知识导学二用数学归纳法证明不等式 .docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -读书之法 , 在循序而渐进 ,熟读而精思二用数学归纳法证明不等式学问梳理1.本节例题中的有关结论（1） n2<2nn N+, ;2|sinn_ | _ |sin |,nN + ;3 贝努利不等式：假如 x 是实数，且x>-1,x 0,n为大于 1 的自然数，那么有 。当 是实数，并且满意>1或者 <0时，有 。当 是实数并且0<<1时，有 .（ 4 ）假如nn 为正整数 个正数a1,a2,an 的乘积a1a2an=1 ，那么它们的和a1+a2+an . 2.用数学归纳法证明不等式在数学归纳法证明不等式时，我们常会用到证明不等式的其他比较重要的一个方法是 .学问导学本节内容主要是认知如何用数学归纳法证明正整数n 的不等式（其中 n 取无限多个值） .其中例 1 供应出了一种全新的数学思想方法：观看、归纳、猜想、证明，这是在数学归纳法中常常应用到的综合性数学方法，观看是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的.猜想归纳能培育探究问题的才能，因此，应重 视对本节内容的学习.前面已学习过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等.而本节又增了数学归纳法证不等式，而且主要解决的是 n 是无限的问题，因而难度更大一些，但认真讨论数学归纳法的关键，即由 n=k 到 n=k+1 的过渡，也是学习好用数学归纳法证不等式的重中之重的问题了 .疑难突破1.观看、归纳、猜想、证明的方法这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探干脆问题，结论如何？命题的成立不成立都 预先需要归纳与探究，而归纳与探究多数情形下是从特例、特别情形下入手， 得到一个结论，但这个结论不肯定正确，由于这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出肯定的规律证明，所以，通过观看、分析、归纳、猜想，探究一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，假如归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了.在观看与归纳时，n 的取值不能太少，否就将得出错误的结论.例 1 中如只观看前3 项： a1=1,b 1=2a1<b 1;a2=4,b2 =4a2=b 2,a3=9,b 3=8a3>b 3，就此归纳出n2>2nn N+ ,n 3就 是错误的， 前 n 项的关系可能只是特别情形，不具有一般性， 因而，要从多个特别事例上探究一般结论 .2.从 “ n=k到”“ n=k+1的”方法与技巧在用数学归纳法证明不等式问题中，从“ n=k到”“ n=k+1的”过渡中， 利用归纳假设是比较困难的一步， 它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的其次步中，从“n=k”到“n=k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，由于对不等式来说， 它仍涉及 “放缩 ”的问题， 它可能需通过 “放大 ”或“缩小 ”的过程， 才能利用上归纳假设， 因此，我们可以利用 “比较法 ”“综合法 ”“分析法 ”等来分析从 “n=k”到“n=k+1”的变化，从中找到“放缩尺度 ”，精确的拼凑出所需要的结构 .典题精讲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 1】 经典回放 已知函数x=x1 +1,fx=a+b x -ax-bx,其中 a,bN +,a 1,b 1,a且 b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -读书之法 , 在循序而渐进 ,熟读而精思可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab=4,1 求函数 x的反函数gx;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 对任意 n N+，试指出fn 与 g2n的大小关系，并证明你的结论.思路分析： 欲比较 fn 与 g2n的大小， 需求出 fn 与 g2n的关于 n 的表达式， 以利于特别探路从n=1， 2， 3，中查找、归纳一般性结论，再用数学归纳法证明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1由 y=x1 +1, 得x1 =y- 1y 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 x+1=y-1 2, 即x=y2-2y,故gx=x2-2xx 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 fn=a+b n-an-bn， g2n =4n-2n+1,当 n=1 时 f1=0,g2=0 ，有 f1=g2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-a当 n=2 时， f2=a+b 2g22=4 2-23=8,f2=g2 2.22-b =2ab=8,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n=3 时， f3=a+b 3-a3-b3=3a2b+3ab2=3aba+b>3ab ×2ab =48.g23=4 3-24=48, 有 f3>g2 3.当 n=4 时,f4=a+b 4 -a4-b4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3=4a3b+4ab2 2+6a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=4aba2+b2+6a 2b2>4ab ×2ab+6a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2=14a b2=224.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g24=4 4-25=224, 有 f4>g2 4,由此估计当1 n时2， fn=g2 n,当 n3时， fn>g2 n.下面用数学归纳法证明.1 当 n=3 时，由上述估计成立。（2）假设 n=k 时，估计成立.即 fk>g2 k k 3,即（ a+b） k -ak-bk>4 k -2k+1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那 么 fk+1=a+b k+1k+1-ak+1-b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=a+b·a+bk -a ·ak -b ·bk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=a+b a+bk-ak -bk +ak b+abk .又依题设a+b>2ab=4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结akb+abk> 2a k babkk 1=2ab2=2 k+2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 fk+1>4 a+b k -ak-bk +2k+2>44 k -2k+1+2k+2 k+1k+2k+1=4-2=g2,即 n=k+1 时，估计也成立.由（ 1）（ 2）知 n3时， fn>g2 n都成立 .n绿色通道： 为保证猜想的精确性，当设n=1,2 时，得出fn=g2，不要急于去证明，应再试验一下n=3,4 时，以免显现错误.【变式训练】已知等差数列a n 公差 d 大于 0，且 a2,a5 是方程 x2-12x+27=0 的两根，数列 b n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的前 n 项和为 T n,且 Tn=1-bn.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 求数列 a n,b n 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -读书之法 , 在循序而渐进 ,熟读而精思可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）设数列 a 的前 n 项和为 S ，试比较1 与 S的大小，并说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn+1bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路分析： “试分析 ”在告知我们，1与 Sn+1的大小可能随n 的变化而变化，因此对n 的取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值验证要多取几个.