第五章 随机变量的数字特征.ppt

第四章 随机变量的数字特征,第一节 数学期望,第二节 方差,第三节 协方差及相关系数,第四节 矩、协方差矩阵,第四章 随机变量的数字特征,前面讨论了随机变量的分布函数，从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律。 但在许多实际问题中，人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需要知道它的数字特征即可。,§4.1 数学期望,例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一 随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律 X 10 9 8 7 Y 10 9 8 7 Pk 0.6 0.1 0.2 0.1 Pk 0.4 0.3 0.1 0.2试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？,解,由此可见，射手甲的射击水平略高与射手乙的射击水平。,（环）,定义1 设离散型随机变量X的分布律为 若级数 绝对收敛，则称此级数的和为随机变量X的数学期望.记为E(X)即,定义2 连续型随机变量X的概率密度为 f(x), 若积分 绝对收敛，则称此积分值为随机变量X 的数学期望，记为E(X), 即,注 数学期望简称为期望，又称为均值.,例1 设X(), 求 E(X),解 X的分布律为,E(X)=,例2 设XU(a, b), 求 E(X),解,X的概率密度为,E(X)=,例3 设有5个相互独立的电子元件,其寿命Xk (k=1,2,.,5)均服从同一指数分布，其概率密度为 求将这5个元件(1)串联，(2)并联组成系统的平均寿命,(1) 串联时系统寿命 ，,其分布函数为,解 Xk的分布函数为,(2)并联时系统寿命 ，,M的概率密度为,其分布函数为,解 一台收费Y的分布律,Y 1500 2000 2500 3000pk PX1 P 13,0.0952 0.0861 0.0779 0.7408,E(Y)=2732.15,(1) X(离散型)的分布律为： 若级数 绝对收敛，则,(2) X(连续型)的概率密度为 f (x) ,若积分 绝对收敛，则,定理1 设Y是随机变量X的函数：Y=g(X) (g为连续函数),随机变量的函数的数学期望,Y=g(X),证 （1）由离散型随机变量的函数的分布，有,（2）设X是连续型随机变量，Y=g(X)的概率密度为,例5 设风速V在(0,a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的压力 W=kV2, (k为常数), 求W的数学期望,解 风速V的概率密度为,例6 国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨）是一随机变量，它服从(a, b)上的均匀分布设每售出该商品一吨可以为国家创汇 s万元，但若销不出去而压于仓库，则每吨亏损 l 万元，问应组织多少货源才使国家收益的期望值最大？,解 设组织货源为t（吨）,由题意at b, 收益Y是X的函数：,令 得:,(3) 若(X,Y)是离散型，其分布律为,(4) 若(X,Y)是连续型，其概率密度为f (x, y)，则,定理推广：,则,定理推广：,设 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数),求 的数学期望,XY2 1 4 2 8,例7 设(X,Y)的联合分布律为,解 (X,Y)的取值及对应的概率如下表:,(X,Y) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2),pk 0.4 0.3 0.2 0.1,X+Y 2 3 3 4,X,(1) 若(X,Y)是离散型，其分布律为,则,结论：,(2) 若(X,Y)是连续型，其概率密度为f (x, y)，则,例8 设(X,Y)的概率密度为,求数学期望E(Y), E(1/XY).,解,xy=1,o,x,y,x=y,1,假设以下随机变量的数学期望均存在 1. E(C)=C, （C是常数） 2. E(CX)=CE(X), （C是常数） 3. E(X±Y)=E(X) ±E(Y), 4. 设X与Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y),数学期望的性质:,注 性质3.4.可推广到有限个的情况.,证 (仅对(X,Y)为连续型随机变量证明性质3,4) 设(X,Y)的概率密度为f（x,y），其边缘概率密度分别为 fX（x,y）， fY（x,y），则,又若X与Y相互独立，则,由题意,注 这种引进新的随机变量，将原随机变量分解成有限个随机变量之和,再求数字特征的方法具有一定的普遍意义.,例9 一民航机场的送客车，载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一站没旅客下车就不停车假设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一站下车相互独立以X表示停车次数，求E(X),解 引入随机变量,则,解法一：由已知得,解法二：,同理,解 由于X与Y相互独立，则 与 也相互独立，,解 甲乙平均命中环数为 E(X)=8.9 (环)，E(Y)=8.9 (环) 从平均水平看，甲、乙的技术水平不相上下， 进一步考虑他们射击的稳定性,1.定义 设X是一随机变量，若EX-E(X)2 存在，则称为随机变量 X 的方差，记为D(X)或Var(X)即,§4.2 方差,1.离散型:,2.连续型:,3.