的速度大小是 v = rz ，方向同时垂方向同时垂直于轴直于轴 z 和转动半径和转动半径 rz，且指向转动前进的且指向转动前进的一方。一方。 若用若用 m 表示该质点的质量，则其动量对转表示该质点的质量，则其动量对转轴轴 z 的动量矩为的动量矩为(b)AmvzrzO(2) 定轴转动刚体对其转轴的动量矩12-1 动 量 矩Mz(mv) = rz m rz = mrz2 从而整个刚体对轴从而整个刚体对轴 z 的动量矩的动量矩Lz = Mz(mivi) = miriz2 = Jz 即即，作定轴转动的刚体对转轴的动量矩，等作定轴转动的刚体对转轴的动量矩，等于此刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积于此刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。 若用若用 m 表示该质点表示该质点A的质量，则其动量对转轴的质量，则其动量对转轴z的动量矩的动量矩为为(b)AmvzrzO12-1 动 量 矩（3）平面运动刚体对固定点）平面运动刚体对固定点O的动量矩的动量矩CCCOmLvrLLC 质点系相对质心质点系相对质心C 的动量矩的动量矩)(rriiiCm vrL平面运动刚体对固定点平面运动刚体对固定点O的动量矩可由下式计算的动量矩可由下式计算12-1 动 量 矩OBA 长度为长度为l，质量不计的杆，质量不计的杆OA与半径为与半径为R、质量为、质量为m的均的均质圆盘质圆盘B在在A处处固结固结，杆，杆OA有角速度有角速度 （逆时针向）。试求（逆时针向）。试求圆盘对轴圆盘对轴O的动量矩。的动量矩。OOJL)21(22mlmRLO 练习题解:均质圆盘均质圆盘B作定轴转动作定轴转动。12-1 动 量 矩 长度为长度为l，质量不计的杆，质量不计的杆OA与半径为与半径为R、质量为、质量为m的均的均质圆盘质圆盘B在在A处处铰接铰接，杆，杆OA有角速度有角速度 ，轮，轮B有有相对杆相对杆OA的的角速度角速度 （逆时针向）。试求圆盘对轴（逆时针向）。试求圆盘对轴O的动量矩。的动量矩。OBACCCOmLvrLAAOLlmvLAAOJlmlL22122mRmlLO)(22lRmLO 思考题根据根据则有则有解:12-1 动 量 矩lvAAAAlCAv2 计算圆盘绝对角速度计算圆盘绝对角速度A 圆盘速度瞬心为圆盘速度瞬心为C则有则有2AOBACvAvevr12-1 动 量 矩 长度为长度为l，质量不计的杆，质量不计的杆OA与半径为与半径为R、质量为、质量为m的均质圆盘的均质圆盘B在在A处处铰接铰接，杆，杆OA有角速度有角速度 ，轮，轮B有有相相对杆对杆OA的角速度的角速度 。试求圆盘对轴。试求圆盘对轴O的动量矩。的动量矩。AOlmvL2mllmlLOOBA 思考题解:均质圆盘均质圆盘B平移。平移。12-1 动 量 矩 一半径为一半径为r的均质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。的均质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。已知圆盘对质心的转动惯量为已知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为，角速度为 ，质心，质心O点的点的速度为速度为vO。试求圆盘对水平面上。试求圆盘对水平面上O1点的动量矩。点的动量矩。221mrJLOOrvO练习题 OrvOO1xy1O Or其中其中则则解:OOOOOmLvrL1112-1 动 量 矩21mrmOOOvr2231mrLO 一半径为一半径为r的均质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。的均质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。已知圆盘对质心的转动惯量为已知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为，角速度为 ，质心，质心O点的速点的速度为度为vO。试求圆盘对水平面上。试求圆盘对水平面上A、B点的动量矩。