初一数学秋季讲义(北师大版)(共40页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上第四讲 有理数加减运算一、 绝对值、相反数、数轴（数形结合）：1、 去绝对值：例1、（1）若，且，则y= 。（2）求中x的值。2、 相反数与绝对值：例2、已知与互为相反数，则 。3、 综合运用：例3、对于任何有理数m，的最小值是 ，的最大值是 。二、 有理数加减法的运算技巧：1、 相反数结合：例4、计算：（1） ； （2）；2、 同号结合法：例5、计算：3、 同分母结合法：例6、计算：4、 凑整法：例7、计算：（1） ； （2）；5、 裂项相消法：例8、计算：；6、 拓展训练：例9、在计算的值时，可设 ；则 ，则得：，即。利用上述方法计算：（1）； （2）。三、 规律探索：例·符号表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1） （2）利用以上规律，计算：。第五讲 有理数的乘除运算一、 典题考察：例·（1）已知有理数与互为相反数，求x+y+xy的值。 （2）求|x-1|+|x-2|的最小值。二、 知识清单：1、 有理数乘法： （1）两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘，任何数与0相乘，积 。 （2）如果两个有理数的乘积为 ，那么称其中一个数是另一个的 ，也称这两个有理数互为 。 （3）几个不等于0的有理数相乘，积的符号由 ，当负因数的个数为奇数时，积为 ；当负因数的个数为偶数时，积为 。 （4）若0，则 ；若0，则 。2、 有理数除法： （1）两个有理数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 。 （2）0除以任何非O的数都得 。 （3）除以一个数，等于 。3、 有理数乘方： （1）求n个相同因数的 的运算叫乘方，乘方的结果叫作 ，叫作 ，n叫作 ，读作“ ”或“ ”。 （2）正、负数幂的规律：正数的任何次幂都是 ，0的任何正整数次幂都是 ，负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 。4、 科学计数法：一个大于10的数可以表示成 的形式，其中 ，n是 ，这个计数方法叫作科学计数法。 （一个小于0的数可以表示成 的形式，其中 ，n是 。）二、 有理数的运算：1、 有理数乘法的简便运算： ， ， ，2、若。则 ；若。则 ； 若。则 ；例·若，且，则的值为多少？【针对训练】（1）若xy0，x+y0，则x、y的符号为 。 （2）若xy0，x+y0，则x、y的符号为 。 （3）若xy0，xy0，试确定x、y的正负？ （4）若xy0，x+y0，则x、y的符号为 。例1、计算：（1）； （2）； （3）；（4） ； （5）；（6） ； （7）。2、 除法简便算法：例2、规定一种新运算“”，两个数通过“”运算得到，即=，例如：35=，根据上面规定解答下题： （1）求7的值； （2）7和7的值相等吗？【针对训练】对于两个整数，有，求。3、 乘方：例3、计算：（1） ； （2）； （3）； （4） ； （5）； （6）。例4、根据下列各组两个算式的值，你能发现什么规律？（1） 与； （2）与； （3） 与； （4）与； 试用你发现的规律计算的值。例5、（1）已知，则= ； （2）一根1米长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下的一半，第3次剪去第2次剩下的一半，如此剪下去，问第8次剪去后，剩下的绳子有多长？【针对训练】当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折2次时，就得到4层，照这样对折下去：（1）你能发现层数与折纸的次数有什么关系吗？ （2）计算当你对折6次后，层数是多少？ （3）如果每张纸的厚度是0.1mm，求对折10次时，总厚度是多少？4、科学计数法例6、如果规定：0.1=， 你能用10的指数形式表示0.0001和0.00001吗？ 你能将0.表示成的形式吗？（其中1，n是负整数）第六讲 有理数混合运算一、 混合计算：例·计算：（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5） ； （6）。（7） ； （8）;（9） ； （10）；（11） 。二、 特殊运算：1、 新定义运算： 例1、定义运算，比如，下面给出了关于这几种运算的几个结论：；此运算中的字母均不能取零；，其中正确的是（ ）A、 B、 C、 D、【针对训练】设x是有理数，我们规定例如：，解决如下问题：（1）填空: ; ; （2）计算：的值。2、 规律探索：例2、（1）某数学活动小组的20名同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位开始，每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1，第一个同学报，第二位同学报，第三位同学报，···，这样得到的20个数的积为 。 （2）观察下列一组数：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,···其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是 。【针对训练】古希腊数学家把1,3,6,10,15,21,···叫作三角形数，它有一定的规律性：若把第一个三角形记为，第二个三角形记为，···，第n个三角形记为，计算由此推算出= 。3、 典题精炼：例3、已知互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，试求。例4、下列说法正确的个数是（ ）若0，b0，则0；若0，0，则b0；若b0，则1；若0，b，则0；若0，b，且0，则1。A、2 B、3 C、4 D、5第七讲 整式一、 代数式：1、列代数式：利用代数式表示数量关系 书写要求：2、 常见关系量：例1、用代数式表示：（1）一艘轮船在静水里的航行速度为每小时千米，水流速度为每小时b千米，则这艘轮船顺水航行的速度为每小时 千米，逆水航行的速度为每小时 千米，若这艘轮船经过t小时后，顺水航行到达了目的地，这出发点距离目的地的距离为 千米。（2）随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价元后，再次降价20%，现售价为b元，则原售价为 元。（3）x表示一个三位数，y表示一个两位数，把x放在y 的左边得到一个五位数，则这个五位数为 。（4）某项工程，甲单独做要x天，乙单独做要y天，甲乙两队合作完成这项工程需要工作 天。（5）用代数式表示：与b的平方的 ；m与n的立方和除4的商 。2、代数式的值：用数值替换字母。例2、当m=，n=1时，求下列各代数式的值。例3、已知代数式的值等于8，求的值。【针对训练】（1）当x=3，y=5时，求代数式的值 （2）已知，求的值。二、整式：1、单项式：定义： 单项式的系数： 次数：例1、已知与都是关于x、y的七次单项式，求m、n的值。【针对训练】若关于x、y的单项式的系数是2，次数是7，求。2、多项式：定义： 次数： 项：例2、如果多项式是关于x的五次三项式，求。【针对训练】已知是关于x的六次三项式，求n的值。3、升降幂排列： 把多项式按照某个字母指数从低到高或从高到低的顺序排列，叫做这个多项式按照这个字母的升幂排列或降幂排列。例3、将多项式按x的降幂排列。 将前例【针对训练】中的多项式按x的升幂排列。三、同类项：所含 相同，并且 也相同，这样的单项式叫做同类项。例1、下列各组中，两项是同类项的是 与； ； ； 例2、若是同类项，则m= ，n= 。四、合并同类项：1、 法则：把同类项的系数 ，所得结果作为系数，字母和字母的 保持不变；2、 步骤： 例1、合并中的同类项。强化训练：； 。例2、若代数式中不含x2y的项，则k的取值为 。例3、如果关于x的多项式的值与x的取值无关，求m、n的值。例4、先化简，在求值：，其中。强化训练：已知，求的值。五、含有括号的整式加减去括号法则：如 ， 添括号法则：所添括号前是“+”： 所添括号前是“”：例5、化简：强化训练：；例6、已知,求的值。例7、如果x=3时，代数式的值为2008，则当x=3时，代数式的的值是 ；【针对训练】1、当x分别取2和2时，多项式的值（ ） A、互为相反数 B、互为倒数 C、相等 D、异号不等第八讲 探索与表达规律（P-45）第九讲 基本平面图形一、 线段、射线、线段：1、线段、射线、直线的定义（1）线段： （2）射线： （3）直线： 例1、如图，完成下列填空： 直线经过点 、点 ，但不经过点 ； 点B在直线 上，在直线 外； 点C在直线 上，在直线 外； 点A既在直线 上，又在直线 上，故这两条直线 。2、线段、射线、直线的表示方法（1）线段的表示方法有两种： （2）射线的表示方法只有一种： （3）直线的表示方法有两种：例2、（1）如图1，直线上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段如图2直线上有3个点，则图中有 条可用图中字母表示的射线，有 条线段；如图3直线上有n个点，则图中有 条可用图中字母表示的射线，有 条线段；应用中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需 场比赛。 （2）往返于甲、乙两地的列车，中途停靠了3个站，请问：有多少种不同的票价？需要准备多少种不同的车票？ 【针对训练】如图： （1）试验观察：如果每过两点可以画一条直线，那么： 第组最多可以画 条直线；第组最多可以画 条直线； 第组最多可以画 条直线。（1） 探索归纳：如果平面有n（n3）个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画 条直线（用含n的代数式表示）。（2） 解决问题：某班45名同学在毕业的一次聚会中，若每两个人握手1次问好，那么共握 次手。3、直线公理： 4、线段的比较 3、 线段公理： 6、线段的中点： 例3、（1）如图，点M、N把线段三等分，点C为NB的中点，且CM=6cm，求AB的长。 （2）已知线段AB=30mm，在直线AB上的一条线段BC=10mm，点D是线段AC的中点，求CD的长度。