《数学归纳法课件》公开课课件.ppt
观察以下等式：观察以下等式：可以推测可以推测问题的提出：问题的提出：.4)1(_321223333nnn（*） 要证明公式（要证明公式（*）成立，原则上要对）成立，原则上要对每一个正整每一个正整数数n实施证明。这个证明步骤是无限的，逐一证明实施证明。这个证明步骤是无限的，逐一证明不现实，那怎么证明？不现实，那怎么证明？ 你看过或玩过的多米诺骨牌游戏吧，要你看过或玩过的多米诺骨牌游戏吧，要保证保证你码放的骨牌你码放的骨牌都能都能倒下，必须倒下，必须满足什么条件满足什么条件？一？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？ 思考与讨论：思考与讨论：多多米米诺诺骨骨牌牌游游戏戏 （1 1）第）第1 1块能够被推倒。块能够被推倒。 （2 2）若前一块倒下，则其能推倒相邻的后一）若前一块倒下，则其能推倒相邻的后一块。块。思考与讨论：思考与讨论： 你看过或玩过的多米诺骨牌游戏吧，要你看过或玩过的多米诺骨牌游戏吧，要保证保证你码放的骨牌你码放的骨牌都能都能倒下，必须满足什么条件？一倒下，必须满足什么条件？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？ 多米诺骨牌游戏的原理对证明一个使所多米诺骨牌游戏的原理对证明一个使所有正整数有正整数n n有关的命题都成立有何启示？能类有关的命题都成立有何启示？能类比此游戏原理证明猜想：比此游戏原理证明猜想： ？,4) 1(.321223333nnn*)(Nn迁移与探究：迁移与探究： 请填写下表：请填写下表：多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理 证明猜想：证明猜想：第第一一步步（1 1）第）第1 1块块能能倒下倒下第第二二步步（2 2）假如前一块倒）假如前一块倒下，则下，则能够推倒能够推倒相邻相邻下一块下一块结结论论根据（根据（1 1）和（）和（2 2），），可知不论有多少骨牌可知不论有多少骨牌都能都能全部倒下！全部倒下！ *N迁移与探究：迁移与探究： 请填写下表：请填写下表：多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理 证明猜想：证明猜想：第第一一步步（1 1）第）第1 1块块能能倒下倒下（1 1）当）当n=1n=1时，等式能（倒下）成立。时，等式能（倒下）成立。第第二二步步（2 2）假如前一块倒）假如前一块倒下，则下，则能够推倒能够推倒相邻相邻下一块下一块（2 2）假设当）假设当n=n=k k时，等式成立时，等式成立, , 能能“推倒推倒”当当n=n=k+1k+1时的等式时的等式结结论论根据（根据（1 1）和（）和（2 2），），可知不论有多少骨牌可知不论有多少骨牌都能全部倒下都能全部倒下 *N迁移与探究：迁移与探究： 请填写下表：请填写下表：多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理 证明猜想：证明猜想：第第一一步步（1 1）第）第1 1块块能能倒下倒下（1 1）当）当n=1n=1时，等式能（倒下）成立。时，等式能（倒下）成立。第第二二步步（2 2）假如前一块倒）假如前一块倒下，则下，则能够推倒能够推倒相邻相邻下一块下一块（2 2）假设当）假设当n=n=k k时，等式成立时，等式成立, , 能能“推倒推倒”当当n=n=k+1k+1时的等式时的等式（能证明当（能证明当n=n=k+1k+1时等式时等式成立）。成立）。结结论论根据（根据（1 1）和（）和（2 2），），可知不论有多少骨牌可知不论有多少骨牌都能全部倒下都能全部倒下 *N迁移与探究：迁移与探究： 请填写下表：请填写下表：多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理 证明猜想：证明猜想：第第一一步步（1 1）第）第1 1块块能能倒下倒下（1 1）当）当n=1n=1时，等式能（倒下）成立。时，等式能（倒下）成立。第第二二步步（2 2）假如前一块倒）假如前一块倒下，则下，则能够推倒能够推倒相邻相邻下一块下一块（2 2）假设当）假设当n=n=k k时，等式成立时，等式成立, , 能能“推倒推倒”当当n=n=k+1k+1时的等式时的等式（能证明当（能证明当n=n=k+1k+1时等式时等式成立）。成立）。结结论论根据（根据（1 1）和（）和（2 2），），可知不论有多少骨牌可知不论有多少骨牌都能全部倒下都能全部倒下 由（由（1 1）（）（2 2）可得，等式对所有的）可得，等式对所有的 成立。成立。 迁移与探究：迁移与探究：*Nn思考：当一个命题满足上述（思考：当一个命题满足上述（1 1）、（）、（2 2）两个条件时，能否把证明无限问题解决了？两个条件时，能否把证明无限问题解决了？ 请填写下表：请填写下表：多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理 证明猜想：证明猜想：第第一一步步（1 1）第）第1 1块块能能倒下倒下（1 1）当）当n=1n=1时，等式能（倒下）成立。时，等式能（倒下）成立。第第二二步步（2 2）假如前一块倒）假如前一块倒下，则下，则能够推倒能够推倒相邻相邻下一块下一块（2 2）假设当）假设当n=n=k k时，等式成立时，等式成立, , 能能“推倒推倒”当当n=n=k+1k+1时的等式时的等式（能证明当（能证明当n=n=k+1k+1时等式时等式成立）。成立）。结结论论根据（根据（1 1）和（）和（2 2），），可知不论有多少骨牌可知不论有多少骨牌都能全部倒下都能全部倒下 由（由（1 1）（）（2 2）可得，等式对所有的）可得，等式对所有的 成立。成立。 迁移与探究：迁移与探究：*Nn 证明一个与正整数证明一个与正整数n n有关的数学命题的步骤：有关的数学命题的步骤：（1 1）证明当）证明当n n取取第一个值第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1) =1) 时命题成立时命题成立; ;（2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN* * ,k n,k n0 0) )时命题成立，时命题成立， 证明证明当当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立. . 由（由（1 1）（）（2 2）可知命题对从）可知命题对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都正确。都正确。 