《余弦定理》教案.doc
余弦定理一、教材分析一、教材分析“余弦定理”是高中数学的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个 重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和 平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问 题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦 定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，以及运用 余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。 余弦定理的学习有充分的基础，初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一 课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础，同时又对本节课的学习提供了一 定的方法指导。其次，余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位，是解决各 种解三角形问题的常用方法，余弦定理也经常运用于空间几何中，所以余弦定理是 高中数学学习的一个十分重要的内容。二、二、教学目标：教学目标：1. 理解并掌握余弦定理和余弦定理的变形；2掌握余弦定理的推导、证明过程；3. 熟练余弦定理及其变形的顺用与逆用，并能解决“两边及其夹角” 、“三边”问题。4通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力；通过直角 三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。三、三、教学重点难点：教学重点难点：余弦定理的发现及其证明过程教学过程：教学过程：1. 问题引入我们知道，对于三角形的三条边长和三个内角，如果给定其中的三个独立条件，那么就可以求出这个三角形的其它边长或内角。问题 1：对于一个三角形，给定其中三个独立条件的情况有哪几种？问题 2：在以上几种情况中，哪些比较适合用正弦定理来求解？问题 3：在ABC中,已知AC5, BC8, C60 °, 求边AB的长.:：问题 4:在ABC中,已知ACb, BCa, 以及角C, 求边AB的长c.2. 构建模型，解决问题构建模型，解决问题：（构造直角三角形）如图 2，过点 A 作垂线交 BC 于点 D，则ADACsinC，CDACcosC，BDBCCDBCACcosC，所以， 22|BDADABCBCACBCACcos|2|22：（向量方法） 如图 3，因为，ABACCB 所以， 22()ABACCB 222cos(),ACCBACCBC 即 CBCACBCACABcos|2|22：（建立直角坐标系）建立如图 4 所示的直角坐标系，则 A （ACcosC, ACsinC），B （BC, 0），根据两点间的距离公式，可得，22)0sin|(|)|cos|(|CACBCCACAB所以，CBCACBCACABcos|2|22活动评价：师生共同评价板演3. 追踪成果，提出猜想追踪成果，提出猜想师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在ABC 中，a，b，c 是角A，B，C 的对边长，则有成立类似的还有其他等式，Cabbaccos2222，Acbbcacos2222Bcaacbcos2222 正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理问题 5：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯图 2DACB图 3CBA图 4yxACB学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角 C 进行分类讨论，即分角 C 为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点间的距离公式来解决，等等 4. 探幽入微，深化理解探幽入微，深化理解问题 6：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？学生活动： 是边长 a、b、c 的轮换式，同时等式右边Cabbaccos2222的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）问题 7：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即abcbaCacbcaBbcacbA2cos,2cos,2cos2222222225. 学以致用，拓展延伸学以致用，拓展延伸练习：1在ABC 中，若 a3，b5，c7，求角 C 2（1）在ABC 中，若，解这个三角形045,6, 13Acb（2）在ABC 中，求 a1,60, 30cBb学生活动：练习后相互交流得出，解答题 1 时，利用的是余弦定理的变形形式；而题 2 既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决abcbaC2cos222思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考