点的动量矩。221mrJLLOOB 思考题 OrvOA解:OOALmvrLB223mrLA221mrJLOO223mrJLAA?12-1 动 量 矩行星齿轮机构在水平面内运动。质量为行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m1的均质曲柄的均质曲柄OA带动行星齿轮带动行星齿轮II在固定齿轮在固定齿轮I上纯滚动。齿轮上纯滚动。齿轮II的质量为的质量为m2，半径为半径为r2。定齿轮。定齿轮I的半径为的半径为r1。试求轮。试求轮II对轴对轴O的动量矩。的动量矩。02212rrr CCCOmLvrL2221)(AAOJvmrrL2221)(rrrvOA 练习题OOAPr1r22根据根据得得解:12-1 动 量 矩12-2 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩守恒定理动量矩守恒定理其中其中 可分为外力对可分为外力对O点的矩和内力对点的矩和内力对O点的矩两项，点的矩两项，(1) 对定点的动量矩定理对定点的动量矩定理将其两端求时间的导数，得将其两端求时间的导数，得1.动量矩定理 因为质点系对定点因为质点系对定点O的动量矩为的动量矩为)(iiiOm vrL)dddd(ddtmmttiiiiiiOvrvrL)(iiiiiimmarvv)()(iiiiimFrar)(iFMO)(iOFM即即)()()(ie）（）（iOiOiOFMFMFM012-2 动量矩定理)(dd)e(iOOtFML结论 质点系对某固定点的动量矩随时间的变化率,等于作用于质点系的全部外力对同一点的矩的矢量和，这就是质点系对定点的动量矩定理。)()e(iOFMMOOMLtOdd令令，则有则有)()()(ie）（）（iOiOiOFMFMFM而内力对而内力对O点的矩点的矩0)() i (iOFM所以有所以有12-2 动量矩定理 将上式投影到固定坐标轴系上，注意到导数的投影等将上式投影到固定坐标轴系上，注意到导数的投影等于投影的导数，则得于投影的导数，则得zizzyiyyxixxMMtLMMtLMMtL)(dd)(dd)(dd)e()e()e(FFF)(dd)e(iOOMtFL(2) 对定轴的动量矩定理对定轴的动量矩定理结论结论质点系对某固定轴的动量矩随时间的变化率,等于作用于质点系的全部外力对同一轴的矩的代数和，这就是质点系对定轴这就是质点系对定轴的动量矩定理。的动量矩定理。12-2 动量矩定理(1) 如果如果MO (Fi（e) ) 0，则由上面第一式，则由上面第一式 可知，可知，LO = 常矢量常矢量。(2) 如果如果Mz (F（e）) 0，则由上面第二式，则由上面第二式 可知，可知，Lz = 常量常量。)(dd)e(FMtLzz)(dd)e(iOOMtFL结论结论如作用于质点系的所有外力对某固定点(或固定轴)的主矩始终等于零,则质点系对该点(或该轴)的动量矩保持不变。这就是质点系的动量矩守恒定理.它说明了质点系动量矩守恒的条件。2. 动量矩守恒定理12-2 动量矩定理12-2 动量矩定理vArvBrmA = mBvAr vBrRvmRvmLAABBz RgmRgmMBAz )(dd)e(izzMtLF) (ddRvmRvmtAABBRgmRgmBA 12-2 动量矩定理vArvBrmA = mBvAr vBr) (ddRvmRvmtAABBRgmRgmBA BAmm 0) (ddRvmRvmtAABB,0 vvABBAvv 初始静止初始静止 Lz0=00 RvmRvmAABB12-2 动量矩定理vArvBrmA = mBvAr vBr 把单摆看成一个在圆弧上运动的质点把单摆看成一个在圆弧上运动的质点 A，设其质量为设其质量为 m ，摆线长摆线长 l。又设在任一瞬时又设在任一瞬时质点质点 A 具有速度具有速度 v ，摆线摆线 OA 与铅垂线的夹与铅垂线的夹角是角是 。例题12-1 试用动量矩定理导出单摆试用动量矩定理导出单摆( (数学摆数学摆) )的运动微分方程。的运动微分方程。