九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系习题课件新版北师大版2020031828.ppt
5一元二次方程的根与系数的关系1.1.一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系: :一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0):+bx+c=0(a0):当当b b2 2-4ac0-4ac0时时, , 则则 2212bb4acbb4acx,x.2a2a 2212bb4acbb4acxx_2a2a ；2b2aba2212bb4acbb4acx x_2a2a 222bb4ac4a24ac4aca_.综上可知综上可知: :如果方程如果方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)有两个实数根有两个实数根x x1 1,x,x2 2, ,那么那么x x1 1+x+x2 2=_,x=_,x1 1x x2 2=_.=_.baca2.2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件: :一元二次方程根与系数的关系成立的条件是方程一元二次方程根与系数的关系成立的条件是方程_,_,即即_0._0.有实数根有实数根【思维诊断思维诊断】( (打打“”“”或或“”) ”) 1.1.一元二次方程的根与系数的关系适用于所有的一元二次方一元二次方程的根与系数的关系适用于所有的一元二次方程程. .( )( )2.2.一元二次方程的两根之和一定是负数一元二次方程的两根之和一定是负数. .( )( )3.3.一元二次方程一元二次方程x x2 2+2x+3=0+2x+3=0的两根之积等于的两根之积等于3.3.( )( )4.4.一元二次方程一元二次方程-2x-2x2 2+3x+6=0+3x+6=0的两根之积等于的两根之积等于-3. ( )-3. ( )知识点知识点 一元二次方程根与系数的关系及应用一元二次方程根与系数的关系及应用【示范题示范题】(2013(2013孝感中考孝感中考) )已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2- -(2k+1)x+k(2k+1)x+k2 2+2k=0+2k=0有两个实数根有两个实数根x x1 1,x,x2 2. .(1)(1)求实数求实数k k的取值范围的取值范围. .(2)(2)是否存在实数是否存在实数k k使得使得x x1 1x x2 2- -x x1 12 2-x-x2 22 200成立成立? ?若存在若存在, ,请求出请求出k k的值的值; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)有两个实数根有两个实数根0k0k的取值范围的取值范围. .(2)(2)根与系数的关系根与系数的关系x x1 1+x+x2 2=2k+1,x=2k+1,x1 1x x2 2=k=k2 2+2kk+2kk的值的值验证验证得结论得结论. .【自主解答自主解答】(1)(1)原方程有两个实数根原方程有两个实数根,-(2k+1),-(2k+1)2 2- -4(k4(k2 2+2k)0,+2k)0,4k4k2 2+4k+1-4k+4k+1-4k2 2-8k0.1-4k0,-8k0.1-4k0,k .k .当当k k 时时, ,原方程有两个实数根原方程有两个实数根. .1414(2)(2)假设存在实数假设存在实数k k使得使得x x1 1x x2 2-x-x1 12 2-x-x2 22 200成立成立. .xx1 1,x,x2 2是原方程的两根是原方程的两根,x,x1 1+x+x2 2=2k+1,x=2k+1,x1 1x x2 2=k=k2 2+2k.+2k.由由x x1 1x x2 2-x-x1 12 2-x-x2 22 20,0,得得3x3x1 1x x2 2-(x-(x1 1+x+x2 2) )2 20.0.3(k3(k2 2+2k)-(2k+1)+2k)-(2k+1)2 20,0,整理得整理得:-(k-1):-(k-1)2 20,0,只有当只有当k=1k=1时时, ,上式才能成立上式才能成立. .由由(1)(1)知知k ,k ,不存在实数不存在实数k k使得使得x x1 1x x2 2-x-x1 12 2-x-x2 22 200成立成立. .14【想一想想一想】一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两根符号相同的两根符号相同, ,那么系数那么系数b,cb,c的符号是什么的符号是什么? ?提示提示: :两根同正两根同正,b0,b0,两根同负两根同负,b0,c0.,b0,c0.【备选例题备选例题】(2013(2013玉林中考玉林中考) )已知关于已知关于x x的方程的方程x x2 2+x+n=0+x+n=0有有两个实数根两个实数根-2,m,-2,m,求求m,nm,n的值的值. .【解析解析】关于关于x x的方程的方程x x2 2+x+n=0+x+n=0有两个实数根有两个实数根-2,m,-2,m, 解得即解得即m,nm,n的值分别是的值分别是1,-2.1,-2.2mn,m1,2m1n2, 解得，【微点拨微点拨】1.1.应用一元二次方程根与系数的关系的前提是应用一元二次方程根与系数的关系的前提是: :方程是一元二方程是一元二次方程次方程, ,且有实数根且有实数根. .所以必须满足二次项系数所以必须满足二次项系数a0,a0,判别式判别式b b2 2- -4ac04ac0的条件的条件. .2.2.关于关于x x的方程的方程x x2 2+px+q=0+px+q=0的两根为的两根为x x1 1,x,x2 2, ,则有则有x x1 1+x+x2 2=-p, =-p, x x1 1x x2 2=q.=q.【方法一点通方法一点通】根与系数的关系的应用根与系数的关系的应用1.1.已知一个根已知一个根, ,求方程的另一个根求方程的另一个根. .2.2.已知方程的根已知方程的根, ,确定方程中的未知系数确定方程中的未知系数. .3.3.求与方程的两个根有关的代数式的值求与方程的两个根有关的代数式的值. .4.4.证明等式或不等式证明等式或不等式. .5.5.根据方程的根根据方程的根, ,求符合要求的一元二次方程求符合要求的一元二次方程. .
