3周-九年级培优------与相似三角形有关的定理与习题(共5页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第3周 与相似三角形有关的定理一、（(Euclid)定理）俗称：中，斜边上的高是两在上射影的。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式：RtABC中，BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： (1) = BD·DC，(2) = BD·BC， (3) =CD·CB。 等积式 (4) AB·AC = BC·AD (可用面积来证明)1.ABC和DEF是两个等腰直角三角形，A=D=90°，DEF的顶点E位于边BC的中点上 (1) 如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：BEMCNE； (2) 如图2，将DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论2如图，已知AB是O的弦，OB=4，OBC=30°，点C是弦AB上任意一点(不与点A、B重合)，连接CO并延长CO交O于点D，连接AD、DB (1) 当ADC = 18°时，求DOB的度数； (2) 若 AC = 2，求证：ACDOCB 3.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.EA DB CNM 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.4.如图，ABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心、OB为半径作O交AB于点D已知经过点D的O切线恰好经过点C (1) 试判断CD与AC的位置关系，并证明； (2) 若ACBCDB，且AC = 3，求圆心O到直线AB的距离 5.如图，已知ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F求 + 的值 6.如图，ABC内接于O，且ABC=C，点D在弧BC上运动过点D作DEBC，DE交直线AB于点E，连接BD (1) 求证：ADB = E； (2) 求证：AD2 = ACAE； (3) 当点D运动到什么位置时，DBEADE请你利用图进行探索和证明 7.如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC = PC，COB = 2PCB (1) 求证：PC是O的切线； (2) 求证：BC = AB； (3) 点M是的中点，CM交AB于点N，若AB = 4，求MNMC的值 8.如图，RtACD中，ACD=90°以AC边为直径作O，交AD于E过E作O的切线EB，交CD于B连接EC、AB，交于F点 (1) 求证：；(2) 若 ，求tanABC的值 二、三角形内角平分线定理：已知，如图，AM为ABC的内角平分线，求证:  三、三角形内外角平分线性质定理：三角形的内外角平分线内、外分对边与其延长线所得的两条线段与夹这个角的两边对应成比例。已知，如图在三角形ABC中，AD，AE分别是它的内外角平分线，求证：= 咨询 与三角形中线有关的性质：1.等边三角形顶角平分线,底边上的高,底边上的中线,互相重合；2.三角形中线能将三角形分成面积相等的两部分； 3.三角形的三条中线必交于一点,该交点为三角形重心； 4.重心定理：三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍；（ 需证明） 5.三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分； 6.解决三角形中线问题,常作的辅助线是倍长中线,塑造全等三角形,或平行四边形； 7.遇到三角形两条中线同时出现时,常需考虑三角形中位线：三角形中位线平行且等于第三边一半； 8.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；9.如果三角形一边中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形； 一、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（ (X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3 ）。二、三角形外心定理 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是ABC的外心，则BOC=2A（A为锐角或直角）或BOC=360°-2A（A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OGGH=12。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 定理证明 已知：ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CFAB 证明： 连接DE ADB=AEB=90度 A、B、D、E四点共圆 ADE=ABE EAO=DAC AEO=ADC AEOADC AE/AO=AD/AC EADOAC ACF=ADE=ABE 又ABE+BAC=90度 ACF+BAC=90度 CFAB 因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理 三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 内心的性质： 1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于点N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五、三角形旁心定理 三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。 旁心的性质： 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 2、每个三角形都有三个旁心。 3、旁心到三边的距离相等。 如图，点M就是ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。专心-专注-专业