《数学实验》课程综合实验.doc
数学实验数学实验课程综合实验课程综合实验奶制品加工问题奶制品加工问题一、问题重述一、问题重述一奶制品加工厂用牛奶生产 A1, A2两种初级奶制品，它们可以直接出售，也可以分别深加工成 B1, B2两种高级奶制品再出售。按目前技术每桶牛奶可加工成 2 公斤 A1和 3 公斤 A2,每桶牛奶的买入价为 10 元，加工费为 5 元，加工时间为 15 小时。每公斤 A1可深加工成 0.8 公斤 B1，加工费为 4 元，加工时间为12 小时；每公斤 A2可深加工成 0.7 公斤 B2，加工费为 3 元，加工时间为 10 小时；初级奶制品 A1, A2的售价分别为每公斤 10 元和 9 元，高级奶制品 B1, B2的售价分别为每公斤 30 元和 20 元，工厂现有的加工能力每周总共 2000 小时，根据市场状况，高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量的 20%至 40%。试在供需平衡条件下为该厂制订（一周的）生产计划，使利润最大，并进一步讨论如下问题：1）拨一笔资金用于技术革新，据估计可实现下列革新中的某一项：总加工能力提高 10%，各项加工费用均减少 10%。初级奶制品 A1，A2的产量提高 10%；高级奶制品 B1，B2的产量提高 10%。问应将资金用于哪一项革新，这笔资金的上限（对于一周而言）应为多少？2）该厂的技术人员又提出一项技术革新，将原来的每桶牛奶可加工成 2 公斤 A1和 3 公斤 A2，变为每桶牛奶可加工成 4 公斤 A1或者 6 公斤 A2。设原题目给的其它条件都不变，问应否采用这项革新，若采用，生产计划如何。二、问题分析二、问题分析在生产的过程中，往往会产生不同的生产方案，由此引起的生产费用成本也是不相同的，而且，同种原料也会产生很多不同种类、不同价格的最终产品，因此，本题以成本控制和目标利润为主导，对实际生产计划经过简化的加工方案优化设计, 这是一个可以转化的数学问题，我们可以利用线性和非线性规划并结合回归分析方法来研究。首先我们可以将奶制品的加工和销售过程转化成以下简单而又易懂的图形：由题意可知: A1, B1, A2, B2 的售价分别为 p1= 10, p2= 30, p3 = 9, p4= 20( 元/ 公斤) 。牛奶的购入和加工费用为 q1= 10+ 5= 15( 元/ 桶) , 深加工 A1, A2 的费用分别为q2 = 4, q3= 3( 元/ 公斤) 。每桶牛奶可加工成 a= 2 公斤 A1 和 b= 3 公斤 A2, 每公斤 A1 可深加工成c= 0. 8 公斤 B1, 每公斤 A2 可深加工成 d = 0. 7 公斤 B2。每桶牛奶的加工时间为 15 小时, 每公斤 A1, A2 的深加工时间分别为 12, 10( 小时) , 工厂的总加工能力为 S= 2000 小时。B1, B2 的销售量( 即产量) 占全部奶制品的比例为 20% 40%。记出售 A1, B1 的数量分别为 x1, x2( 公斤) , 出售 A2, B2 的数量分别为 x3, x4( 公斤) , 生产的 A1,A2 的数量分别为 x5, x6( 公斤) , 购入和加工牛奶的数量为 x7 桶, 深加工的 A1, A2 的数量分别为 x8,x9( 公斤) 。三、符号说明与名词定义三、符号说明与名词定义变量设定：变量设定：记出售 A1, B1 的数量分别为 x1, x2( 公斤) , 出售 A2, B2 的数量分别为 x3, x4( 公斤) , 生产的 A1,A2 的数量分别为 x5, x6( 公斤) , 购入和加工牛奶的数量为 x7 桶, 深加工的 A1, A2 的数量分别为 x8,x9( 公斤) 。四、模型建立与求解四、模型建立与求解根据上面的分析, 在供需平衡的条件下, 使得利润最大的生产计划应满足下面的线性规划模型:maxz= 10x1+ 30x2+ 9x3+ 20x4- 15x7- 4x8- 3x9x5= 2x7, x 6= 3x7, x2= 0. 8x 8, x4= 0. 7x9,x5= x 1+ x8, x6= x 3+ x9,15x7+ 12x 8+ 10x 92000, ( 1)0. 2( x 1+ x2+ x3+ x 4)x 2+ x4 0. 