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矩阵三角分解开题报告范文矩阵三角分解开题报告范文篇一：矩阵三角分解的讨论在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及矩阵理论的知识，很多问题都能够归结为矩阵并最终通过矩阵来解决。经查阅发现，目前关于矩阵三角分解的应用研究不少，但对三角分解缺乏系统的研究。矩阵三角分解法是指高斯消去法解线性方程组的变形解法。其本质就是将系数矩阵A分解为两个三角形矩阵L和U相乘，即A=LU。一、矩阵的直接三角分解矩阵的直角三角分解即能够不经过消元步骤，直接将矩阵进行分解。定义1设ARn×n，若A能分解为一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU，则称这种分解为矩阵A的.三角分解。1假如A可分解为A=LDU，其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵，U是单位上三角矩阵，则称A可作LDU分解；2假如在A=LU中，L是单位下三角矩阵，U为上三角矩阵，则称此三角分解为杜利特Doolittle分解；3假如在A=LU中，L是下三角矩阵，U是单位上三角矩阵，则称此三角矩阵为克劳特Crout分解。定理1n阶方阵A非奇异的充要条件为或A经行、列变换后存在LDU分解。其中L为n阶单位下三角矩阵，D为n阶非奇异对角阵，U为n阶单位上三角矩阵。推论1奇异矩阵不能进行LDU分解。推论2若矩阵A有奇异主子矩阵，则A不能直接进行LDU分解。篇二：矩阵三角分解第2章线性代数方程组数值解法I：直接法1.矩阵事实上，顺序Gauss消去经过对应一个矩阵的三角分解，即对Axb的顺序Gauss消去经过的结果，把矩阵A分解成两个三角矩阵L与U的乘积：ALU下面来证明这一点.依次取第k步消元的乘法(k)(k)likaik(ik1,k2,n)/akk(k1)(k)(k)则直接验证可知,第k步消元(aij)的结果等价于对Ak左乘Lk:aijlikakjA(k1)LkA(k)于是,经过n1步消元,应有u11u12u13u22u23Ln1L2L1AUU(2.3.1)u33这里U为上三角矩阵，另外，又容易直接验证Lk有下列两个基本性质：(1)Lk的逆阵存在，且有1111lLk1,kk(2.3.2)1lnk1(2)逆阵Lk的乘积11l21111L1L2Ln1=L单位下三角矩阵2.3.31ln1ln1111进而对(2.3.1)式两端依次左乘Ln1,L2,Lk可得111U=LUAL1L2Ln1L就是(2.3.3)式所示的单位下三角矩阵。这就是矩阵的三角分解或称LU分解。ALU称为A的doolittle分解ALULDU=LU称为A的克劳特分解ALDU称为A的LDU分解对于于有选主元和换行步骤的Gauss消去经过，可以证实它对应于“A左乘排列矩阵P的LU分解，即有PA=LU。例2.3.1用直接三角分解法解方程组2.1节中的实例232x101x12224317x3解把解法分为3个步骤：令A=LU，用Doolittle分解，即令u11u12u132321122lluu21222341u3331l31l32考虑A的第1行，比照右边两矩阵的乘积，有21u11u11231u12u12321uu21313此结果即U的第1行与A的第1行全同，这对一般情形也是适用的，因而，在分解计算中，此结果可以直接写出。接着，再依次考虑A的第1列、第2行、第3列(除去已考虑过的元素)，作同样比拟有l211/21l21u113lul3/23111312l21u121u22u221/22l21u131u23l2331l31u12l32u22l3274l31u13l32u231u33u332812321/211/23即得A1283/27用前推经过解下三角方程组1y10y101/2y1得y112213/27714y3y3用回代经过解上三角方程组x1232x102x1得x11/232228141/2x3x3下面以不包括选主元和换行的Doolittle分解为例，给出解n阶方程组Axb的一般计算公式及整个求解经过分3个步骤令ALU，即令a1n1u1na11a12u11u12aal1auu2121222n222nll1aaaun1n1n2nnnnn1利用矩阵乘法规则,并比照等式两边对应元素,由A的第1行得a1j1u1j(j1，2，n)a1ju1j(j1，2，n)(2.3.5)由A的第1列除第1行元素外得ak1lk1u11(k2，3，n)lk1ak1/u11(k2，3，n)(2.3.6)依此类推，由A的第k列1kn除前k1列元素外得akjlkrurjukjr1k1ukjakjlkrurj(jk，1，n)r1k1(2.3.7)由A的第k列1kn除前k列元素外得aiklirurklikukkr1k1lik(aiklirurk)/ukk(ik1，n)r1k1(2.3.8)求解下三角方程组Lyb得y1b1i13，n)yibiliryr(i2，r1求解上三角方程组Uxy得xnyn/unnn，2，1)xi(yiuirxr)/uii(in1，ri1这就是用直接三角分解法求解方程组的公式，其中第步中的前两个公式可以合并入后两个公式；第，步中的前一公式可以并入后一公式，这时当公式中出现和r10rn1n时均不执行计算，作零处理在列主元Gauss消去法一节中已提过这个附注。n3能够推出，Doolittle算法的乘除法次数大致为，与Gauss消3去法大致一样，故就计算量而言，采用Doolittle算法解方程组并无十分优势由于我们已拥有相当高效的列主元Gauss消去法。应用中，主要借助直接三角分解法的处理方法来处理具有特殊情况的方程组。这就是下一节要介绍的解三角方程组的追赶法和解对称正定方程组的平方根法。【矩阵三角分解开题报告范文】