名称不同点联系共同点延伸性端点数线段不能延伸2线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线都是直的线射线只能向一方延伸1直线可向两方无限延伸无例1、比较的大小。例2、在桌面上放了一个正方体的盒子，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B处，你能帮助蚂蚁设计最短的爬行路线吗？二、 角的相关知识点与性质：1、 角：由两条具有 组成，这个公共端点是这个角的 。 【1】角的表示方法：角通常用三个大写字母及符号“ ”来表示，适用于任何情况，但必须 。 可以用一个数字表示 ，如1，2； 可以用一个大写字母表示 ，如A，B； 用一个小写的 来表示，如，；【2】角的单位换算：角的度量单位是 、 、 ，进率是 ，即 。例1、（1）如图，1可表示为 或 或 ，可表示成 ，ADC的顶点是 ，边是 。（2） 计算：78.36°= ° ； 23°30= °；8.75°= ° ；40°4836= °例2、归纳与猜想：（1） 观察上图填空：图中有 个角；图中有 个角；图中有 个角。（2） 根据（1）中的猜想：过O点共有n条射线，则可组成 个角。【3】方位角：方位角是表示方位的角，在具体表示时，南北在先，再写偏东或偏西。例3、如图所示，你能指出公园、医院、商场各在学校的什么方向吗？2、 角的比较： 【1】角的比较方法：（1）度量法：用 分别测量要比较的角的 ，从而比较大小。 （2）叠合法： 【2】角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个 的角，这条射线叫作这个角的角平分线。 【3】锐角是指 ，直角是指 ，钝角是指 ，平角是指 ，周角是指 。例4、（1）如图，填空：AOC=AOB+ =AOD ； BOC=AOC+BOD 。 （2）如图，OE是AOB的平分线，OD是BOC的平分线，且AOB=90°，若EDD=70°，求BOC的度数。 （3）过点O作三条射线OA、OB、OC，使AOC=2AOB，若AOB=30°，求BOC的度数。第十讲 线段与角有关的计算考点一、数形结合思想求角度（长度）。例1、如图，已知线段AD=6cm，线段AC=BD=4cm，E、F分别是AB、CD的中点，求E、F两点之间的距离。例2、如图，AOC=50°，OE平分BOC，OF平分AOC，EOF=35°，求BOC的度数。考点二、分类思想求角度（长度）例3、如图，点C在数轴上，有AC：BC=1:5，求点C对应的数。例4、在平面内，AOB=80°，COB=30°，求AOC的度数。考点三、动态变化与探究：例5、如图，将两个直角三角板的直角顶点重合在一起。 （1）若AOE=125°，则BOD= ； （2）若AOE=4BOD，求BOE的度数； （3）将图中三角板DOE绕点O旋转到图，图的位置时，图中BOD+AOE= ，图中BOD+AOE= ；图中BOD+AOE= ，请就图说明理由。第十一讲 多边形与圆的初步认识一、 知识清单：1、 多边形：由若干条 的线段首尾 相连组成的封闭平面图形；2、 多边形的对角线:多边形中连接 两个顶点的线段；3、 正多边形：各边 ，各角也 的多边形；4、 圆：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点 ，另一个端点形成的图形。5、 圆弧：圆上任意 间的部分叫作圆弧，简称 。6、 扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条 所组成的图形。7、 圆心角：顶点在 的角；8、 扇形的面积公式：圆心角为n°，半径为R的扇形的面积为 。二、 常见考题：例1、从十边形的一个顶点出发，可以引m条对角线，这些对角线可以把这个十边形分成n个三角形，则m+n= .例2、将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2:3:4，求这三个扇形圆心角的度数。例3、已知任意三角形的内角和为180°，试利用多边形中过某顶点的对角线的条数来探究多边形的内角和。 如下图所示，一个四边形可以分成 个三角形，于是四边形的内角和为 °；一个五边形可以分成 个三角形，于是五边形的内角和为 °，一个六边形可以分成 个三角形，于是六边形的内角和为 °，···，按此规律，n边形可以分成 个三角形，于是n边形的内角和为 °。三、 探究复习：例·如图所示，点C在线段AB上，线段AC=8cm，BC=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求： （1）线段MN的长度； （2）根据（1）中的计算过程和结果，若题中条件改为AC+BC=m，其他条件不变，你能猜测MN的长度吗？说明理由。 （3）若题中的条件改为“点C在直线AB上”，其他条件不变，线段MN的长度会不会发生改变？若有变化，请求出结果。第十二讲 一元二次方程一、 考点精讲： 1、只含有 未知数，并且未知数的指数都是 ，等号两边都是 ，这样的方程叫作一元一次方程。 2、使方程左右两边 的 的值叫作方程的解。区别方程与一元一次方程：； ； ； ； 。