4( x 1+ x2+ x3+ x4),x1, x 2, x3, x4, x 5, x6, x7, x 8, x9 0利用 MATLAB 求解, 并作 Lagrange( 下记 Lag) 分析可得:X= ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9) =( 5511846, 6510407, 20418780, 0, 13615854,20418780, 6812927, 8113008, 0)Lag= ( 8. 0976, 7. 0976, - 37. 6098, - 35.8420, 8. 0976, 7. 0976, 1. 4992, 9. 5122, 0, 0, 0, 0,8. 2323, 0, 0, 0, 0)z= 299814对所解得的 X 值作适当的取整处理可以得到( 一周的) 生产计划为: 购入、加工 68 桶牛奶, 加工成 136 公斤 A1, 204 公斤 A2, 其中 55 公斤 A1 直接出售, 81 公斤 A1 再加工成才 4. 8 公斤 B1 出售, 而 204 公斤 A2 则全部直接出售, 这样可获得利润为 2986 元。由 Lag 值可知, 加工能力 2000 小时已用足, 且每增加工 1 小时可获利 1. 4992 元; 高级奶制品的产量占全部奶制品产量达到下限 20% 。而按上面给出的计划实施可算出加工能力为 1992 小时, 高级奶制品的产量比例为 20. 01% , 因此, 此计划是可行的。如果在建模时就要求购入和加工牛奶的桶数 x7 为整数, 那么线性规划模型( 1) 将变为混合整数规划模型, 可用 LINDO 软件求解得:X= ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9) =( 54. 3333, 65. 3333, 204, 0, 136, 204, 68, 81. 6667, 0)z= 2992. 7与上面的结果稍有差别。四、进一步讨论四、进一步讨论1、确定革新项目总加工能力提高 10%, 即 S= 2200 小时, 由( 1) 式求解得最大利润为 z= 3298. 2 元。各项加工费用均减少 10%, 即 q1= 14. 5 元/桶, q2= 3. 6, q3= 2. 7( 元/ 公斤) , 由( 1) 式得最大利润为 z= 3065 元。初级奶制品 A1, A2 的产量提高 10%, 即 a= 2. 2, b= 3. 3( 公斤) , 由( 1) 式得最大利润为 z=3242. 5 元。高级奶制品 B1, B2 的产量提高 10%, 即 c= 0. 88, d = 0. 77( 公斤) , 由( 1) 式得最大利润为 z= 3233. 8 元。比较以上 4 项革新项目所得的利润可知, 应将资金用于提高加工能力上, 一周最大获利为 3298.2 元, 比原获利增加 3298. 2- 2998. 4= 299. 8, 所以这笔资金的上限( 对于一周) 应为 300 元。实际上,这个结果也可由 lag( 5) 200= 1. 4992*200 得到。2、论证新的革新方案题目给出的又一技术革新, 是将原来的每桶牛奶可加工成品 2 公斤 A1 和 3 公斤 A2 变为每桶牛奶可加工成 4 公斤 A1 或 6 公斤 A2。只要将模型( 1) 中的约束条件 x5= 2x7, x6= 3x7 改为x5/4+x/6=x7,利用 MATLAB 求解得，X = ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9) =( 0, 67. 3684, 269. 4737, 0, 84. 2105, 269. 4737,65. 9649, 84. 2105, 0)对 X 作适当的取整处理得到相应的生产计划为:购入、加工 66 桶牛奶, 用21 桶加工成 84 公斤 A1,用 45 桶加工成 270 公斤 A2, 84 公斤 A1 全部再加工成 67. 2 公斤 B1 出售, 而 270 公斤 A2 则全部直接出售, 这样总获利仍为 3120 元, 大于原来的 2986 元, 加工时间为 1998 小时, 高级奶制品的产量比例为 19. 93%. 因此应该采用这项技术革新。这是由于每桶牛奶可加工成 4 公斤 A1 或 6 公斤 A2, 与原来的每桶牛奶可加工成品 2 公斤 A1 和 3 公斤 A2 相比, 虽然看起来 A1, A2 的基本产量未变,但此时生产安排的结构、效率都有着大幅度的提高。