计算公式：,并 称为X随机变量的均方差或标准差，记(X),注 方差刻画了随机变量X的取值与其均值的偏离程度，它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.,计算公式的推导：,由方差的定义及数学期望的性质，有,例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数分 别用X、Y表示，分布律分别为 X 10 9 8 7 Y10 9 8 7 0.5 0.1 0.2 0.2 0.4 0.3 0.1 0.2,解,故从平均水平看，甲、乙的技术水平不相上下，,由于E(X2)=80.7 , E(Y2)=80.5,于是 D(X)= E(X2)- E(X) 2 D(Y)= E(Y2)- E(Y) 2,所以，从稳定性来看，射手乙的技术水平略高于射手甲.,甲平均命中环数:,试评定甲、乙的技术水平,乙平均命中环数:,E(X)=100.5+90.1+8 0.2+7 0.2=8.9 (环)，,E(Y)=100.4+90.3+8 0.1+7 0.2=8.9 (环)，,进一步考虑他们射击的稳定性，即D(X), D(Y),=1.49,=1.29,例2 设随机变量X有期望E(X)= , 方差D(X)=20.,记,则,-称为X的标准化变量，,例3 设随机变量X具有(0-1)分布, 则,E(X)= p, D(X)=p(1-p).,例4 设X() ,求 D(X),例5 设XU(a,b) ,求 D(X),例6 设X服从参数为 的指数分布,求E(X)， D(X),=. ( E(X)= ),= (b-a)2/12. (E(X)= (a+b)/2),= 2,=,泊松分布:,2.方差的性质,(假设下列方差均存在),推广：设X1,Xn是n个相互独立的随机变量，则,(1) D(C)=0, (C为常数),(2) D(C X)=C2 D(X), D(X+C)=D(X), (C为常数),(4) D(X)=0 PX=C=1 ,其中C=E(X).,例7 设X1, . , Xn相互独立，且服从同一参数为 p 的 (0-1)分布, 证明： X= X1+.+Xn服从参数为n, p的二项分布, 并求 E(X)，D(X).,证 X的所有可能取值为0,1,n , X=k表示X1,.,Xn中有k个取1， n-k个取0，共有 种方式，故,即X服从参数为n, p的二项分布.,例8 设XN(, 2 ) , 则E(X)= , D(X)= 2 .,推广: Xi N(i , i2 ) , (i=1,2,n), 且相互独立，则,正态分布XN(,2),服从正态分布的随机变量的分布完全由其数学期望和方差所确定,定理 设随机变量X的数学期望E(X)= , 方差D(X)=2, 则对任意的正数，有,切比雪夫不等式:,证 （仅就X为连续型时来证）设X的概率密度为f(x)，则,注 此不等式给出了在随机变量的分布未知的情况下事件 的概率的一种估计方法。,-切比雪夫(chebyshev)不等式,例10 设随机变量X服从泊松分布，且求X的数学期望与方差.,例11 设 XN(1,2), Y服从参数为 3 的泊松分布，且X与Y独立，求 D(XY).,例9 设 E(X)=-2, D(X)=1，E(Y)=2, D(Y)=4, 且X与Y独立，根据切比雪夫不等式估 P|X+Y|5.,答：,答：1/5,答：27,几种重要随机变量的数学期望及方差,二项分布 Xb(n,p),泊松分布 X(),分布 分布密度 数学期望E(X) 方差D(X),均匀分布,正态分布XN(,2),np np(1-p),2,解:,于是,例13一台设备由10个独立工作的元件组成，每一元件在时间T发生故障的概率为0.05设在时间T发生故障的元件数为X，试用切比雪夫不等式估计随机变量X与其数学期望的偏差（a）小于2；(b)不小于2的概率,解 （a）由题意知Xb(10, 0.05)，且,由切比雪夫不等式，得,E(X)=0.5 D(X)=0.475,(b),§4.3 协方差 相关系数,定义1 设(X,Y)为二维随机变量，若 EX-E(X)Y-E(Y)存在，则称其为随机变量X与Y的 协方差，记为Cov(X,Y)即,(2)若(X,Y)为连续型,其概率密度为f(x,y), 则,计算公式：,协方差的性质：,1.Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 2.D(X+Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y),1.Cov(X,X)=D(X)； 2.Cov(X, Y)=Cov(Y, X)；3.Cov(aX, bY)=abCov(X, Y)； (a,b为常数) 4.Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1, Y)+Cov(X2, Y)； 5.若X与Y独立，则 Cov(X, Y)=0.,例1 设(X,Y)具有概率密度,求 Cov(X,Y).,答：,解：,注 XY是一个无量纲的量, X, Y相互独立 X与Y不相关；反之不一定.,定义2 设(X,Y)为二维随机变量，若D(X)>0, D(Y)>0,为随机变量X与Y的 相关系数，记为 XY ,称,特别，当XY =0时，称X与Y不相关,X与Y不相关 Cov(X,Y) E(XY)=E(X)E(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y),相关系数的性质：,数,证明： 考虑用X的某个线性函数a+bX来近似表达Y，我们以均方误差 来衡量以 a+bX 来近似表达Y 近似的好坏程度. 选取a，b 使 e 值最小.,证2o,反之，若,注,(1)相关系数XY刻画了随机变量 Y 与X之间的“线性相关”程度: |XY| 的值越接近于1， Y 与X 的线性相关程度越高； |XY| 的值越接近于0， Y与X 的线性相关程度较弱.,(2) 当XY =0时,只说明Y 与X之间没有线性关系,并不能说明Y 与X之间没有其他函数关系,从而不能推出Y 与X独立.,例2 设(X,Y)均匀分布在以坐标原点为中心，R为半径的圆的内部，则随机变量X与Y不相关, 但X与Y也不相互独立.,解：由已知得,故,所以X与Y不相关,又因为,所以,X与Y也不相互独立,例3 设 则X, Y相互独立 X, Y不相关,解,由上章§3.4例1知，X, Y相互独立 = 0，即XY=0, 亦即X,Y不相关由此知二维正态随机变量X与Y相互独立与不相关是等价的,例4 已知 设 , 求,解,定义1 设X, Y为随机变量, k, l为正整数，称,§4.5 矩 协方差矩阵,为X的k阶原点矩( k阶矩),为X的 k阶中心矩;,为X和Y的k+l 阶混合矩;,为X和Y的k+l 阶混合中心矩,注,(1)E(X)是X的一阶原点矩；,(2)D(X)是X的二阶中心矩；,(3)Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.,定义2 设n维随机变量 的二阶混合中心矩都存在，称矩阵,其中,显然：,为n维随机变量 的协方差矩阵。,例4 设服从，上的均匀分布，且X=sin，Y=cos , 判断X与Y是否不相关？是否独立？,答： X与Y不相关；X2+Y2=1 不独立.,例 设 写出其协方差矩阵。,