学年新教材高中数学第一章预备知识4.1一元二次函数课件北师大版必修第一册202206041114.pptx
4.1一元二次函数第一页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。自主自主预习预习新知新知导学导学合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑易易 错错 辨辨 析析随随 堂堂 练练 习习第二页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。课标定位课标定位素养阐释素养阐释1.熟悉配方法熟悉配方法,理解理解a,b,c(或或a,h,k)对二次函数图对二次函数图象的作用象的作用.2.理解由理解由y=ax2到到y=a(x+h)2+k的图象变换方法的图象变换方法.3.能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式解析式.4.掌握二次函数的性质掌握二次函数的性质.5.体会抽象概括的过程体会抽象概括的过程,加强直观想象素养的培加强直观想象素养的培养养.第三页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。第四页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。一、二次函数的配方法一、二次函数的配方法【问题思考】【问题思考】1.y=4x2-4x-1如何配方如何配方?你能由此求出方程你能由此求出方程4x2-4x-1=0的根吗的根吗?第五页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。由此可得二次函数的值域、顶点等性质由此可得二次函数的值域、顶点等性质,y=ax2(a0)与与y=ax2+bx+c(a0)图象间的关系以及二次方程求根公式等图象间的关系以及二次方程求根公式等.所以所以配方法是非常重要的数学方法配方法是非常重要的数学方法.第六页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。3.做一做做一做:若抛物线若抛物线y=x2-(m-2)x+m+3的顶点在的顶点在y轴上轴上,则则m的值为的值为()A.-3B.3C.-2D.2答案答案:D 第七页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。二、一元二次函数图象的变换二、一元二次函数图象的变换【问题思考】【问题思考】1.y=2x2和和y=2(x+1)2+3的图象之间有什么关系的图象之间有什么关系?提示提示:由由y=2x2的图象经过向左平移的图象经过向左平移1个单位长度个单位长度,再向上平移再向上平移3个个单位长度可以得到函数单位长度可以得到函数y=2(x+1)2+3的图象的图象.2.一元二次函数一元二次函数y=a(x+h)2+k(a0)的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线,可以由可以由y=ax2(a0)的图象经过的图象经过向左向左(或向右或向右)平移平移|h|个单位长度个单位长度,再再向上向上(或或向下向下)平移平移|k|个单位长度而得到个单位长度而得到.第八页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。3.做一做做一做:一元二次函数一元二次函数y=2x2的图象上各点的纵坐标变为原来的的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍倍,得到的新图象的二次函数是得到的新图象的二次函数是()A.y=x2B.y=2x2+2C.y=4x2D.y=2x2-2解析解析:将一元二次函数将一元二次函数y=2x2的图象上各点的纵坐标变为原来的的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍倍,得到的新图象的解析式为得到的新图象的解析式为y=4x2.答案答案:C第九页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。三、一元二次函数解析式的三种形式三、一元二次函数解析式的三种形式【问题思考】【问题思考】1.我们知道我们知道y=x2-2x=(x-1)2-1=x(x-2),那么点那么点(1,-1),数数0,2与与y=x2-2x有什么关系有什么关系?提示提示:点点(1,-1)是函数是函数y=x2-2x的图象的顶点的图象的顶点,0和和2是函数的图象是函数的图象与与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标.第十页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。2.抽象概括抽象概括(1)一元二次函数的一般式一元二次函数的一般式:y= ax2+bx+c (a0).(2)如果已知一元二次函数的顶点坐标为如果已知一元二次函数的顶点坐标为(-h,k),则可将一元二次则可将一元二次函数设为函数设为y= a(x+h)2+k(a0) .(3)如果已知方程如果已知方程ax2+bx+c=0(a0)的两根的两根x1,x2(即抛物线与即抛物线与x轴交轴交点的横坐标点的横坐标),可设一元二次函数为可设一元二次函数为y= a(x-x1)(x-x2)(a0) .第十一页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。