求数列通项公式的方法归纳与训练.docx
精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求数列通项公式的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 1an 1anf n解法：把原递推公式转化为an 1anf n ，利用累加法 逐差相加法 求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1已知数列 an 满意 an 1an2n1，a11 ，求数列 an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式： 1.已知数列 a 满意 aa23n1， a3 ，求数列 a 的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知数列a满意 a1 ， aa1 ，求 a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n 12nn 2nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 2a n 1f nan解法：把原递推公式转化为an 1a nf n ，利用 累乘法 逐商相乘法 求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2:已知数列an满意 a12 ， an13na，求nn1an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3:已知 a13 ， a n 13n1ann3n21 ，求 an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 :1 已知数列 an ，满意a1=1， ana12a23a3n1an 11n2，就 an 的通项 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知数列 an 满意 an 12 n15nan， a13 ，求数列 an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 3a n 1panq （其中 p，q 均为常数， pq p10 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法（ 待定系数法） ：把原递推公式转化为：an 1tp ant ，其中 tq，再利用 换元法 转化为1p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等比数列求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4:已知数列an中， a11 ， an 12an1，求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式:在数列an中，如 a11,an 12an3n1 ，就该数列的通项an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 4an 1panq n（其中 p，q 均为常数， pq p1 q10 ）（或 an 1panrq n,其中 p，q,r 均为常数） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1an 1pa n1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：一般的，要先在原递推公式两边同除 以 q，得：q n 1.nqqq引入帮助数列bn（其中 bn），得：q n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn 1p b1 再待 定系数法 解决 .1nqq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5:已知数列 an 满意 an 12an32 n ， a2 ，求数列 an 的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 :已知数列a n中， a15 , an161 a1 nn321 ，求a n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 5 递推公式为a n 2pan 1qan （其中 p， q 均为常数）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法待定系数法 ：先把原递推公式转化为an 2san 1ta n 1san ,其中 s，t 满意stpstq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6：已知数列a n中 3an 25an 12an0n0,nN , a11, a22 ，求数列an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7: 已知数列an中， a11 , a22 , an 22a n 131a n ，求 an .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式:1.已知数列a满意 a1,a3, a3a2 anN * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n12n 2n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（I）证明：数列an 1an是等比数列。（ II ）求数列an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知数列a n中，Sn 是其前 n 项和，并且Sn 14an2 n1,2,L, a11 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设数列 bna n 12a n n1,2, ，求证：数列bn是等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设数列 cna n , n 2 n1,2, ，求证：数列cn是等差数列。 求数列a n的通项公式及前 n 项和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 6 递推公式为Sn 与a n 的关系式。 或 Snf an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 法 ： 这 种 类 型 一 般 利 用 anS1SnSn 1n1与 an n2SnSn 1f a n f a n 1 消 去 Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n2 或与 Snf SnSn 1 n2 消去a n 进行求解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8： 已知数列a前 n 项和 S4a1.（1）求 a与a的关系。（2）求通项公式 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn2 n 2n 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式: 1.已知数列an中， an0, an222Sn,求通项an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.已知数列an的前 n 项和为 Sn22n3n ,求通项an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.已知数列an的前 n 项和 Sn 满意log 2 1Sn n1 ,求通项公式an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.已知数列an的前 n 项和 Sn=1+2an,求通项公式an .求通项an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.已知数列a n中, a11，nan 12a1a2.an ,求通项an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6.已知数列an的前 n 项和满意 a n2Sn Sn 10n2, a11 ,求通项2a n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7.已知 a12a22 2 a.n 1n 2 ,求通项an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a32n28.已知正项数列 a n, 其前 n 项和 Sn 满意 10Sn=an +5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列求数列 a n 的通项 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 7an 1pananb p1 、0，a 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：这种类型一般利用 待定系数法 构造等比数列，即令an 1xn1yp a nxny ，与已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结递推式比较，解出x, y ,从而转化为anxny是公比为 p 的等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9: 设数列 a n： a14, an3an 12n1, n2 ，求 a n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10：已知数列 an 满意 an 12an35n ， a6 ，求数列an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11：已知数列 an 满意an 13an52n4， a11 ，求数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12： 已知数列 an 满意 an 12an3n 24n5， a11 ，求数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 8a n 1pa r p0, an0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n解法：这种类型一般是等式 两边取对数 后转化为an 1panq ， 再利用 待定系数法 求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13：已知数列a n 中， a13, an 12an a0 ，求数列an 的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 9an 1f na n解法：这种类型一般是等式两边取倒数 后换元转化为an 1pa nq .