解： 取通过悬点取通过悬点 O 而垂直于运动平面的固而垂直于运动平面的固定轴定轴 z 作为矩轴，对此轴应用质点的动量作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理矩定理)()(dd)e(izzMmMtFvOAmgFvl12-2 动量矩定理和和sin)()e(mglMizF从而可得从而可得sin)dd(dd2mgltmlt化简即得单摆的运动微分方程化简即得单摆的运动微分方程0sindd22lgttmlllmmvlmMzdd)()(2v)()(dd)e(izzMmMtFv由于动量矩和力矩分别是由于动量矩和力矩分别是OAmgFvl12-2 动量矩定理 例题12-2 均质圆轮半径为均质圆轮半径为R、质量、质量为为m。圆轮在重物。圆轮在重物P带动下绕固定轴带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为转动，已知重物重量为G。试求重物下。试求重物下落的加速度。落的加速度。OP12-2 动量矩定理 解：以整个系统为研究对象。以整个系统为研究对象。圆轮对轴圆轮对轴O的动量矩的动量矩重物对轴重物对轴O的动量矩的动量矩2121mRJLOOvRgGmvRLO2vRgGmRLLLOOO22121系统对轴系统对轴O的总动量矩的总动量矩设圆轮的角速度和角加速度分别为设圆轮的角速度和角加速度分别为 和和 ，重物的加速度为，重物的加速度为aP。(顺时针顺时针)(顺时针顺时针)(顺时针顺时针)vOPGaP12-2 动量矩定理应用动量矩定理应用动量矩定理OOMtLddWRvRgGmRt)21(dd2GRRagGmRP221其中其中aP = RgGmGaP2vRgGmRLLLOOO22121系统对轴系统对轴O的总动量矩的总动量矩有有得得所以求得重物下落的加速度大小所以求得重物下落的加速度大小vOPGaP12-2 动量矩定理 例题12-3 两个鼓轮固连在一起，其总质量是两个鼓轮固连在一起，其总质量是 m ，对水，对水平转轴平转轴 O的转动惯量是的转动惯量是 JO。鼓轮的半径是鼓轮的半径是 r1 和和 r2 。绳端悬挂。绳端悬挂的重物的重物 A和和 B 质量分别是质量分别是 m1 和和 m2 (图图a)，且，且 m1 m2 。试求鼓。试求鼓轮的角加速度。轮的角加速度。(a)OABr1r2(a)12-2 动量矩定理 取鼓轮，重物取鼓轮，重物 A、 B 和绳索为研究对象和绳索为研究对象(图图b)。对鼓轮的转对鼓轮的转轴轴 z (垂直于图面，指向读者垂直于图面，指向读者)应用动量矩定理，有应用动量矩定理，有解: ddOzOzMtLOABr1r2(b)v1v2m1gm0gm2gF0y系统的动量矩由三部分组成，等于系统的动量矩由三部分组成，等于222111 rvmrvmJLOOz考虑到考虑到 v1 = r1 ，v2 = r2 ，则得，则得) 1 ()(222211rmrmJLOOz) 2()(2211grmrmMOz12-2 动量矩定理grmrmtrmrmJO)(dd)(2211222211从而求出鼓轮的角加速度从而求出鼓轮的角加速度grmrmJrmrmtO2222112211dd方向为逆时针方向。方向为逆时针方向。将式将式 (2) 、 (3) 代入方程代入方程) 1 ()(222211rmrmJLOOz)2()(2211grmrmMOz ddOzOzMtL即得即得OABr1r2(b)v1v2m1gm0gm2gFOy如何求如何求FO ?12-2 动量矩定理12-3 刚体的定轴转动微分方程 设刚体在主动力设刚体在主动力 F1 、 F2 、 、 Fn 作用下绕定轴作用下绕定轴 z 转转动，与此同时，轴承上产生了约束力动，与此同时，轴承上产生了约束力 FA 和和 FB。1. 定轴转动微分方程 用用 Mz = Mz(F(e) 表示作用在刚体上的外力对转轴表示作用在刚体上的外力对转轴 z 的主的主矩矩(约束力约束力 FA 、FB 自动消去自动消去)。刚体对转轴刚体对转轴 z 的动量矩的动量矩 Lz = JzzzMtJddzzMtLdd于是根据动量矩定理于是根据动量矩定理可得可得BkxF1yzAkF2FnFAxFAyFByFBzFBx12-3 刚体的定轴转动微分方程考虑到考虑到22ddddtt则上式可写成则上式可写成)(dd)e(22izzMtJF或或zzMJ 即，即，定轴转动刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积定轴转动刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积, ,等于作等于作用于刚体的外力对转轴的主矩，这就是刚体定轴转动微分方用于刚体的外力对转轴的主矩，这就是刚体定轴转动微分方程。