高中物理竞赛-天体部分习题精选(共10页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上1.试证明质量均匀、厚度均匀的球壳内一质点受到球壳的万有引力为零.证明 设球壳单位面积质量为,壳内P点处有一质点m,如图4-17所示,球壳上取一小面元S,距P为r,过此面元边界与P连接并延长,在球壳上又取下对应面元S,距P为r,可得S与S对质点m的总万有引力F为OPOPF=F- F. 图4-17F=G· - G·=Gm( - ).从图中可得 - .因为S和S很小,所以S=S,S=S,即 =.这样可得 F=0.所以 F=0.2.两个质量为1.0g的质点相距10m.开始时两质点相对静止，且其中一个质点固定.如果它们之间只有万有引力作用，问：无初速释放一个质点后，经过多长时间它们相碰？TA解 设想m绕m做半径为l的圆周运动，m为圆心.由于两质点只有万有引力作用，故可视为m做类似于太阳系行星的运动.设m在A点速度减小，开始沿虚线做椭圆运动，m为焦点，如图4-18所示.设圆运动和椭圆运动的周长分别为T和T，圆半径和椭圆半长轴分别为l和l，由开普勒第三定律有 Tl= 图4-18当m在A点的速度减为零时，有l，则m从A运动到m的时间t=.又因为m做圆周运动时，受向心力F=ml作用，故=. 由 、两式得T=2（l），所以t=()=1.36×10s.3.求半径为R的液态行星中心处压强，假设液态不可压缩且密度为.若R=6.4×10m，=1.7×10kg/m，计算此压强。解 将行星球体分成大量厚r的薄球层.不难证明：各层对该层内微粒万有引力之和等于零.为此研究小顶角的圆锥，其中含有质量为m的微粒.圆锥从球层上分出面积分别为S和S两部分（图4-19）.若球层单位面积表面摊有物质的质量为，则S和S部分对质量m的万有引力O分别为 但是,式中：为圆锥顶点O处立体角.作OM=OA和OM=OA，所以OAM=OAM. 图4-19此外，OAB=OAB.因为=OAB-OAM，=OAB-OAM，所以=，因此，=.结果F =F，这两个力彼此相互平衡.对球层其他部分进行类似研究，我们证明了前面作出的结论.体积Sr元层所受指向行星中心的引力为.式中：r是从此元层到行星的距离.由此求出厚r部分压强的增加为.于是在离行星中心距离r处的压强为.由于等于图像y=r与轴r所围图形面积，所以，因而.取行星表面处压强等于零，得到.在行星中心处（r=0）压强等于.代入和R数值，得到P1.6×10N/m.4.使航天器飞越太阳系的设计方案之一，建议使用面积S=1km的太阳帆，当航天器绕太阳沿半径R=1.5×10km的地球轨道运行时，太阳帆展开.在随后运行中指令帆始终垂直太阳光线的方向，在地球轨道上太阳光压强为p=10pa.问：（1）当航天器质量多少时它可以飞离太阳系？（2）当航天器质量为多少时，它可以飞到半径R=2.3×10km的火星轨道？不考虑地球以及其他行星的引力影响.太阳质量与万有引力恒量的乘积等于MG=1.3×10km/s.解 （1）当太阳帆张开时太阳引力和太阳压强作用在航天器上，这两个力的合力为F=G - pS = G - G= G可见，太阳光压好像减少了太阳对航天器的引力.这个力结果是使太阳质量不是M，而是某个减少后的等效质量，即M= M- .我们利用引入的等效质量，可以不考虑太阳光压而进一步解题.在质量为M的物体的引力场里，航天器总机械能为E = mv - G.根据能量守恒定律，航天器在轨道任何一点机械能应该等于E = mv- G，式中：v为航天器在离太阳距离R且当帆张开时具有的速度。根据航天器在太阳引力作用下沿地球轨道运动方程来求这个速度.m = G，即v = .由此可见，E = G ()= G ().如果E0,即在下面条件下0，航天器可以飞离太阳系。由此求出，当航天器质量为多少时这才可能实行。