九年级数学下册第27章二次函数27.3实践与探索第1课时课件华东师大版2020032549.ppt
27.3 实践与探索(第1课时)1.1.经历探索实践问题的解决过程，体会二次函数是解决经历探索实践问题的解决过程，体会二次函数是解决一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值. .2.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值 二次函数关系式的几种表达式二次函数关系式的几种表达式一般式：一般式：y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c顶点式：顶点式：y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k +k （a0a0）两根式：两根式：y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) )例例1.1.桃河公园要建造圆形喷水池桃河公园要建造圆形喷水池. .在水池中央垂直于水面处安在水池中央垂直于水面处安装一个柱子装一个柱子OA,OOA,O恰在水面中心恰在水面中心,OA=1.25m.,OA=1.25m.由柱子顶端由柱子顶端A A处的喷处的喷头向外喷水头向外喷水, ,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下, ,为使水为使水流形状较为漂亮流形状较为漂亮, ,要求设计成水流在离要求设计成水流在离OAOA距离为距离为1m1m处达到最大处达到最大高度高度2.25m.2.25m.如果不计其他因素如果不计其他因素, ,那么水池的那么水池的半径至少要多少半径至少要多少m,m,才能使喷出的才能使喷出的水流不致落到池外？水流不致落到池外？【例题例题】解解: :建立如图所示的平面直角坐标系建立如图所示的平面直角坐标系, ,根据题意得根据题意得,A(0,1.25),A(0,1.25),顶点顶点B(1,2.25).B(1,2.25).当当y=0y=0时时, ,得点得点C(2.5,0);C(2.5,0);同理同理, ,点点D(-2.5,0).D(-2.5,0).根据对称性根据对称性, ,那么水池的半径至少要那么水池的半径至少要2.5 m,2.5 m,才能使喷出的水流不才能使喷出的水流不致落到池外致落到池外. .设抛物线为设抛物线为y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k,+k,由待定系数法可求得抛物线关系式由待定系数法可求得抛物线关系式为为:y=-(x-1):y=-(x-1)2 2+2.25.+2.25.数学化数学化x xy yO OA AB B(1,2.25)(1,2.25)(0,1.25)(0,1.25)例例2.2.如图，二次函数如图，二次函数y=xy=x2 2-4x+3-4x+3的图象交的图象交x x轴于轴于A A，B B两点，两点，交交y y轴于点轴于点C C，设抛物线的顶点为，设抛物线的顶点为P P（1 1）求）求ABCABC，COBCOB的面积的面积. .（2 2）求四边形）求四边形CAPBCAPB的面积的面积. .【例题例题】xyCOABP解：解：（1 1） y=xy=x2 2-4x+3=(x-2)-4x+3=(x-2)2 2-1-1 顶点坐标是顶点坐标是(2(2，-1)-1) y=x y=x2 2-4x+3=0-4x+3=0时，时， x x1 1=1=1，x x2 2=3=3 A (1 A (1，0) , B(30) , B(3，0) 0) 二次函数二次函数y=xy=x2 2-4x+3-4x+3与与y y轴的交点是轴的交点是C C（0 0，3 3） AB=3-1=2 AB=3-1=2 ，OB=3-0=3OB=3-0=3 ABCABC的高的高=3=3 =3=3 ，ABPABP的高的高=-1=1 =-1=1 S SABCABC=2=23 32=32=3 S SCOBCOB=3=33 32=4.52=4.5（2 2） S SABPABP=2=21 12=12=1 S S四边形四边形CAPBCAPB= S= SABCABC +S +SABPABP=3+1=4=3+1=4xyCOABPxyo-24-3ABC如图，二次函数的图象经过如图，二次函数的图象经过A,B,CA,B,C三点三点. .（1 1）求这个二次函数的关系式）求这个二次函数的关系式. .（2 2）抛物线上是否存在一点）抛物线上是否存在一点P(PP(P不与不与C C重合重合) )，使，使PABPAB的面的面积等于积等于ABCABC的面积，如果存在，的面积，如果存在，求出点求出点P P的坐标；若不存在，请的坐标；若不存在，请说明理由说明理由. .