任意角和弧度制(共18页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上§1.1任意角和弧度制教学任务了解任意角的概念。了解弧度制，能正确进行弧度与角度的换算。重点难点重点：将范围的角推广到任意角，了解弧度制并能进行弧度与角度的换算。难点：弧度的概念，用集合来表示终边相同的角。教学过程一 引入在初中，我们知道角是“从一点出发的两条射线所形成的图形”，角也可看成是“由一条射线绕着它的端点旋转而成的”。过去我们只研究范围的角，但在生活中还存在其它的角，例如，钟表的时针、体操运动员的转体、车轮上的一点以及螺丝扳手按不同方向旋转所形成的角，等等。因此有必要把角的概念推广到更大范围。二 新课1.1.1任意角（1）任意角学生阅读数学4（A版）第2页的内容，体会学习任意角的实际背景与必要性。角的概念：一条射线的端点是，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成了一个角。点叫做角的顶点，射线叫做角的始边，射线叫做角的终边。为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记成“”。角的分类：射线可以按两个方向旋转或静止不动，依据上述定义中旋转的方向，我们将角作如下分类：正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（positive angle）。负角：按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（negative angle）。零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角（zero angle），零角的始边与终边重合，零角无正负。任意角：任意角（any angle）包括正角、负角和零角。如图，正角，负角， 。思考：始边与终边重合的角一定是零角吗？（2）直角坐标系中的角象限角与轴上角：当角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角（quadrant angle）。如果角的终边落在坐标轴上时，就认为这个角不属于任何象限（称为象限界上的角）。 例如，、角都是第一象限角，、角都是第四象限角，角是第三象限角。注意：正确建立直角坐标系使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，是判断某角是第几象限角的前提（“轴的非负半轴”包括原点）；（3）终边相同的角学生阅读数学4（A版）第3页至第4页的内容，体会终边相同的角的概念。思考：、和角具有什么关系？你还能找出具有这种关系的角吗？如何用代数式表示与角终边重合的角？观察可知，角的终边都与角的终边相同（重合），且这两个角都可以表示成到的角与个（）周角的和。，。设，则，角都是集合的元素（和），角也是的元素（），容易看出，所有与角终边相同的角，连同角在内，都是集合的元素；反过来，集合的任一元素都与角终边相同。终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可以构成一个集合即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。说明与角终边相同的角的一般形式为，其中1）为任意角；2）；终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。终边相同的角有无限多个，构成了一个无限集，它们之间相差的整倍数。几何意义：从角终边开始旋转，每转一圈后的角与角终边重合。几个容易混淆的概念：名称表示方法的角到的角到的角第一象限角锐角小于的角例1 在间，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角。分析：此题的关键是通过终边相同的角的表达式来寻求合适的。可以通过角的除法来确定。解：，与角终边相同的角是角，它是第三象限角；，与角终边相同的角是角，它是第四象限角；，与角终边相同的角是，它是第二象限角。说明：正的角度除以，按通常的除法进行；负的角度除以，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值。练习：写出与下列各角终边相同的角的集合，并写出中间的角：解：中适合的元素是，中适合的元素是，中适合的元素是，。轴上角与线上角：例2 写出终边在轴上的角的集合。解：在到范围内，终边在轴上的角有两个，即，角。因此，所有与角终边相同的角，即终边落在轴正半轴上的角的集合为：所有与角终边相同的角，即终边落在轴负半轴上的角的集合为：故终边在轴上的角的集合为 变式：用你通过例题学到的方法，写出终边在轴上的角的集合。引申1：你能写出终边在坐标轴上的角的集合吗？终边在轴非负半轴上的角：终边在轴非正半轴上的角：终边在轴上的角：终边在轴非负半轴上的角：终边在轴非正半轴上的角：终边在轴上的角：终边在坐标轴上的角：或例3 写出终边在直线上的角的集合，并写出中适合不等式的元素。