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g na nh n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 14：已知数列 an满意： anan 13 an 1, a111 ，求数列 an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11变式: 1. 如数列的递推公式为a13,2n￥ ，就求这个数列的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知数列 a n 满意 a11, n2 时， a n 1an2 a n1a n ，求通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如数列 a n中， a1 =1，a n1 = a2ann2n N ，求通项 a n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 10 周期型解法：由递推式运算出前几项，查找周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 15：如数列a n满意 an 12an1, 0an 2，如 a16，就 a 20 的值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式:已知数列 a 满意 a2an0,a1, 12anan13 n7N * ，就 a= （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n 1203an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 0B3C3D32求数列通项公式的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 1an 1anf n解法：把原递推公式转化为an 1anf n ，利用累加法 逐差相加法 求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1已知数列 an 满意 an 1an2n1，a11 ，求数列 an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由 an 1an2n1 得 an 1an2n1 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ananan 1 an 1an 2 La3a2 a2a1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 n112 n21L2212111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n1n n1n2L21 n11所以数列 an 的通项公式为nan 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 n211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n n211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评 注 ： 此题 解 题 的 关 键 是 把 递 推关 系 式an 1an2n1 转 化 为an 1an2n1 ， 进 而 求 出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anan 1an 1an 2 La3a2 a2a1a1 ，即得数列 an 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式： 1.已知数列 a 满意 aa23n1， a3 ，求数列 a 的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n解：由 an 1a23n1得 an 1an23n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an anan 1 an 1an 2 La3a2 a2a1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23n 1123n 21) L232123113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23n 13n 2L3231 n13n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就313n 1 所以 an3n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n1313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3n33nnn131可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：此题解题的关键是把递推关系式an 1a23n1 转化为an 1an23n1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n进而求出 ananan 1an 1an 2 L a3a2 a2a1 a1 ，即得数列 an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知数列a满意 a1 ， aa1，求 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n 12nn 2nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 2a n 1f nan解法：把原递推公式转化为an 1a nf n ，利用 累乘法 逐商相乘法 求解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2:已知数列an满意 a12， a n 13na，求nn1an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3:已知 a13 ， a n 13n1ann3n21 ，求 an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式:（2004，全国 I, 理 15）1.已知数列 an ，满意 a1=1， ana12a 23a 3n1 an 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2，就 an 的通项 an1n1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于 ana12 a23a3Ln1an1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 an 1a12a23a3Ln1an 1nan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用式式得an 1annan .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 an1 n1an n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n故 a1n1n2所以 aanan 1La3a nn1) L43an . a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nanan 1an 2222a22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 ana12 a23a3Ln1an1 n2 ， 取 n=2，就 a2a1 =1 ，代入得 an1 3 4 5 Lnn. .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以， an的通项公式为 ann . . 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式an 1n1an n2) 转 化 为an 12ann1n2 ， 进 而 求 出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ana n 1a n 1L a n 2a3a a2，从而可得当n2时， an 的表达式，最终再求出数列 an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 已知数列 an 满意 an 12 n15nan， a13 ，求数列 an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于 a2 n15na ， a3 ，所以 a0 ，就an 12n15n ，故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结na anan 1n 1an 1Lan 2n1nan1a3a2aa2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 n115n12 n215n 2 L22152 21151 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n 1 nn1 Ln n 1325n1 n 2 L2 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32n 152