【跟踪训练跟踪训练】解：解：（1 1）抛物线与抛物线与x x轴交于轴交于 A(-2,0), B(4,0)A(-2,0), B(4,0)两点两点设抛物线的关系式为设抛物线的关系式为y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)=a(x+2)(x-4)=a(x+2)(x-4)抛物线过点抛物线过点C(0,-3)C(0,-3)-3=a(0+2)(0-4) -3=a(0+2)(0-4) 得得a=a=y= (x+2)(x-4)= xy= (x+2)(x-4)= x2 2- x-3- x-383838343xyo-24-3ABC(2)(2)假设假设存在一点存在一点P P，使，使PABPAB的面积等于的面积等于ABCABC的面积的面积 设点设点P P的坐标为的坐标为(x(x0 0,y,y0 0) ) S SABCABC =4-(-2) =4-(-2)-3-32=92=9 S SABPABP =4-(-2) =4-(-2)yy0 02=92=9yy0 0=3 =3 即即 y y0 0= = 3 3 当当y y0 0=3=3时，时，x xy y-2-24 40-3-3A AB BC C8343 x x2 2- x-3=3- x-3=312x117x1- 17 解得解得当当y y0 0= -3= -3时，时，解得解得x x1 1=0=0，x x2 2=2=2符合条件的符合条件的P P有三个，即有三个，即(2,-3)(2,-3)8343 x x2 2- x-3=-3- x-3=-3(117,3);(1- 17,3)211.1.（兰州（兰州中考）如图，小明的父亲在相距中考）如图，小明的父亲在相距2 2米的两棵树米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千. .拴绳子的拴绳子的地方距地面高都是地方距地面高都是2.52.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高高1 1米的小明距较近的那棵树米的小明距较近的那棵树0.50.5米时，头部刚好接触到米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的绳子，则绳子的最低点距地面的距离为距离为 米米. .【答案答案】2.2.（定西（定西中考）向空中发射一枚炮弹，经中考）向空中发射一枚炮弹，经x x秒后的高度秒后的高度为为y y米，且时间与高度的关系式为米，且时间与高度的关系式为y=axy=ax2 2 bx+cbx+c（a0a0）. .若若此炮弹在第此炮弹在第7 7秒与第秒与第1313秒时的高度相等，则在下列时间中秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（炮弹所在高度最高的是（ ）A A第第8 8秒秒 B B第第1010秒秒 C C第第1212秒秒 D D第第1515秒秒【答案答案】B B 3.3.（青海（青海中考）某水果批发商场经销一种水果，如果中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利每千克盈利5 5元，每天可售出元，每天可售出200200千克，经市场调查发现，千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价在进价不变的情况下，若每千克涨价1 1元，销售量将减少元，销售量将减少1010千克千克. .（1 1）现该商场要保证每天盈利）现该商场要保证每天盈利15001500元，同时又要顾客得元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2 2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？克涨价多少元，能使商场获利最多？解析：解析：（1 1）设每千克应涨价）设每千克应涨价x x元，列方程得：元，列方程得：(5+x)(200(5+x)(20010 x)=1 50010 x)=1 500解得：解得：x x1 1=10 x=10 x2 2=5 =5 因为要顾客得到实惠，因为要顾客得到实惠，5 51010所以所以 x=5x=5答：每千克应涨价答：每千克应涨价5 5元元. .（2 2）设商场每天获得的利润为）设商场每天获得的利润为y y元，则根据题意，得元，则根据题意，得y=(x+5)(200y=(x+5)(20010 x)=10 x)=10 x10 x2 2+150 x+1 000+150 x+1 000当当x= x= 时时,y,y有最大值有最大值. .b150-7.52a2 (-10)因此，这种水果每千克涨价因此，这种水果每千克涨价7.57.5元时，能使商场获利最多元时，能使商场获利最多. .4.4.