程。zzMtJddBkxF1yzAkF2FnFAxFAyFByFBzFBx12-3 刚体的定轴转动微分方程定轴转动微分方程)(dd)e(22izzMtJF或或zzMJ 2.几点讨论(1) 若外力矩若外力矩Mz =0，刚体作匀速转动。，刚体作匀速转动。(2) 若外力矩若外力矩Mz =常量，则刚体作匀变速转动。常量，则刚体作匀变速转动。(3) 若外力矩若外力矩Mz 相同，相同，Jz 越大，角加速度越小，即刚体转动越大，角加速度越小，即刚体转动状态变化的越慢，反之亦然，状态变化的越慢，反之亦然，这正说明这正说明Jz 是刚体转动时惯性是刚体转动时惯性的度量的度量。BkxF1yzAF2FnFAxFAyFByFBzFBx12-3 刚体的定轴转动微分方程 解：由定轴转动微分方程有由定轴转动微分方程有即即RFRFJO21在什么条件下，在什么条件下， F1=F2?mgOF1FF2vmRFF2121221mRJORJFFO21F1=F2 条件为上式右端条件为上式右端 = 0，则则(1) m = 0(2) R = 0(3) = 0 思考题或或或或12-3 刚体的定轴转动微分方程 例题12-4 复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质量是的质量是 m，重心重心 C 到转轴到转轴 O 的距离的距离 OC = b，复摆对转轴，复摆对转轴 O 的转动惯量是的转动惯量是JO，设摆动开始时设摆动开始时 OC 与铅直线的偏角是与铅直线的偏角是 0 ，且复摆的初角速度为零，试求复摆的微幅摆动规律。轴承摩且复摆的初角速度为零，试求复摆的微幅摆动规律。轴承摩擦和空气阻力不计擦和空气阻力不计。OC0b012-3 刚体的定轴转动微分方程 复摆在任意位置时，所受的外力有重力复摆在任意位置时，所受的外力有重力 mg 和轴承和轴承 O 的的约束力，为便于计算，把轴承约束力沿质心轨迹的切线和法约束力，为便于计算，把轴承约束力沿质心轨迹的切线和法线方向分解成两个分力线方向分解成两个分力 F1和和 F2。根据刚体绕定轴转动的微分方程根据刚体绕定轴转动的微分方程sindd22mgbtJOzzMJ OCbF1F2mg 解：有有重力重力mg对悬轴对悬轴 O 产生恢复力矩。产生恢复力矩。0sindd22OJmgbt当复摆作微摆动时，可令当复摆作微摆动时，可令 sin ，于是上式经过线性化后，可于是上式经过线性化后，可得复摆微幅摆动的微分方程得复摆微幅摆动的微分方程0OJmgb 从而从而12-3 刚体的定轴转动微分方程复摆微幅摆动的微分方程复摆微幅摆动的微分方程0OJmgb 这是简谐运动的标准微分方程。可见复摆的微幅振动也是简谐这是简谐运动的标准微分方程。可见复摆的微幅振动也是简谐运动。运动。0,0考虑到复摆运动的初条件：当考虑到复摆运动的初条件：当 t = 0 时时)a ()cos(0tJmgbO摆动的频率摆动的频率 0 和周期和周期 T 分别是分别是)b(22,0mgbJkTJmgbOO则复摆运动规律可写成则复摆运动规律可写成12-3 刚体的定轴转动微分方程)a ()cos(0tJmgbO摆动的频率摆动的频率 0和周期和周期 T 分别是分别是)b(22,0mgbJkTJmgbOO复摆运动规律可写成复摆运动规律可写成工程上常利用关系工程上常利用关系( b ) 测定形状不规则刚体的转动惯量。为测定形状不规则刚体的转动惯量。为此，把刚体做成复摆并用试验测出它的摆动频率此，把刚体做成复摆并用试验测出它的摆动频率0和周期和周期T ，然后由式然后由式( b ) 求得转动惯量求得转动惯量) c ( 422mgbTJOOCbF1F2mg 12-3 刚体的定轴转动微分方程12-4 相对于质心的动量矩定理相对于质心的动量矩定理相对于质心的动量矩定理相对于质心轴的动量矩定理相对于质心轴的动量矩定理1. 