九年级数学下册第28章圆28.3圆中的计算问题1弧长和扇形的面积课件华东师大版20200325419.ppt

28.3 圆中的计算问题1.弧长和扇形的面积1.1.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力培养学生的探索能力. .2.2.了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题；训练学生的数学运用能力解决问题；训练学生的数学运用能力. .制造弯形管道时，经常要先按中心线计算制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度展直长度”(图中图中虚线的长度虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算弧长的问题，再下料，这就涉及到计算弧长的问题2.2.已知已知O O半径为半径为R R，O O的面积的面积S S是多少？是多少？S=RS=R2 2 C=2RC=2R1.1.已知已知O O半径为半径为R R，O O的周长的周长C C是多少？是多少？问题：已知问题：已知O O半径为半径为R R，求，求n n圆心角所对的弧长圆心角所对的弧长（1 1）半径为）半径为R R的圆的圆, ,周长是多少？周长是多少？C=2RC=2R 2 RR360180lA AB BO On n（3 3）n n圆心角所对的弧长是圆心角所对的弧长是1 1圆心角所对圆心角所对的弧长的多少倍？的弧长的多少倍？ n n倍倍（4 4）n n圆心角所对的弧长是多少？圆心角所对的弧长是多少？ 180Rn（2 2）1 1圆心角所对的弧长是多少？圆心角所对的弧长是多少？弧长公式弧长公式 若设若设O O的半径为的半径为R R， n n的圆心角所对的弧长为的圆心角所对的弧长为l ，则，则lA AB BO On n在应用弧长公式在应用弧长公式l 进行计算时，要注意公式中进行计算时，要注意公式中n n的意的意义义n n表示表示1 1圆心角的倍数，它是不带单位的圆心角的倍数，它是不带单位的. .180Rn注意：注意：n R180l(1)(1)已知圆的半径为已知圆的半径为10 cm,10 cm,半圆的弧长为半圆的弧长为_._.(2)(2)已知圆的半径为已知圆的半径为9 cm 9 cm ，6060圆心角所对的弧长为圆心角所对的弧长为_._.(3)(3)已知圆的半径为已知圆的半径为3 3，则弧长为，则弧长为的弧所对的圆心角为的弧所对的圆心角为_ _ 度度. .(4)(4)已知圆心角为已知圆心角为150150，所对的弧长为，所对的弧长为2020，则圆的半，则圆的半径为径为_._.10cm10cm606024243cm3cm【跟踪训练跟踪训练】例题例题 例例1.1.制造弯形管道时，要先按中心线计算制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度展直长度”再下料，试计算如图所示管道的展直长度再下料，试计算如图所示管道的展直长度l( (单位：单位：mmmm，精确到，精确到1mm)1mm)解：解：由弧长公式，可得弧由弧长公式，可得弧ABAB的长的长 l （mmmm） 1009005001571180 因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度 l （mmmm）270015712971答：管道的展直长度为答：管道的展直长度为2971 mm2971 mm 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形所围成的图形叫做扇形. .半径半径 半径半径OBA圆心角圆心角弧弧O OB BA A扇形扇形扇形的定义扇形的定义: :已知已知O O半径为半径为R R，如何求圆心角为，如何求圆心角为n n的扇形的面积的扇形的面积? ? 研究问题的步骤研究问题的步骤: :（1 1）半径为）半径为R R的圆的圆, ,面积是多少面积是多少? ? S=RS=R2 2 （2 2）圆心角为）圆心角为1 1的扇形的面积是多少的扇形的面积是多少? ? 360R2（3 3）圆心角为）圆心角为n n的扇形的面积是圆心角为的扇形的面积是圆心角为1 1的扇形的的扇形的面积的多少倍？面积的多少倍？ n n倍倍 （4 4）圆心角为）圆心角为n n的扇形的面积是多少的扇形的面积是多少? ? 360Rn2扇形面积公式：扇形面积公式： 若设若设O O的半径为的半径为R R，圆心角为，圆心角为n n的扇形的面积为的扇形的面积为S S扇形扇形，则则 S S扇形扇形= = 360Rn2注意注意: :（1 1）在应用扇形的面积公式）在应用扇形的面积公式S S扇形扇形= = 进行计算时，要进行计算时，要注意公式中注意公式中n n的意义的意义n n表示表示1 1圆心角的倍数，它是不带圆心角的倍数，它是不带单位的单位的. .360Rn2（2 2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. . 问题：问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？ 想一想：想一想：这个扇形面积公式与什么公式类似？这个扇形面积公式与什么公式类似？ 如果扇形在半径为如果扇形在半径为R R的圆中，圆心角为的圆中，圆心角为n n，那么扇形面积，那么扇形面积的计算公式为：的计算公式为：2nSR360扇形扇形面积用弧长与半径还可表示为扇形面积用弧长与半径还可表示为: :1SR2l扇形例例2.2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m0.6 m，其中水面高其中水面高0.3 m.0.3 m.