解法1：（代数法）在直角坐标系中画出直线，可以发现它与轴夹角是，而终边在直线上的角有两个：和。因此，终边在直线上的角的集合为：中适合的元素是，。解法2：（几何法）根据几何意义可知：终边落在直线上的所有角是从开始旋转，每次旋转半圈得到的，故：中适合的元素是，。指南针：事实上，轴上角只是线上角的特殊形式。当两个角的终边互为反向延长线（即位于一条直线上）时，例3的几何解法非常直观。象限角与区域角例4 写出终边落在第二象限的角的集合。分析：先写出在到间的第二象限的角的集合，再利用终边相同的角的表达式写出所有适合条件的角的集合。解：在到范围内，终边在第二象限的角满足，与终边相同的所有角的终边都在第二象限，故适合条件的角的集合为。变式：用你通过例题学到的方法，写出其他的象限角的集合。说明：要掌握这种求并集的方法。象限角和终边在坐标轴上的角用集合的形式可表示为：第一象限角：第二象限角：第三象限角：第四象限角：例5 写出图中阴影区域表示的角的集合。解法：（代数法）左边阴影区域的集合为：；右边阴影区域的集合为：；阴影区域表示的集合为：。解法：（几何法）图中阴影部分的角是直线旋转到得到的。终边在上的角的集合为：；终边在上的角的集合为：；则由集合旋转到的角的集合为：。指南针：要找区域角先找边界角，然后用旋转的思想写出区域角的集合。注意区分象限角与在某一范围内的角：象限角是由无数个该范围内的角所组成的。练习：如图、分别为终边落在、位置上的两个角，且，。终边落在阴影部分（含边界）的所有角的集合；终边落在阴影部分，且区间在时的所有角的集合。解：，。 或者写成。在区间内，且终边落在阴影部分的角由两部分组成，即。等分角与倍角问题例6 若是第二象限角，则是第 象限的角；是第 象限的角；是第 象限的角。分析：由是第二象限角，可利用终边相同的角的表达式写出的范围，进而求出、的范围，再判断其所在的象限。解：由是第二象限角，得则有：当，时，所以为第一象限的角；当，时，所以为第三象限的角；综上所述，是第一或第三象限的角。当，时，所以为第一象限的角；当，时，所以为第二象限的角；当，时，所以为第四象限的角；综上所述，是第一、第二或第四象限的角。由于，所以是第三、第四象限的角或终边在轴非正半轴上。指南针：已知所在的象限，求所在的象限，可采用“象限等分法”：把每个象限等分；从轴的正向起，将各个区域按逆时针的顺序，依次标上1，2，3，4，1，2，3，4，；若是第象限的角，则在有标号的区域内，容易写出所在的象限。例如：若是第一象限的角，则为第一、三、四象限角（如图）练习：（1）下列说法中，正确的是 （ ）第一象限的角是锐角锐角是第一象限角小于的角是锐角到的角是锐角分析：这几个概念，在角的概念推广后容易混淆，因此弄清这些概念的联系与区别是十分必要的。解：第一象限角可表示为，锐角可表示为，小于的角可表示为，到的角可表示为。因此锐角的集合是第一象限角的集合当时的子集，故选。（2），则 （ ） 以上都不对分析：小于的角由锐角、零角和负角组成，而包括锐角和其它终边在第一象限的角，故由锐角和终边在第一象限的负角组成，都不对，选。（3）下列命题正确的是 （ B ）（A）终边相同的角一定相等 （B）（C）第一象限的角都是锐角 （D）小于90°的角都是锐角（4）判断正误：时间经过5小时，时针转150°角 （ × ）若是锐角，则其终边落在第一象限 （ ）终边在第一象限的角都是锐角 （ × ）小于180°的角是锐角、直角或钝角 （ × ）终边相同的角必相等 （ × ）不相等的角的终边位置必不相同 （ × ）（5）若是第四象限角，则一定是 （ C ）（A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）第三象限角 （D）第四象限角说明：角与的终边互为反向延长线，一定关于原点对称。（6）把、写成（其中）的形式。解：， ；，。说明：遵循化简原则，培养求简意识；数形结合可使思路清晰。（7）试求出下列角的范围，并指出它是哪一象限的角。在第四象限，； 在第一象限，。提示：，在第三、第四象限或轴的非正半轴上；，在第一或第三象限。1.1.2弧度制在度量问题上，不同的单位制能给解决问题带来方便。我们将角的概念推广到正角、零角和负角，在初中我们学过用度做单位来度量角（用度做单位来度量角的单位制叫做角度制），规定周角的为1度的角，。角度制是60进制和10进制并用（例如角，其中66、32、2都是10进制数，而度、分、秒之间是60进位的），在找出与角对应的实数，进行计算和度量时很不方便。那么有没有可能在角度和实数之间建立一种关系使得角的运算变成实数（十进制）的运算呢？（1）弧的概念：在平面几何中弧的定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧的度数等于圆心角的度数。弧的长不超过圆周长，也没有方向。圆心角与弧的概念随着角的概念的推广而推广：即通过圆心角旋转方向的不同，可以定义弧的正负。从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角之分，弧也就有正弧、零弧、负弧之分；从“数”上讲，圆心角与弧的度数就都有了 正数、零、负数之分。