相对于质心的动量矩定理 过固定点过固定点O建立固定坐标系建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心，以质点系的质心 C 为为原点，取平移坐标系原点，取平移坐标系 Cx y z , 质点系对固定点质点系对固定点O的动量矩为的动量矩为,CCiCOmLvrLLC 质点系相对质心质点系相对质心C 的动量矩的动量矩)(riiriCm vrL由对定点的动量矩定理由对定点的动量矩定理) ()(dd)e()e(iiiOOMtFrFL有有) ()(dd)e(iiCCiCmtFrLvrOAvxyzvCzyxCvCvrrCrr12-4 相对于质心的动量矩定理ttmmtCCiCCiCddddddLvrvr左端左端tmmCCRCCRCddLarvvtmCCRCddLar) ()(dd)e(iiCCiCmtFrLvr（1）右端右端 ) ()e(riiCFrr) () () e (r) e (iiiCFrFr代入（代入（1）式有）式有)()(dd)e(r)e(RiiiCCCCtmFrFrLar0OAvxyzvCzyxCvCvrrCrr12-4 相对于质心的动量矩定理注意到由质心运动定理有注意到由质心运动定理有CiCiiCMtMFFrL)()(dd) e () e (r)e(RiCmFa所以上式为所以上式为即，即，质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。这就是相对于质心的动量矩定理的一般形式。这就是相对于质心的动量矩定理的一般形式。OAvxyzvCzyxCvCvrrCrr)()(dd)e(r)e(RiiiCCCCtmFrFrLar12-4 相对于质心的动量矩定理CiCiiCtMFMFrL)()(dd)e()e(r2.相对于质心轴的动量矩定理即，即，质点系相对于质心轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对该轴的主矩。将前面所得质点系相对于质心的动量矩将前面所得质点系相对于质心的动量矩定理定理沿质心轴进行投影，得沿质心轴进行投影，得ddCzCzMtLOAvxyzvCzyxCvCvrrCrr12-4 相对于质心的动量矩定理（1） 在以质心为原点的平移坐标系中，质点系对质心（或在以质心为原点的平移坐标系中，质点系对质心（或质心轴）的动量矩定理的形式与对定点（或定轴）的动量质心轴）的动量矩定理的形式与对定点（或定轴）的动量矩定理的形式相同；矩定理的形式相同；（2） 由该定理可见，质点系相对于质心（或质心轴）的动由该定理可见，质点系相对于质心（或质心轴）的动量矩的改变，只与质点系的外力有关，而与内力无关，量矩的改变，只与质点系的外力有关，而与内力无关，即内即内力不能改变质点系对质心（或质心轴）的动量矩。力不能改变质点系对质心（或质心轴）的动量矩。CiCiiCtMFMFrL)()(dd)e()e(r1. 对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理2. 对质心轴的动量矩定理对质心轴的动量矩定理ddCzCzMtLOAvxyzvCzyxCvCvrrCrr 讨 论12-4 相对于质心的动量矩定理 例题12-5 长度为长度为l，质量为，质量为m1的均质杆的均质杆OA与半径为与半径为R，质量为质量为m2的均质圆盘的均质圆盘B在在A处铰接，铰链处铰接，铰链O、A均光滑。初始均光滑。初始时，杆时，杆OA有偏角有偏角0 ，轮，轮B有角速度有角速度0 （逆时针方向）。试求（逆时针方向）。试求系统在重力作用下的运动。系统在重力作用下的运动。OBAB12-4 相对于质心的动量矩定理 （1） 考虑圆盘考虑圆盘B ，受力，受力如图如图b所示，根据对质心的所示，根据对质心的动量矩定理动量矩定理0BBJ0B 解：BBAm2gFAxFAy(b) 例题例题 4-84-8OBAB12-4 相对于质心的动量矩定理BBAJllmJt20(dd sin sin221glmlgm （2） 考虑杆轮系统，受力如图考虑杆轮系统，受力如图c所所示。应用对固定点示。