（德州（德州中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯已知太阳能路灯市把主要路段路灯更换为太阳能路灯已知太阳能路灯售价为售价为50005000元元/ /个，目前两个商家有此产品甲商家用如个，目前两个商家有此产品甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过下方法促销：若购买路灯不超过100100个，按原价付款；若个，按原价付款；若一次购买一次购买100100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少减少1010元，但太阳能路灯的售价不得低于元，但太阳能路灯的售价不得低于35003500元元/ /个乙个乙商家一律按原价的商家一律按原价的8080销售现购买太阳能路灯销售现购买太阳能路灯x x个，如个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为果全部在甲商家购买，则所需金额为y y1 1元；如果全部在元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为乙商家购买，则所需金额为y y2 2元元. .（1 1）分别求出）分别求出y y1 1，y y2 2与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式. .（2 2）若市政府投资）若市政府投资140140万元，最多能购买多少个太阳能万元，最多能购买多少个太阳能路灯？路灯？当当x100 x100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少时，因为购买个数每增加一个，其价格减少1010元但元但售价不得低于售价不得低于3 5003 500元元/ /个，所以个，所以xx2501001035005000215000 xy6 000 x-10 x3500 x所以(0 x100)(100 x250)(x250).，2y5 000 80%x4 000 x即即100 x250100250 x250时，购买一个需时，购买一个需3 5003 500元，故元，故y y1 1=3 500 x=3 500 x(2) (2) 当当0 x1000 x100时，时，y y1 1=5 000 x500 0001400 000=5 000 x500 0001400 000；当当100 x250100 x250时，时，y y1 1=6 000 x-10 x=6 000 x-10 x2 2=-10(x-300)=-10(x-300)2 2+900 0001 400 000+900 0001 400 000；故选择甲商家，最多能购买故选择甲商家，最多能购买400400个太阳能路灯个太阳能路灯4 000 x1400 000 x350400得得由由3500 x1400 000 x400得得所以，由所以，由5.5.（荆门（荆门中考）某商店经营一种小商品，进价为中考）某商店经营一种小商品，进价为2.52.5元，元，据市场调查，销售单价是据市场调查，销售单价是13.513.5元时平均每天销售量是元时平均每天销售量是500500件，而销售单价每降低件，而销售单价每降低1 1元，平均每天就可以多售出元，平均每天就可以多售出100100件件. .（1 1）假设每件商品降价）假设每件商品降价x x元，商店每天销售这种小商品的元，商店每天销售这种小商品的利润是利润是y y元，请你写出元，请你写出y y与与x x之间的函数关系式，并注明之间的函数关系式，并注明x x的的取值范围取值范围. .（2 2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润= =销售收入购进成本）销售收入购进成本）【解析解析】（1 1）降价）降价x x元后，元后，所销售的件数是（所销售的件数是（500+100 x500+100 x）, ,y=y=100 x100 x2 2+600 x+5 500 +600 x+5 500 （0 0 x11 x11 ）（2 2）y=y=100 x100 x2 2+600 x+5 500 +600 x+5 500 （0 0 x11 x11 ）配方得配方得y=y=100100（x x3 3）2 2+6 400 +6 400 当当x=3x=3时，时，y y的最大值是的最大值是6 4006 400元元. .即降价即降价3 3元时，利润最大元时，利润最大. .所以销售单价为所以销售单价为10.510.5元时，最大利润为元时，最大利润为6 4006 400元元. .答：销售单价为答：销售单价为10.510.5元时，最大利润为元时，最大利润为6 4006 400元元. .【规律方法规律方法】先转化为数学问题，再将所求的问题用二先转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须根据实际情况考虑其自变量的方法求出最值，有时必须根据实际情况考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值取值范围，根据图象求出最值.利用二次函数的性质解决应用题的一般步骤：利用二次函数的性质解决应用题的一般步骤：1.1.设定实际问题中的变量设定实际问题中的变量. .2.2.建立变量与变量之间的函数关系式建立变量与变量之间的函数关系式. .3.3.确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义. . 风再大也会停，路再长也要行.当你到达平静的港湾，找到美丽的城堡，才能真切感受到：坚持是如此重要.