这样，圆心角与弧都被赋予了方向，并且每一个圆心角都有一条弧与它对应，不同的圆心角对应着不同的弧，反过来也对。就是说，圆心角与弧是一一对应的。（2）弧度我们知道，角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的。这种用度来度量角的单位制叫做角度制（degree measure）。为了使用方便，数学上还采用另一种度量角的单位制弧度制（radian measure）。我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度（radian）的角，用符号表示，读作弧度。当弧的长等于半径时，所对的圆心角就是弧度的角。当弧 的长时，弧 所对的圆心角的弧度数就是。当圆心角为周角时，它所对的弧（即圆周）长，所以周角的弧度数是。可以证明，一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关。一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是；如果半径为的圆的圆心角所对弧的长为，那么角的弧度数的绝对值是。说明1) 角度制和弧度制，都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应关系，即每一个角都有唯一的实数与它对应，这为构造函数关系奠定了基础。2) 角度制是六十进制与十进制并用的，弧度制只使用十进制。3) 利用公式求得的是圆心角的弧度数的绝对值。的变式：；（）这里的采用的是弧度制，若已知的角以“度”为单位，应先把它化成弧度数后再计算。（3）弧度与角度的换算同一个角可以用角度制或弧度制来表示，那么弧度与角度之间有什么样的关系呢？从弧度制来讲，因为周角的弧度数是，从角度制来讲圆周角的角度数是。所以可得：把角度换成弧度：把弧度换成角度：说明1) 事实上，角度制与弧度制的换算是通过比例式完成的。2) 用“弧度”为单位度量角时，“弧度”（或）两字可省略不写，这时弧度数在形式上虽然是一个不名数，但应当把它理解为名数，例如是指，是指。但用“度”为单位度量角时，“度”（即）不能省去。3) 用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特殊要求，不必把写成小数，例如弧度，不必写成弧度。4) 学习了弧度制，写出与角终边相同的角（连同角在内）时，要根据角的单位来决定后一项的单位，即两项所采用的单位必须一致，防止出现或的错误写法。例1.填空： 弧度； 度。解：由可得：；由可得：。（3）特殊角的弧度数：度弧度0度弧度例2.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：；。其中是半径，是弧长，为圆心角的弧度数，是扇形面积。证明：根据公式，可以得到：；由于半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是，将转换为弧度，得， 于是。将代入，可得。例3.圆弧长度等于其内接正三角形的边长，则它所对圆心角的弧度数为（ ）分析：紧扣弧度的定义：。解：设圆的半径为，则圆的内接正三角形的边长为，圆弧长度等于的圆心角的弧度数，选。例4.用弧度制表示终边相同的角的集合，坐标轴上的角的集合，象限角的集合。终边在轴上的角的集合：；终边在轴上的角的集合：；终边在坐标轴上的角的集合：终边在四个象限的角平分线上的角的集合：；终边在第二象限的角的集合：。例5.用弧度制表示顶点在原点，始边在轴的非负半轴，终边落在下列图中阴影部分内（不包括边界）的角的集合。 解：把以为终边的角看成是，化为弧度即，而，终边在阴影部分内的角的集合为：。以为终边的角可看成，化为弧度即，而，终边在阴影部分内的角的集合为：。由于，终边在阴影部分内的角的集合为：。2. 小结：l 理解终边相同的角的概念（包括代数表示与几何意义）。l 能表示线上角与区域角。l 能够进行弧度制与角度制的换算。l 能够用弧度制表示角。3. 作业：（见校本练习册）练习：（1）填表并熟记度（）（）()弧度（ 0 ）（）（）（）（）()()度()()()()()()弧度()()()提示：由有。（2）将下列各角化成的形式（其中），并指出是第几象限角。答案：；，都是第一象限角。（3）计算： ； 。解：，。，.（4）圆弧长度等于其内接正三角形的边长，则它所对圆心角的弧度数为 （ C ） （A） （B） （C） （D）2分析：紧扣弧度的定义：解：设圆的半径为，则圆的内接正三角形的边长为，圆弧长度等于的圆心角的弧度数，选C。注意：定义是依据；弧、弦、圆内接正三角形等几何概念要清楚；题中的弦长。（5）在若干个圆中，当圆心角都是1弧度时，下列结论正确的是 （ D ）（A）所夹的弧长相等 （B）所对的弦长相等（C）所夹的弦长等于各自的圆的半径 （D）所夹的弧长等于各自的圆的半径 （6）用角度制和弧度制写出各象限角的集合：象限角 度 制弧 度 制一二三四注：第四象限角：专心-专注-专业