求截面上有水部分的面积（精确到求截面上有水部分的面积（精确到0.01 m0.01 m2 2）【例题例题】2OABOAB21201SSS0.6AB OD360210.120.6 30.30.22 (m )2扇形解：解：如图，连结如图，连结OAOA、OBOB，作弦，作弦ABAB的垂线，垂足为的垂线，垂足为D D，交，交弧弧ABAB于点于点C.C.则则AD=DB AD=DB OC=0.6OC=0.6，DC=0.3 OD=OC-DC=0.3DC=0.3 OD=OC-DC=0.3在在RtRtOADOAD中，中，OA=0.6OA=0.6，利用勾股定理可得：，利用勾股定理可得：AD=0.3AD=0.3在在RtRtOADOAD中，中，OD= OAOD= OAOAD=30OAD=30 AOD=60 AOD=60，AOB=120AOB=120有水部分的面积有水部分的面积2131.1.已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为120120，半径为，半径为2 2，则这个扇形的面，则这个扇形的面积积S S扇形扇形=_=_ 2.2.已知半径为已知半径为2 2的扇形，面积为的扇形，面积为 ，则它的圆心角的度数，则它的圆心角的度数为为_ 3434120120【跟踪训练跟踪训练】3.3.已知半径为已知半径为2 2的扇形，面积为的扇形，面积为 ，则这个扇形的弧长，则这个扇形的弧长为为_4.4.一个扇形的弧长是一个扇形的弧长是20cm,20cm,面积是面积是240cm240cm2 2, ,则扇形的则扇形的圆心角是圆心角是_._.3434150A AC CG GF FE EB BA A3 3A A2 2A A1 1D D5.5.如图的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同如图的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从时出发，以相同的速度从A A点到点到B B点，甲虫沿点，甲虫沿ADAADA1 1、A A1 1EAEA2 2、A A2 2FAFA3 3、A A3 3GBGB路线爬行，乙虫沿路线爬行，乙虫沿ACBACB路线爬行，则下列结论路线爬行，则下列结论正确的是（正确的是（ ）A.A.甲先到甲先到B B点点 B.B.乙先到乙先到B B点点C.C.甲、乙同时到甲、乙同时到B B点点 D.D.无法确定无法确定【答案答案】C C1.1.（常德（常德中考）如果一个扇形的弧长等于它的半径，中考）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为那么此扇形称为“等边扇形等边扇形”，则半径为，则半径为2 2的的“等边扇等边扇形形”的面积为的面积为( )( )【答案答案】C C23B.1 C.2 D.B.1 C.2 D.A.A.2.2.（杭州（杭州中考）如图，中考）如图，5 5个圆的圆心在同一条直线上个圆的圆心在同一条直线上, , 且互相相切，若大圆直径是且互相相切，若大圆直径是1212，4 4个小圆大小相等，则这个小圆大小相等，则这5 5个圆的周长的和为个圆的周长的和为 ( )( ) 【答案答案】B B A.48A.48B.24B.24D.6D.6C.12C.12【答案答案】C C 16(2)3cmcm2 2A8(2)3Bcmcm2 216(2 3)3Ccmcm2 28(2 3)3Dcmcm2 23.3.（聊城（聊城中考）将一块三角板和半圆形量角器按图中中考）将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（ABAB）对应）对应的中心角（的中心角（AOBAOB）为）为120120，AOAO的长为的长为4 cm4 cm，则图中阴影，则图中阴影部分的面积为（部分的面积为（ ） E F O A B C?2?14.4.（济南（济南中考）如图，四边形中考）如图，四边形OABCOABC为菱形，点为菱形，点B B、C C在在以点以点O O为圆心的为圆心的 上，若上，若OA=1OA=1，1=21=2，则扇形，则扇形OEFOEF的的面积为（面积为（ ） EF64332 A. A. B. B. C. C. D. D. 【答案答案】C C 5.5.（临沂（临沂中考）中考） 如图，直径如图，直径ABAB为为6 6的半圆，绕的半圆，绕A A点逆点逆时针旋转时针旋转6060，此时点，此时点B B到了点到了点BB，则图中阴影部分的，则图中阴影部分的面积是面积是( )( )6A.A.5B.B.4C.C.3D.D.【答案答案】A A 【规律方法规律方法】在进行弧长或扇形面积计算时要注意的问题在进行弧长或扇形面积计算时要注意的问题（1 1）公式中）公式中n n表示表示1 1的圆心角的倍数的圆心角的倍数. .（2 2）若圆心角的单位不全是度，则需先化为度再计算）若圆心角的单位不全是度，则需先化为度再计算. .（3 3）题设没有标明精确度的，结果可以用）题设没有标明精确度的，结果可以用表示表示. .1.1.弧长计算公式是什么？弧长计算公式是什么？2.2.扇形的面积计算公式是什么？扇形的面积计算公式是什么？3.3.较复杂的图形的面积的计算可把它分解成几个特殊图较复杂的图形的面积的计算可把它分解成几个特殊图形的面积的和或差进行计算形的面积的和或差进行计算. .Rnl1802360RnS扇形lRS21扇形或或 失败是坚韧的最后考验.俾斯麦