高中数学解析几何解题方法.doc
第 1 页 共 8 页高中数学解析几何题解题技巧A:A:常规题型方面常规题型方面 （1 1）中点弦问题）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型例题典型例题 给定双曲线。过 A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点 P 的轨迹方程。分析：设，代入方程得，。两式相减得。又设中点 P（x,y），将，代入，当时得。又，代入得。当弦斜率不存在时，其中点 P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。（2 2）焦点三角形问题）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题典型例题 设 P(x,y)为椭圆上任一点，为焦点，。（1）求证离心率； sinsin)sin( e第 2 页 共 8 页（2）求的最值。分析：（1）设，由正弦定理得。得 ， sinsin)sin( ace（2）。当时，最小值是；当时，最大值是。ax（3 3）直线与圆锥曲线位置关系问题）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特 别注意数形结合的办法典型例题典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为 A、B，且 OAOB，求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。（1）证明：抛物线的准线为由直线 x+y=t 与 x 轴的交点（t，0）在准线右边，得 故直线与抛物线总有两个交点。（2）解：设点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2)第 3 页 共 8 页（4 4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函 数，均值不等式）求最值。 典型例题典型例题 已知抛物线 y2=2px(p>0)，过 M（a,0）且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A、B，|AB|2p（1）求 a 的取值范围；（2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB 面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于 a 的不等式，通过解不等式求出 a 的范围，即：“求范围，找不等式求范围，找不等式”。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出 a 的范围；对于（2）首先要把NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想最值问题，函数思想”。解：(1)直线 L 的方程为：y=x-a,将 y=x-a 代入抛物线方程 y2=2px,得：设直线 L 与抛物线两交点的坐标分别为 A（x1,y1）,B(x2,y2)，则,又 y1=x1-a,y2=x2-a, 2 21212)(204)(4axxpaxxapa,2)2(80, 0)2(8 ,2|0)2(84)(2)()(|212 212 212 21pappapppABappxxxxyyxxAB解得:.42pap(2)设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：, paxxx221 3.2)()( 22121 3paxaxyyy所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又MNQ 为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以 SNAB=P2,即NAB 面积的最大值为2。22222|22|21pppABpQNABP2（5 5）求曲线的方程问题）求曲线的方程问题1曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题典型例题第 4 页 共 8 页已知直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上。若点 A（-1，0）和点B（0，8）关于 L 的对称点都在 C 上，求直线 L 和抛物线 C 的方程。分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。设出它们的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px(p>0)设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（），B（）。因为 A、B 均在抛物线上，代入，消去 p，得：k2-k-1=0.解12,11222 kk kk 1) 1(8,116222 kk kk得：k=,p=.251 552所以直线 L 的方程为：y=x,抛物线 C 的方程为 y2=x.251 5542曲线的形状未知-求轨迹方程典型例题典型例题已知直角坐标平面上点 Q（2，0）和圆 C：x2+y2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。分析：如图，设 MN 切圆 C 于点 N，则动点 M 组成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将 M 点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.当=1 时它表示一条直线；当1 时，它表示圆。这种方法叫做直接法。（6 6） 存在两点关于直线对称问题存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直 线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题典型例题 已知椭圆 C 的方程，试确定 m 的取值范围，使得对于直线，椭圆 C上有不同两点关于直线对称。分析：椭圆上两点，代入方程，相减得。MNQO第 5 页 共 8 页又，代入得。又由解得交点。交点在椭圆内，则有，得。（7 7）两线段垂直问题）两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题典型例题 已知直线 的斜率为，且过点，抛物线，直线 与抛物线 C 有两个不同的交点（如图）。（1）求的取值范围； （2）直线 的倾斜角为何值时，A、B 与抛物线 C 的焦点 连线互相垂直。分析：（1）直线代入抛物线方程得，由，得。（2）由上面方程得，焦点为。由，得， 22arctan或22arctanB:B:解题的技巧方面解题的技巧方面在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、 韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（1 1）充分利用几何图形）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外， 充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题典型例题 设直线与圆相交于 P、Q 两点，O 为坐标原点，若，求的值。y B A P (-2,0) O x 第 6 页 共 8 页解： 圆过原点，并且，是圆的直径，圆心的坐标为又在直线上，即为所求。评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ 是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点 M 是在以 OP 为直径的圆周上，而利用参数 方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。二二. . 充分利用韦达定理及充分利用韦达定理及“设而不求设而不求”的策略的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题 中常常用到。典型例题典型例题 已知中心在原点 O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于 P、Q 两点，且，求此椭圆方程。解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于 P、两点。由方程组消去后得由，得 （1）又 P、Q 在直线上，把（1）代入，得，即化简后，得第 7 页 共 8 页（4）由，得把（2）代入，得，解得或代入（4）后，解得或由，得。所求椭圆方程为评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。三三. . 充分利用曲线系方程充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题典型例题 求经过两已知圆和0 的交点，且圆心在直线 ：上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为：即，其圆心为 C（）又 C 在直线 上，解得，代入所设圆的方程得为所求。评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。 四、充分利用椭圆的参数方程四、充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这也是 我们常说的三角代换法。典型例题典型例题 P 为椭圆上一动点，A 为长轴的右端点，B 为短轴的上端点，求四边形 OAPB 面22221xy ab积的最大值及此时点 P 的坐标。 五、线段长的几种简便计算方法五、线段长的几种简便计算方法第 8 页 共 8 页 充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，判别式为，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。|12 ak·例 求直线被椭圆所截得的线段 AB 的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义， 可回避复杂运算。例 、是椭圆的两个焦点，AB 是经过的弦，若，求值|22BFAF 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例 点 A（3，2）为定点，点 F 是抛物线的焦点，点 P 在抛物线上移动，若取得最小值，求点 P 的坐标。