应用对固定点O的动量矩定理，计算的动量矩定理，计算轮轮B动量矩时使用式动量矩时使用式0 sin)21()31(2121gmmlmm LO = rC mRvC + LC则有则有OBAm2gm1gFOyFOx(c)B整理得整理得12-4 相对于质心的动量矩定理 （3） 运动特性：圆盘的转动不影响系统的摆动，而系运动特性：圆盘的转动不影响系统的摆动，而系统的摆动也不影响圆盘的转动。统的摆动也不影响圆盘的转动。 lgmmmm21216263微幅振动时微幅振动时t cos0OBAm2gm1gFOyFOx(c)0 sin)21()31(2121gmmlmm 微幅振动时的运动规律为微幅振动时的运动规律为sinB12-4 相对于质心的动量矩定理12-5 刚体的平面运动微分方程 设刚体在外力设刚体在外力 F1 、 F2 、 、 Fn 作用下作平面运动。作用下作平面运动。 取固定坐标系取固定坐标系 Oxyz ，使刚体平行于坐标面，使刚体平行于坐标面 Oxy 运动，运动，且质心且质心 C在这个平面内，再以质心为原点作平移坐标系在这个平面内，再以质心为原点作平移坐标系 C x y z。xyzzxvCCOFiF1F2FnyCxCy 由运动学知，刚体的平面运动由运动学知，刚体的平面运动可分解成随质心的牵连平移和相对可分解成随质心的牵连平移和相对于质心的相对转动。于质心的相对转动。随质心的牵连平移规律可由随质心的牵连平移规律可由质心运动定理来确定质心运动定理来确定mRaC = F12-5 刚体的平面运动微分方程mRaC = F 而相对于质心的相对转动规律可由相对质心的动量矩而相对于质心的相对转动规律可由相对质心的动量矩定理来确定定理来确定)(ddrFMLCCt将前一式投影到轴将前一式投影到轴 x、y 上，上，后一式投影到轴后一式投影到轴 Cz上，可得上，可得)(dd rRRFCzzCyyCxxCMtLFamFamxyzzxvCCOFiF1F2FnyCxCy随质心的牵连平移规律随质心的牵连平移规律12-5 刚体的平面运动微分方程注意到注意到 zCzCzCCyCCxCJJLyaxa , ,则有则有)( , ,RRFzCzCyCxCMJFymFxm 这就是这就是刚体的平面运动微分方程。刚体的平面运动微分方程。可以应用它求解刚体作平可以应用它求解刚体作平面运动时的动力学问题。面运动时的动力学问题。式中式中 JC z表示刚体对轴表示刚体对轴 Cz 的的转动惯量。转动惯量。)(dd , ,rRRFCzzCyyCxxCMtLFamFamxyzzxvCCOFiF1F2FnyCxCy12-5 刚体的平面运动微分方程 例题12-6 匀质圆柱的质量是匀质圆柱的质量是 m ，半径是，半径是 r，从静止开从静止开始沿倾角是始沿倾角是 的固定斜面向下滚动而不滑动，斜面与圆柱的的固定斜面向下滚动而不滑动，斜面与圆柱的静摩擦系数是静摩擦系数是 fs。试求圆柱质心。试求圆柱质心 C 的加速度，以及保证圆的加速度，以及保证圆柱滚动而不滑动的条件。柱滚动而不滑动的条件。xyO12-5 刚体的平面运动微分方程解：由刚体平面运动微分方程，有由刚体平面运动微分方程，有以圆柱为研究对象，圆柱作平面运动。以圆柱为研究对象，圆柱作平面运动。maC = mgsin F (1)0 = FNmgcos (2) JC = F r (3)由于圆柱只滚不滑，故有运动学关系由于圆柱只滚不滑，故有运动学关系aC = r (4) 联立求解以上四个方程，并考虑到联立求解以上四个方程，并考虑到 JC = M r 2 / 2 ，得到，得到FN = m g cos , sin32gaC, sin31mgF xyOCAFNFmg aC12-5 刚体的平面运动微分方程F f sFN 从而求得圆柱滚动而不滑动的条件从而求得圆柱滚动而不滑动的条件由保证圆柱滚动而不滑动的静力学条件由保证圆柱滚动而不滑动的静力学条件代入求出的代入求出的 F 和和 FN ，则得，则得xyOCAFNFmgaCFN = m g cos , sin32gaC, sin31mgF tan 3 fs cos sin31smgfmg12-5 刚体的平面运动微分方程(2) 本例动量矩方程亦可用本例动量矩方程亦可用 JA =MA 。(3) 本例亦可用动能定理求出本例亦可用动能定理求出aC，然后应用质心运动定理求，然后应用质心运动定理求出出 F。即圆柱有滑动，故运动学关系即圆柱有滑动，故运动学关系aC = r不成立。