解： 1 由已知得，a2 a1 a5a512,27.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 a n 的公差大于0，a5>a2.a2=3,a5 =9.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d= a 5a 2593=2,a1 =1.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T n=1- 1 b1, b1= 2 .23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n2时， T1=1-b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n-11n-1211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn=T n-T n-1=1-bn-1-2bn-1,化简，得bn=2bn-1,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b n 是首项为2,公比为31 的等比数列，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b =n2 ×n-1=22. a =2n-1,b =.nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1333 n3n1 2n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 Sn=2nSn+1=n+1 2, 1 = 3bn2n=n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以下比较1 与 Sn+1 的大小 :bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1当 n=1 时，b131,S2=4, 2 b1<S2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n=2 时, 1b29,S321=9,b2<S3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n=3 时, 1b327,S4=16,21<S4 ,b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -读书之法 , 在循序而渐进 ,熟读而精思可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n=4 时, 1b4811,S5=25,2b4>S5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结猜想： n4时，1>Sn+1.bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面用数学归纳法证明：（1）当 n=4 时，已证 .12 假设当 n=kk N+ ,k 时4 ,bk>Sk+1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k即 3>k+1 2,2那么， n=k+1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1bk 13k 123k=3×2>3k+1 2=3k 2+6k+3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=k2+4k+4+2k2+2k-1> k+1+1 2=S（ k+1）+1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n=k+1 时，bn>Sn+1 也成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（ 1） 2 可知 n N +,n 4时，1>Sn+1 都成立 .bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述，当n=1,2,3 时，1<Sn+1,bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n4时,1>Sn+1 .bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 2】 2006 江西高考， 22 已知数列 a n 满意： a1 =3, 且 an=3nan 1n 2,n N +.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22an 1n11 求数列 a n 的通项公式。（2）求证：对一切正整数n，不等式a1×a2an<2×n！恒成立 .思路分析： 由题设条件知，可用构造新数列的方法求得an。第（ 2）问的证明，可以等价变形，视为证明新的不等式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）将条件变为：1- na n1 13n1 ,a n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此，数列 1-n1 为一个等比数列,其首项为1-ana11=,公比为31 ，从而 1-n1 n,3 a n3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -读书之法 , 在循序而渐进 ,熟读而精思可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n据此得 an=3n3nn 1.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 证明：据得,n.a1×a2an=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 11 33 2113n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为证 a1a2an<2n.,只要证 nN +时有（ 1-1 ）（1-31 ）（ 1-321 ） > 1 .3n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个n N +,111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1-1-2331-n3 1- 3 + 3 2+n3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用数学归纳法证明式。 n=1 时，明显式成立， 假设 n=k 时，式成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即（ 1- 1 ）（1-31 ）（ 1- 1）323 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1-113 + 321+ 3k ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就当 n=k+1 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11-1-3112 1-k331-13 k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1-1113 + 3211+ 3k1 1-113k 11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=1-3 + 3 2+ 3k- 3 k1 + 3k1 3 + 32+ 3k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111-+2331+k31+k 1 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即当 n=k+1 时,式也成立 .