（2）设M为某一质量m时，航天器与火星轨道相切，航天器能够飞到火星轨道（穿过轨道）所具有的一切可能质量m中，m是最大的.在这种情况下，航天器轨道是椭圆，其长半轴等于（R+R）（图4-20），在切点航天器速度垂直于航天半径矢量。根据机械能守恒定律，有G = - G ，V - V = 2GM（ - ）.根据开普勒第二定律VR= VR，即图4-20V= V.综合上两式并考虑到v= ，经不太复杂代换后得到2 M R= M（R+ R），即2（M- ）R = M( R+ R）.由此求出航天器可以飞到火星轨道所具有的最大质量m：m = 10kg.5. 质量为400kg的宇宙飞船绕地球沿离地面高h=200km的圆周轨道运行.启动火箭，发动机在短时间t内工作，使宇宙飞船速度增加了v=10m/s，而运行轨道变为椭圆形，离地面最近距离h=200km，离地面最远距离h=234km.球在离地面最远距离处宇宙飞船的速度v为多少，火箭发动机牵引力F多大，工作时间t多长，消耗燃料质量m多少以及火箭发动机的工作效率多大.飞船质量的变化不计.地球的半径R6370km，地球的质量M=6×10kg，万有引力恒量G=6.67×10N·m/kg，每秒消耗燃料m= = 1kg/s，喷气流速度u=4000m/s.燃料和氧化剂的燃烧值为q=1.2×10J/kg.解 离地面最近点宇宙飞船速度v等于v= v + v .沿圆周轨道运行速度v可以由下面方程求得 = .式中：R = R + h = 6.57×10m .由此 v =代入数值，得到v = =7.805×10m/s ,v=7.805×10+10=7.815×10m/s.根据动量守恒定律，有mvR= mvR所以在远点速度v为v=，式中：R = R + h = 6.604×10m .代入数值，可得v= =7.775×10m/s.根据动量守恒定律求得火箭发动机的牵引力FFt = mu，式中：m为在时间t内火箭发动机喷出的气体质量，u为喷气流速度.改写这方程F = =.代入数值，得到F=×4000=4×N.发动机工作时间可以根据宇宙飞船动量的变化得到：Ft = mv，得：.消耗燃料和氧化剂的质量m可以根据对于“飞船燃料物”系统动量守恒定律得到：，即.火箭发动机工作效率由下式确定：，式中P为发动机功率，Q为燃料燃烧时释放的功率。由于，Q=mq，所以火箭发动机工作效率等于：木星*太阳远日点6.木星彗星族的形成粗略描述为下面.彗星从遥远处无初速“落”向太阳，并从木星不远处飞过（图4-21）当木星引力场对彗星的显著影响消失后，它又在太阳引力场中运行，并且它的速度方向与木星速度图4-21方向相反.彗星新轨道的远日点位于木星轨道附近，即在离太阳为R=5.2天文单位处.试求此处彗星轨道的近日点将位于离太阳多远处.解 注意：太阳为巨重木星10倍，结果同太阳影响相比，木星引力范围大小为其轨道半径的10.并且彗星与木星实质性相互作用时间，与木星运转周期以及彗星绕太阳运行周期相比是不可比拟的短.因而，在这段时间内彗星的摄动就算不了什么.所以我们把彗星的运动分为三个独立阶段：（1）彗星从遥远处沿着指向太阳系方向，在太阳引力作用下运行；（2）在木星引力场里“瞬间”掉转头来；（3）沿椭圆轨道绕太阳运行（且可不必考虑木星的影响）.木星受到太阳（质量为M）的引力作用而沿着圆周轨道运行，其条件为.由此得到木星的速度.当彗星飞近木星第一阶段结束时，速度由能量守恒定律得出，即.木星和彗星两星速度方向互相垂直，则彗星相对木星速度等于.从飞出木星引力场后（第三阶段开始），彗星相对与行星速度只改变了方向，而相对太阳速度大小为现在彗星重新仅与太阳相互作用，在远日点和近日点速度均垂直于从太阳引出的半径矢量，于是根据开普勒第二定律有.根据能量守恒定律有.解上述两个方程，有天文单位，这是轨道远日点与太阳距离；天文单位，这就是所求轨道的近日点到太阳的距离.专心-专注-专业