小六数学第3讲：等积变形（教师版）.docx

第三讲 等积变形1.等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图夹在一组平行线之间的等积变形，如图；反之，如果，则可知直线平行于等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比2.鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在中，分别是上的点如图 (或在的延长线上，在上)，则3.蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：或者蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：；的对应份数为4.相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型；所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形5.共边定理（燕尾模型和风筝模型）共边定理：若直线AO和BC相交于D（有四种情形），则有在三角形中，相交于同一点，那么上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。2.能在解题中发现题目中所涉及的几何模型。例1：如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2长方形EFGH的面积为分析：连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，,所以长方形EFGH面积为33例2：长方形的面积为36，、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？分析：解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图： 可得：、， 而即； 而， 所以阴影部分的面积是： 解法二：特殊点法找的特殊点，把点与点重合，那么图形就可变成右图： 这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有：例3：如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，四边形的面积为分析：利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为例4：已知为等边三角形，面积为400，、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积(丙是三角形)分析：因为、分别为三边的中点，所以、是三角形的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形的面积都等于三角形的一半，即为200根据图形的容斥关系，有，即，所以又，所以例5：如图，已知，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是分析：连接，根据题意可知，；所以，于是：；可得故三角形的面积是40例6：如图在中，分别是上的点，且，平方厘米，求的面积分析：连接，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 例7：如图在中，在的延长线上，在上，且，平方厘米，求的面积分析：连接，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比例8：如图，平行四边形，平行四边形的面积是， 求平行四边形与四边形的面积比分析：连接、根据共角定理在和中，与互补，又，所以同理可得，所以所以例9：如图所示的四边形的面积等于多少？分析：题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到三角形 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为.(也可以用勾股定理)例10：如图所示，中，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积分析：如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置由于，所以而，所以，那么、三点在一条直线上由于，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以它的面积为根据面积比例模型，的面积为A1.如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？_A_B_G_C_E_F_D_A_B_G_C_E_F_D答案；本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)在正方形中，边上的高，(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，正方形与长方形面积相等 长方形的宽(厘米)2.在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积答案；（法1）特殊点法由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米（法2）连接、由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米3.如图，长方形的面积是36，是的三等分点，则阴影部分的面积为答案；如图，连接根据蝶形定理，所以；，所以又，所以阴影部分面积为：4.如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？答案；连接又，5.如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，乙部分面积是甲部分面积的几倍？答案；连接，又，B6.如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，、交于已知、的长分别为、，求三角形的面积答案；如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到的位置那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且，所以梯形的面积为：()又因为是直角三角形，根据勾股定理，所以()那么()，所以()7.如下图，六边形中，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？答案；如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米8.如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点则四边形的面积等于答案；方法一：连接，根据燕尾定理，, 设份，则份，份，份，如图所标所以方法二：连接，由题目条件可得到，所以，而所以则四边形的面积等于9.如图，长方形的面积是平方厘米，是的中点阴影部分的面积是多少平方厘米?答案；设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.10.四边形的对角线与交于点(如图所示)如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，那么的长度是的长度的_倍答案；在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题解法一：，解法二：作于，于，C11.如图，平行四边形的对角线交于点，、的面积依次是2、4、4和6求：求的面积；求的面积答案；根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，根据蝶形定理，所以，那么12.如图，长方形中，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积答案；连接，因为，所以因为，所以平方厘米，所以平方厘米因为，所以长方形的面积是平方厘米13.如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点求图中阴影部分的面积答案；因为是边上的中点，所以，根据梯形蝶形定理可以知道，设份，则 份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米14.在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是平方厘米答案；连接，根据题意可知，根据蝶形定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)15.已知是平行四边形，三角形的面积为6平方厘米则阴影部分的面积是平方厘米答案；连接由于是平行四边形，所以，根据梯形蝶形定理，所以(平方厘米)，(平方厘米)，(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)1.右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米答案：连接由于与是平行的，所以也是梯形，那么根据蝶形定理，故，所以(平方厘米)2.右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米答案：连接由于与是平行的，所以也是梯形，那么根据蝶形定理，故，所以(平方厘米)另解：在平行四边形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为(平方厘米)3.如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为_平方厘米答案：连接、四边形为梯形，所以，又根据蝶形定理，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)4.如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点已知正方形的面积48，则的面积是多少？答案：由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形在梯形中，和的面积是相等的而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48那么的面积为5.下图中，四边形都是边长为1的正方形，、分别是，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于答案：左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积如下图所示，在左图中连接设与的交点为左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为如上图所示，在右图中连接、设、的交点为可知且那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形 的面积为，梯形的面积为在梯形中，由于，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即，那么1.用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形答案：方法1：如图，将BC边四等分（BD=DE=EF=FC=BC）,连结AD、AE、AF，则ABD、ADE、AEF、AFC等积。方法2：如图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即ABD与ADC等积然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF以而得到四个等积三角形，即ADF、BDF、DCE、ADE等积方法3：如图，先将BC四等分，即BD=BC，连结AD，再将AD三等分，即AE=EF=FD=AD，连结CE、CF，从而得到四个等级的三角形，即ABD、CDF、CEF、ACE等积。 2.用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及134答案：方法 1：如图，将BC边八等分，取134的分点D、E，连结AD、AE，从而得到ABD、ADE、AEC的面积比为134方法2：如图，先取BC的中点D，再取AB的四等分点E，连结AD、DE，从而得到三个三角形：ADE、BDE、ACD其面积比为134方法3：如图，先取AB的中点D，连结CD，再取CD的四等分点E，连结AE，从而得到三个三角形：ACE、ADE、BCD其面积比为134 3.如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：AOB与COD面积相等答案：证明：ABC与DBC等底等高，SABC=SDBC又 SAOB=SABCSBOC SDOC=SDBCSBOCSAOB=SCOD4.如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形答案：本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A处，ABD与ABD面积相等，从而ADC面积与原四边形ABCD面积也相等这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形ADC问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原则过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A点解：连结BD；过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A连结AD，则ACD与四边形ABCD等积5.如右图，已知在ABC中，BE=3AE，CD=2AD若ADE的面积为1平方厘米求三角形ABC的面积答案：解法1：连结BD，在ABD中 BE=3AE， SABD=4SADE=4（平方厘米）在ABC中，CD=2AD， SABC=3SABD=3×4=12（平方厘米）解法2：连结CE，如右图所示，在ACE中， CD=2AD， SACE=3SADE=3（平方厘米）在ABC中，BE=3AE SABC=4SACE=4×3=12（平方厘米）6.如下页图，在ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=BC，求阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几？答案：连结BG，在ABG中， SADG+SBDE+SCFG7.如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为4平方厘米求三角形CDF的面积答案：连结AF、CE，SADE=SACE；SCDF=SACF；又AC与EF平行，SACE=SACF； SADE=SCDF=4（平方厘米）8.如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH求四边形EFGH的面积答案：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2连结FD，有SFBD=SDBC=S1所以SCGF=SDFC=2S1同理 SAEH=2S2，因此SAEH+SCGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2同理，连结AC之后，可求出SHGD+SEBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）9.如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若SADE=1，求BEF的面积答案：连结AC，AB/CD，SADE=SACE又AD/BC，SACF=SABF而 SACF=SACE+SAEF=SABF=SBEF+SAEF SACE=SBEFSBEF=SADE=1