故对一切n N +,式都成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用 ,得（ 1-1 ） 1-3112 1-n 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1-113 + 321+ 3n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=1-1 13 1 n 3=1-1 1-1 n = 1+ 1 1 n> 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112332232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结绿色通道： 此题供应了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路，即要证明的不等式不肯定非要用数学归纳法去直接证明，我们通过分析法、综合法等方法的分析，可以找到一些证明的关键， “要证明”，“只需证明”，转化为证明其他某一个条件，进而说明要证明的不等式是成立的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -读书之法 , 在循序而渐进 ,熟读而精思【变式训练】已知数列 a n 是正数组成的等差数列，Sn 是其前 n 项的和， 并且 a3=5,a4S2=28.1 求数列 a n 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）求证：不等式1+11+a111+a211 ·an2n123 对一切 n N+均成立 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路分析： 第（ 2）问中的不等式左侧，每个括号的规律是一样的，因此12n1显得 “余外 ”，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以可尝试变形，即把不等式两边同乘以2n1 ，然后再证明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 解：设数列 a n 的公差为d，由已知，得a12d5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10-3d5+d=28,3d2+5d-22=0, 解之得 d=2 或 d=11 .3数列 a n 各项均为正，d=2. a1=1,an=2n-1.2 证明： n N+,2a1d a13d28.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只需证明 1+11+a1111+a2an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2321n成立 .3当 n=1 时，左边 =2，右边 =2，不等式成立 .假设当n=k 时，不等式成立，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1+1 ） 1+ 1a1a21+12321 k.ak3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么当 n=k+1 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1+211+a132k111+a 2a k1 1+11+2=1ak 132k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3ak 132k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以下只需证明232k232k1232k3 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即只需证明2k+22k12k3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -读书之法 , 在循序而渐进 ,熟读而精思可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k+2 2-2k12k32 =1>0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1+111+a1111+a211a k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结232k33232k311 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上知，不等式对于nN +都成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 3】设 Pn=1+x n,Qn =1+nx+证明 .n n21) x 2,n N+,x -1,+ 试, 比较 Pn 与 Qn 的大小， 并加以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路分析： 这类问题，一般都是将Pn、Qn 退至详细的Pn、Qn 开头观看，以寻求规律，作出猜想，再证明猜想的正确性.P1=1+x=Q 1,P2=1+2x+x 2=Q2, P3=1+3x+3x 2+x 3,Q3 =1+3x+3x 2, P3-Q 3=x3,由此估计 ,Pn 与 Qn 的大小要由x 的符号来打算 .解： 1当 n=1,2 时， Pn=Qn.2 当 n3时，（以下再对x 进行分类） .如 x 0,+ ，明显有Pn>Q n;如 x=0 ，就 Pn=Q n;如 x -1,0,就 P3-Q 3=x 3<0,所以 P3<Q 3;P4-Q 4=4x 3+x 4=x 34+x<0, 所以 P4<Q4;假设 Pk<Qk k 3,就 Pk+1 =1+xP k <1+xQ k=Q k +xQ k运用归纳假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=1+k k1) x22+x+kx 2+k k1x32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=1+k+1x+k k212x +k k213x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=Q k+1+k k21 x 3<Q k+1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即当 n=k+1 时，不等式成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以当 n3且,x-1,0 时， Pn<Q n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结绿色通道： 此题除对n 的不同取值会有Pn 与 Qn 之间的大小变化，变量x 也影响 Pn 与 Qn的大小关系，这就要求我们在探究大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量（参数）的 作用 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n【变式训练】已知 fx= xx nn2x,对 n N +,试比较 f2 与 n x nn 21 的大小，并说明理由.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路分析： 利用分析法探求需要推理证明的关系，然后用数学归纳法证明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -读书之法 , 在循序而渐进 ,熟读而精思可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解：设 Fn= n1n 21n 212n 2121n 21 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f2 =1-2,2 n1因而只需比较2n 与 n2 的大小 . n=1 时， 21>12;n=2 时， 22=22 ;n=3 时,23 <32,n=4 时,24=42,n=5 时,25>5 2,猜想 n5时,2n>n 2,简证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k2 >k2k 5就, 当 n=k+1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k+1 =2×2k >2×k2=k2 +k2 +2k+1-2k-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=k+122+k-1 -2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结>k+1 2.2综上所述， n=1 或 n5时， f2 > n1 ;n 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n=2 或 4 时,f2 = nn21 ;n=3 时， f2 < n1 .21n 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结问题探究问题：有两堆棋子，数目相同，两人嬉戏的规章是：两人轮番取棋子，每人可以从一堆中任意取棋， 但不能同时从两堆取，取得最终一颗棋子的人获胜，求证后取棋子者肯定可以获胜 .设每堆棋子数目为