3.做一做做一做:一元二次函数的顶点坐标是一元二次函数的顶点坐标是(2,3),且经过点且经过点(3,1),则这则这个一元二次函数的解析式为个一元二次函数的解析式为.解析解析:设设y=f(x)=a(x-2)2+3,则则f(3)=a(3-2)2+3=a+3=1,得得a=-2,得得y=-2(x-2)2+3.答案答案:y=-2(x-2)2+3第十二页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。四、一元二次函数的性质四、一元二次函数的性质【问题思考】【问题思考】1.填表填表.第十三页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。第十四页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。2.做一做做一做:若函数若函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间在区间(-,7上单调递减上单调递减,则实则实数数a的取值范围是的取值范围是()A.-3B.(-3,+)C.(-,-3D.-3,+)解析解析:由函数由函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间在区间(-,7上单调递减上单调递减,结合图结合图象象(图略图略)知知-(2a-1)7,所以所以a-3.答案答案:C第十五页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画正确的在它后面的括号里画“ ”,错错误的画误的画“”.(1)一元二次函数一元二次函数y=2x2与与y=-2x2的图象开口大小相同的图象开口大小相同,开口方向相开口方向相反反.( )(2)函数函数y=2(x-1)2+1的图象可由函数的图象可由函数y=2x2的图象向右平移的图象向右平移1个单个单位长度位长度,再向上平移再向上平移1个单位长度得到个单位长度得到.0( )第十六页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。第十七页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。第十八页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。探究探究一一 求求一元二次函数的解析式一元二次函数的解析式【例【例1】 已知一元二次函数的图象过点已知一元二次函数的图象过点(2,-1)和和(-1,-1),且它的最大且它的最大值为值为8,求一元二次函数的解析式求一元二次函数的解析式.第十九页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。解法解法2:利用一元二次函数的两根式利用一元二次函数的两根式.由已知由已知y+1=0的两根为的两根为x1=2,x2=-1,故可设一元二次函数的解故可设一元二次函数的解析式为析式为y+1=a(x-2)(x+1)(a0),即即y=ax2-ax-2a-1(a0).解得解得a=-4或或a=0(舍去舍去).故所求一元二次函数的解析式为故所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7.第二十页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。第二十一页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。求一元二次函数的解析式求一元二次函数的解析式,应根据已知条件的特点应根据已知条件的特点,灵活运用灵活运用解析式的形式解析式的形式,选取最佳形式选取最佳形式,利用待定系数法求解利用待定系数法求解.当已知抛物当已知抛物线上任意三点时线上任意三点时,设一般式设一般式;已知抛物线的顶点坐标常设顶点式已知抛物线的顶点坐标常设顶点式;已已知抛物线与知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时轴的交点或交点的横坐标时,常设两根式常设两根式.第二十二页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。【变式训练【变式训练1】 已知一元二次函数的图象的对称轴是直线已知一元二次函数的图象的对称轴是直线x=-1,并且经过点并且经过点(1,13)和和(2,28),求一元二次函数的解析式求一元二次函数的解析式.第二十三页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。探究探究二二 一一元二次函数的单调性元二次函数的单调性【例【例2】 函数函数y=x2+bx+c在区间在区间(-,1)上随上随x的增大而减小的增大而减小,则实则实数数b的取值范围是的取值范围是.答案答案:(-,-2 第二十四页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。二次函数的单调性取决于两点二次函数的单调性取决于两点:(1)图象的开口方向图象的开口方向;(2)对称轴对称轴的位置的位置.在解题时可借助图象进行分析在解题时可借助图象进行分析.第二十五页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。