这种证明方法这种证明方法叫做叫做 数学归纳法数学归纳法结论与新知：结论与新知：数学归纳法数学归纳法6)12)(1(3212222 nnnn1 1、用数学归纳法证、用数学归纳法证明明自主探究自主探究2 2、数列、数列 ，已，已知知 ， ， 通过通过计算得计算得 我们猜出我们猜出 通项公式为通项公式为 ，请用，请用数学归纳法证数学归纳法证明明这个猜想。这个猜想。 na11annnaaa11, 3 , 2 , 1nnan1,41,31,21, 14321aaaa na数学归纳法中的数学归纳法中的两步骤两步骤在证明命题中分别起在证明命题中分别起什么作用？能否什么作用？能否去掉去掉其中其中某个某个条件？条件？反思与深化反思与深化（1 1）证明当）证明当n n取取第一个值第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1) =1) 时命题成立时命题成立; ;（2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN* * ,k n,k n0 0) )时命题成立，时命题成立， 证明证明当当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立. . 由（由（1 1）（）（2 2）可知命题对从）可知命题对从n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都正都正确。确。 结论结论1 1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无。为第一步是一个简单的验证，可有可无。假设当假设当n=k( )时等式成立，时等式成立，即：即：上述证明方法正确吗？为什么？上述证明方法正确吗？为什么？1:甲同学猜想了等式：甲同学猜想了等式： 用数学归纳法验证如下：用数学归纳法验证如下：126422kkk*Nk 126422nnn1)1()1()1(21)1(2264222kkkkkkk则当则当n=k+1时时所以对任何所以对任何 等式都成立。等式都成立。*Nn 反思与深化反思与深化2 2：乙同学用数学归纳法证明猜想：乙同学用数学归纳法证明猜想如采用下面证法，对吗？为什么如采用下面证法，对吗？为什么1)1(125312nn 右边左边时当证明：1,11n 1)1(123122kkkn时，等式成立，即假设当时，则1 kn11112312kk.1时等式也成立即 kn .21都成立，可知等式对任何和根据 Nn结论结论2 2：在第二步中在第二步中, ,证明证明n=k+1n=k+1命题成立时命题成立时, ,必须用到必须用到n=kn=k命题成立这命题成立这一归纳假设一归纳假设, ,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系, ,造成造成推理无效推理无效. . 反思与深化反思与深化 证明一个与正整数证明一个与正整数n n有关的数学命题的步骤：有关的数学命题的步骤：（1 1）证明当）证明当n n取取第一个值第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1) =1) 时命题成立时命题成立; ;（2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN* * ,k n,k n0 0) )时命题成立，时命题成立， 证明证明当当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立. . 由（由（1 1）（）（2 2）可知命题对从）可知命题对从n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都正确。都正确。 数学归纳法数学归纳法【归纳奠基归纳奠基】【归纳递推归纳递推】两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可检测反馈检测反馈用数学归纳法证明：用数学归纳法证明： 在验证在验证n=1n=1成立时，成立时，左边计算所得的结果左边计算所得的结果是是 A A1 1 B. C B. C D. D.某个命题与正整数有关，如果当某个命题与正整数有关，如果当n=k(nN)n=k(nN)时成立时成立可推得可推得n=k+1n=k+1时该命题也成立。现已知当时该命题也成立。现已知当n=5n=5时该命时该命题题不成立不成立，那么可推得，那么可推得A A 当当n=6n=6时该命题不成立时该命题不成立 B B 当当n=6n=6时该命题成立时该命题成立C C 当当n=4n=4时该命题不成立时该命题不成立 D D 当当n=4n=4时该命题成立时该命题成立Nnaaaaaann, 1111212a121aa 321aaa检测反馈检测反馈课堂小结课堂小结 问题问题1 1：数学归纳法的基本思想？：数学归纳法的基本思想？ 问题问题2 2：数学归纳法的证明命题步骤？：数学归纳法的证明命题步骤？检测反馈检测反馈课堂小结课堂小结 问题问题1 1：数学归纳法的基本思想？：数学归纳法的基本思想？ 递推思想递推思想 问题问题2 2：数学归纳法的证明命题步骤？：数学归纳法的证明命题步骤？检测反馈检测反馈课堂小结课堂小结（1 1）证明当）证明当n n取取第一个值第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1) =1) 时命题成立时命题成立; ;（2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN* * ,k n,k n0 0) )时命题成立，时命题成立， 证明证明当当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立. . 由（由（1 1）（）（2 2）可知命题对从）可知命题对从n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都正都正确。确。 【归纳奠基归纳奠基】【归纳递推归纳递推】 问题问题1 1：数学归纳法的基本思想？：数学归纳法的基本思想？ 递推思想递推思想 问题问题2 2：数学归纳法的证明命题步骤？：数学归纳法的证明命题步骤？检测反馈检测反馈课堂小结课堂小结 问题问题1 1：数学归纳法的基本思想？：数学归纳法的基本思想？ 递推思想递推思想 问题问题2 2：数学归纳法的证明命题步骤？：数学归纳法的证明命题步骤？两个步骤一结论；两个步骤一结论；递推基础不可少；递推基础不可少；归纳假设要用到；归纳假设要用到；结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。课后作业课后作业用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：检测反馈检测反馈