方程有： ；一元一次方程有： ；例1、解下列方程：（1）；（2）；步骤总结： 【针对训练】 3、特殊解法：（1）含绝对值方程：（2）整体换元：已知方程，求代数式x-3y的值。（3）列式求解：两式子互为相反数：如与的值互为相反数，则x-2= ；两式子为同类项：如单项式与单项式的和仍是单项式，试判断是否为方程的解。系数未知，解已知：如已知y=1是关于y的方程的解，求关于x的方程m（x-3）-2=m（2x-5）的解。【针对训练】（1）如果代数式3x-5与1-2x的值互为相反数，那么x= 。（2）已知关于x的方程的解为x=1，求的值。（3）已知关于y的方程的解y=2，求关于x的方程的解。利用概念，综合求解：若是关于x的一元一次方程，求关于x的方程的值二、列方程式例2、一架敌机侵犯我军领空，我国战斗机起飞迎击。在两机相距50千米时，敌机扭转机头，以15千米/分的速度逃跑，我机以22千米/分的速度追击。当我机追至距离敌机1千米时，向敌机开火，经过半分钟，敌机冒着浓烟一头栽了下去。敌机从逃跑到被我机歼灭只有几分钟时间。例3、（工程问题）甲、乙两人打一批文件，甲单独打要15天完成，乙单独打要10天完成，甲单独打了3天后，与乙一起打，问还要多少天完成这批文件？例4、孔明将梨分给幼儿园的小朋友，如果每人分2个，正好多8个；如果每人分3个，则还差12个。请问这个班有多少个小朋友？计算训练（1） ； （2）； （3）；（4） ； （5）； （6）；（7） ； （8）； （9）；（10） ； （11）； （12）第十三讲 一元二次方程应用（一）一、 知识点回顾： 1、一元一次方程概念：一元 ；一次 ； 2、解题步骤： 。 例1、已知是关于x的一元一次方程，它的解为，求代数式的值。二、典型例题：例2、若为定值，关于x的一元一次方程，无论k为何值时，它的解总是1，求的值。<针对训练>当m取什么整数时，关于x的方程的解是正整数？三、应用题：例3、如图将一个长方形分成如下几个正方形，其中最小的面积为1cm²，则求长方形面积。例4、某人用1000元人民币购进一批货物，第二天售出，获利10%，过几天又以上次售价的90%，购进一批同样的货物，由于卖不出去，两天后他按第二次购进的九折再次售出，这样，他在这次交易中 （填盈利/亏损） 元。<针对训练>一个水池有甲、乙、丙单个管子，甲、乙是进水管，丙是排水管。甲单独开16min可以将水池注满，乙单独开10min将水池注满，丙单开20min可将全池水放完。现在先开甲、乙两管，4min钟后关上甲，打开丙管，问经过多少分钟将水池注满？第十四讲 一元二次方程应用（二）考点1、数字问题：例1、一个两位数，十位上的数字比个位上数字小1，十位上的数字与个位上数字的和是这个两位数的，求这个数。考点2、和、差、倍、分问题：例2、有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球各有多少支参赛？考点3、行（工）程问题：例3、某工人原计划用13小时生产一批零件，后因每小时多生产了10个零件，用12小时就比原计划多生产了60个零件。问原计划要生产多少个零件？例4、甲、乙两列火车的长分别为144m、180m，甲车比乙车每秒多行4m。（1） 两列车相向行驶，从相遇到尾部错开需9秒，问两车速度各是多少？（2） 若同向行驶，从甲车的车头追及乙车的车尾到甲车全部超过乙，需多少秒？考点4、销售利润问题：例5、旭海购物超市“十·一”期间搞促销，一次性购物不超过200元不优惠；超过200元，但不超过500元，按九折优惠；超过500元，超过部分按八折优惠，其中的500元仍按九折优惠。某人两次购物分别用了134元和466元。问： （1）此人两次购物，若物品不打折，值多少钱？ （2）此人两次购物共节省多少钱？ （3）若将两次购物的钱合在一起，一次购买相同的物品，是否更节省，说明理由。考点5、计费问题：例6、下表为深圳市民每月用水收费标准（单位：元/立方米）用水量单价X22剩余部分+1.1（1） 某户用水10立方米，共交水费23元，求的值。（2） 在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？例7、某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：第一档电量第二档电量第三档电量月用电量210度以下，每度价格0.52元月用电量210度至350度，每度比第一档提价0.05元月用电量350度以上，每度比第一档提价0.30元例：若某户用电量400度，则需缴电费为210×0.52+（350-210）×（0.52+0.05）+（400-350）×（0.52+0.3）=230（元）。（1） 如果按此方案计算，小华家5月份的电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量；（2） 依据此方案，请你回答：若小华家某月的电费为元，则小华家该月用电量属于第几档？考点6、方案决策问题：例8、某工厂安排600名共生生产A，B型机器共69台，已知7名工人能生产一台A型机器，10名工人能生产一台B型机器。 （1）生产A型机器和B型机器的工人各有多少名？ （2）如果人数不变，能生产这两种机器共70台吗？专心-专注-专业