极限存在准则两个重要极限教案.docx
精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -§1.7极限存在准就两个重要极限求函数的极限问题， 有些可用上节运算法就获得解决，但更多的远不能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解决，例已知 x时， fxsin x0 ,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结但 x0 时， fxsin x x.0是否有？假如有，怎样求？0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再如 fn11 nnn无限多个积， n换成 x ？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一极限存在准就I 1准就 I假如数列xn , yn , zn n1, 2,满意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) ynxnzn n1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) lim ynna ,lim znan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么数列xn 的极限存在，且lim xna .n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证：lim yn na ,lim zna ，n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0N1 ，当 nN1 时，有 yna.同理取 N0maxN 2 ，当 nN 2 时，有 znN1 , N 2，就当 nN时，a.有 yna,zna同时成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ayna, azna, 而 ynxnzn n1,2,n ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 aynxnzna, 即 xna.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 lim xna 。n* 数列极限存在准就I 可推广到函数的极限。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -准就 I假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) xU x.0 , r 或xM时 ， 有 g xfxh x成 立 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) lim g xA ,lim h xA xx0 或 x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么 lim h xA xx0 或 x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结准就 I,I称为夹逼准就。2利用准就 I 证明第一个重要极限：limsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证：函数sin x在 xx0 时有定义x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单位圆中，AOB 的面积扇形 AOB 的面积AOD 的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 1 sin x21 x122tan x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosxsin x x1 1用x 代 x 时，cosx 与sin x x都不变号，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证limcosx对 x1,0也成立 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0x时，20cosxx211cosxx22sin 22222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即01cos x, x0,022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由准就 I 有limcosx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由式1 及准就 I 即得limsin x1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x3应用：求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) limsin x1 limx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0 sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limtan x1 limx sin 11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x(2)0limxxxsin 5x5 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x03x32sinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) lim 1cosxlim21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x2x0x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) limsin 3xsin xlim2cos2xsin x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) lim2n sinx0 , 常数x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ex:n2nxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limncos2cos22cosn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 yxxxxsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscos222cos, y 2nsin,2n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin xnsinx0,y2n2nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limnysin x xlim y1nsin2nx0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二极限存在准就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如数列xn 满意 x1x2xnxn 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为单调增加的（削减） 。已知收敛的数列肯定有界，但有界数列不肯定收敛。如数列单调且有界，就有：1准就：单调有界数列必有极限。 （正确性通过数列的几何意义简单从直观上看出，严格的证明用实数理论，不作证明。）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结几何说明：单调数列的点只向一个方向移动xn, xn定点 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于有界，所以xn 都落在M , M内，且极限的肯定值不超过M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2争论其次个重要极限nlim1xx1考虑 x 取 n 并x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 xn11, 证数列单调有界。n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xn1n 11. nn n2.11n2nn1 n3.2 1n3n n1) n n.n11nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1+1+ 112.n 1x=1+1+ 111+ 11112n3.nn1111111112n.nn21n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.n11111n.n13.nn1+n11n111n11，n1 .n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结比较 xn 与 xn 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xnxn 1数列单调增加可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111又 xn <1+1+2.3.n.11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111122212n 112n11213n 123 ，即数列有界。n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据准就，数列极限存在，通常用e 表示，即xlim11e。nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可证 x 取实数 +或 - 时,11xx的极限都存在且等于e，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此，lim11xxe.e=2.718281828可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用代换 z11 ，就当 x时 z0 可有 lim 1z ze 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xz03应用求极限xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1lim1xlimxx1x13xe 1 limx2e3lim1x5x12xx2 112e2xe 102x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） limx1xx2=lim112xx11e x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三利用极限存在准就求极限2n例1.证明： lim0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn.nn 2证: 由于 0< 2= 222222n92,nlim20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 limnn.1 23n3n2=0.n.23n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例2.已知对 n1,2, 均有 0xn1 , 且 xn 12xnx2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n求 lim xn2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于xn 12xnx2 , 故 xxxnnxn 1xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nxn1n而 0xn1 ，故 xn 1xn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 xn 1xn ，数列单调增加。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 x1x1 21, 可知数列有界 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 limnxn 存在，设lim xnan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就由 limnxn 1limn2xnx 2 , 有 a2aa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n所以 a0 , 或 a1, 而由 0xn1及数列递增 , 知a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 lim xn1n* 未证极限存在之前不能两边取极限.小结：极限存在准就与两个重要极限是函数极限的重要内容，必需娴熟把握并能精确应用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
