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静电场分析,第三章,第三章 静场分析,静电场的解,§3.1 静电场分析的基本变量:,1.矢量场 场变量 E,均匀e常数,三个基本量：1.源 2.场,非均匀张量,麦克斯韦本构关系,场的求解一般有两种方法: 微分方程积分方程,§3.2 真空中静电场的基本方程,矢量在闭合面上的通量矢量在闭合回路上的环流,真空中的基本方程,在半径为R的球面上取面元dS,与球心构成的锥体。,整个球面：,任意面对中心点的立体角：,dS 在er上的投影r,与是否球面无关,立体角,特性：,证明高斯通量定律,首先设仅有单个点电荷 q,可推广到体、面、线电荷情况（对源点积分即可）,再用叠加原理,对任意面（体积）均成立 ，我们可得到高斯定理的微分形式：,静电守恒定理证明,闭合,微分形式,由斯托克斯定理,理论上由,当电荷对称分布时，适当选取坐标系，可使D或E只有一个分量，且仅是坐标的函数，则E自动满足 ，此时只要计算 D 即可得场解。,亥姆霍兹定理：场可由散度与旋度共同确定F(r)=Fl (r)+FS(r) 无旋量+无散量,例 3.2.1,显见：电场为球对称， D沿径向且仅为r的函数 总电量：,电荷按 分布在半径为a 的球体，求球内外的D 。,球外场(ra):以球心中心到场点作球面(高斯面),r=a时 (连续),V=4pr3/3dv=4pr2dr,球内(r<a):,当 r 时可看成点电荷：,对称性,D外仅有er 分量：,在球外,解法二： 微分形式解,球内(ra):,*解题时，依照题作图、矢径、源、计算。,解:显然如果用库仑定律的电场强度公式 计算较繁复；,例 3.2.2 计算均匀面电荷密度为s 无限大平面的电场。,因为电荷密度均匀,故电通密度D0垂直与这个无限大平面,且仅与距离有关取柱面垂直于S 作底面积为S 的小柱体，则由高斯定理有：,§3.3 电位函数,静电场 可用一标量梯度表示，即电位函数f,电场等于电位梯度的负值,E在l 上的投影,将电场（点、体、面、线）表达式代入上式，即可得电位的相应表示式,式子中：,可见f 的计算式简便得多 标量积分，(E矢量积分有3个分量), 而微分总是可计算的，也简单(引入 f的原因)。,电位电场的表示式对比,例3.3.1求电偶极子 p=qdl 的电位f,作图:极子与Z轴重合, 球坐标系(r,q,f) 场点电位:,解：显见此题做不出高斯面，因此不能直接求D0但可用电位法解，仍然是 作圆、R、源、积分图：场与圆环距离 环上小源=小圆环在场点总电位:,例3.3.2 半径为a的园平面上均匀分布电荷s ,求中垂轴线上任意点的 f、E。,当a时，f(z) 这是由于f(z)参考点取在所致，可通过参考点的修正，使f(z)在a时有限，但这对E的解没影响。对E的解直接在式中令a,则可得到与上节无限大平面相同的结果 。,例3.3.3 证明导体表面的电荷密度s与导体外电位函数有,导体内静电场=0; (导体为等位体,电荷仅分布于表面 )作图: 面积为 S 的小圆柱 高斯面内侧为导体内部，无通量: (S很小, 各点E相同),约去S即得证. 非真空:,思路:前面介绍的静电场基本方程是矢量方程,若能找到f的微分方程 解得f , 求E简便。,§3.4 泊松方程、拉普拉斯方程,拉普拉斯算符,泊松方程,拉普拉斯方程,自由空间(没有电荷分布 r=0),直角坐标下：,圆柱坐标下的拉普拉斯算符：在圆柱坐标下，方向矢量不再是常量：,球坐标： 理论上可解，但太复杂（背）交叉项太多：,例3.4.1半径为a的带电导体球，球体电位U （无穷远=0），求空间电位函数及电场,解：由空间对称性显见,其它形式的边界条件： 面电荷分布 也可确定C,实际问题也可是上述两种混合型边界条件。,