不成立。则应用关系则应用关系F = FN fs 做为补充方程。做为补充方程。xyOCAFNFmgaC 讨 论 (1) 若若 不成立，如何分析？不成立，如何分析？s3 tan f, sin232mgrmr sin32gaC(A为速度瞬心为速度瞬心)12-5 刚体的平面运动微分方程 例题12-7 均质细杆均质细杆 AB 的质量是的质量是 m ，长度是，长度是 2l ，放在，放在铅直面内，两端分别沿光滑的铅直墙壁和光滑的水平地面滑铅直面内，两端分别沿光滑的铅直墙壁和光滑的水平地面滑动。假设杆的初位置与墙成交角动。假设杆的初位置与墙成交角 0 ，初角速度等于零。试求，初角速度等于零。试求杆沿铅直墙壁下滑时的角速度和角加速度，以及杆开始脱离杆沿铅直墙壁下滑时的角速度和角加速度，以及杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成的角度墙壁时它与墙壁所成的角度 1 。yOABCyx12-5 刚体的平面运动微分方程 在在 A 端脱离墙壁以前，受力如图所端脱离墙壁以前，受力如图所示。杆作平面运动，取坐标系示。杆作平面运动，取坐标系 Oxy ，则则杆的运动微分方程可写成杆的运动微分方程可写成解:)c( cossin)b( )a( lFlFJmgFymFxmABCBCAC 由几何关系知由几何关系知) e ( cos)d( sin lylxCCyFAFBmgPABCyxO12-5 刚体的平面运动微分方程将式将式(d)和和(e)对时间求导，得对时间求导，得)g( cos sin) f ( sin cos sin, cos22 llyllxlylxCCCC把把 (f)和和(g)分别代入分别代入 (a)和和(b)，再把，再把 FA 和和 FB 代入代入 (c)最后得杆最后得杆 AB 的角加速度的角加速度)h( sin43lg yFAFBmgPABCyxO12-5 刚体的平面运动微分方程利用关系利用关系dddddd t把上式化成积分把上式化成积分0dsin43d0lg求得杆求得杆AB的角速度的角速度) i () cos (cos230lgyFAFBmgPABCyxO12-5 刚体的平面运动微分方程当杆即将脱离墙时当杆即将脱离墙时，FA 0。以。以FA = 0代入代入(a)，再根据，再根据(f)得得121 sin cos ll把把(h) 和和(i)的表达式在的表达式在 = 1 时的值代入上式，得关系时的值代入上式，得关系11011 sin) cos (cos23 cos sin43lgllgl整理后，求得杆开始脱离墙时与墙所成的夹角整理后，求得杆开始脱离墙时与墙所成的夹角) i () cos (cos230lg)h( sin43lg 12-5 刚体的平面运动微分方程 ) cos32arccos(01用刚体平面运动加速度分析求补充方程。C为基点为基点，B点的加速度为点的加速度为yPABCyx将上式在将上式在y轴上投影，得轴上投影，得cossin0nBCtBCCyaaantBCBCCyCxBaaaaacossin2 llaCyCyaCxatBCanBCaBa 讨 论 1)g( cos sin) f ( sin cos sin, cos22 llyllxlylxCCCC即即O12-5 刚体的平面运动微分方程C为基点为基点，A点的加速度点的加速度将上式在将上式在x轴上投影，得轴上投影，得sincos0ntACACCxaaantACACCyCxAaaaaasincos2 llaCx)g( cos sin) f ( sin cos sin, cos22 llyllxlylxCCCC即即yPABCyxCyaCxatCaAnCaAAaO12-5 刚体的平面运动微分方程亦可用下面方法求角速度和角加速度。,PPMJ 动量矩定理动量矩定理，积分得杆，积分得杆 AB 的角速度。的角速度。 lgsin43 动能定理微分形式动能定理微分形式222121CCJmvTdsinddmglymglWC,ddWTdsind 34gl2232ml lgsin43 yyFAFBmgPABCyxO 讨 论 2代入代入得得解得解得解得解得其中其中，）（2231lmJPsinmglMP12-5 刚体的平面运动微分方程谢谢 谢谢