【变式训练【变式训练2】 已知函数已知函数y=x2+(a+1)x+1在区间在区间-1,1上为单调函上为单调函数数,则实数则实数a的取值范围是的取值范围是.答案答案:(-,-31,+) 第二十六页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。探究探究三三 一一元二次函数的最值元二次函数的最值【例【例3】 已知函数已知函数y=f(x)=x2-4x-4.若若x3,4,求函数求函数f(x)的最值的最值.分析分析:先配方先配方结合一元二次函数的图象和已知求解结合一元二次函数的图象和已知求解解解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8的图象开口向上的图象开口向上,对称轴为直线对称轴为直线x=2,所以当所以当x3,4时时,函数函数y=x2-4x-4单调递增单调递增,所以当所以当x=3时时,f(x)取得最小取得最小值值9-12-4=-7,当当x=4时时,f(x)取得最大值取得最大值16-16-4=-4.第二十七页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。1.本例中将定义域本例中将定义域“3,4”改为改为“-3,4”,其他条件不变其他条件不变,求函数求函数y=f(x)的最值的最值.解解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8在区间在区间-3,2上单调递减上单调递减,在区间在区间2,4上单上单调递增调递增,所以所以f(x)的最小值为的最小值为-8.又因为又因为x=-3时时,y=17,x=4时时,y=-4,所以所以f(x)的最大值为的最大值为17.第二十八页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。2.本例中函数不变本例中函数不变,将问题变为将问题变为:若函数若函数y=f(x)=x2-4x-4在区间在区间(-,1上单调上单调,求函数求函数y=f(x)的最值的最值.解解:因为函数因为函数y=f(x)的图象为开口向上的抛物线的图象为开口向上的抛物线,对称轴为直线对称轴为直线x=2,所以函数所以函数y=f(x)在区间在区间(-,1上单调递减上单调递减.所以所以ymin=12-41-4=-7,无最大值无最大值.综上综上,y的最小值为的最小值为-7,无最大值无最大值.第二十九页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。解法解法1:y0对对 x1,+)恒成立恒成立,等价于等价于x2+2x+a0对对 x1,+)恒成立恒成立.设设g(x)=x2+2x+a,x1,+),则问题转化为则问题转化为g(x)0在在x1,+)上恒上恒成立成立,又又g(x)在区间在区间1,+)上单调递增上单调递增,从而从而g(x)min=3+a.于是当且仅当于是当且仅当g(x)min=3+a0,即即a-3时时,g(x)0对对x1,+)恒成立恒成立,故实数故实数a的取值范围是的取值范围是(-3,+).第三十页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。解法解法2:y0对对 x1,+)恒成立恒成立,等价于等价于x2+2x+a0对对 x1,+)恒成立恒成立,即即a-x2-2x对对x1恒成立恒成立.令令=-x2-2x=-(x+1)2+1,其在区间其在区间1,+)上单调递减上单调递减,所以所以当当x=1时时,取得最大值取得最大值,max=-3.因此因此a-3.故实数故实数a的取值范围是的取值范围是(-3,+).第三十一页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。求一元二次函数求一元二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间在区间m,n上的最值上的最值的类型的类型第三十二页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。第三十三页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。第三十四页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。忽视对参数的讨论致误忽视对参数的讨论致误【典例】【典例】 已知一元二次函数已知一元二次函数y=-x2+2ax+1-a在区间在区间0,1上有最上有最大值大值3,求实数求实数a的值的值.错解错解 由题意由题意,可知该函数的图象为开口向下的抛物线可知该函数的图象为开口向下的抛物线,对称轴对称轴为直线为直线x=a,所以所以x=a时时,y取最大值取最大值,ymax=a2-a+1=3,解得解得a=2或或a=-1.综上所述综上所述,a=2或或a=-1.以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改正你如何改正?你如何防范你如何防范?提示提示:本题本题有两处错误有两处错误:(1)忽视了函数在区间忽视了函数在区间0,1上取最大值上取最大值3;(2)没有讨论对称轴是不是在区间没有讨论对称轴是不是在区间0,1上上.第三十五页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。正解正解:由题意由题意,可知该函数的图象的对称轴为直线可知该函数的图象的对称轴为直线x=a,当当a0时时,在区间在区间0,1上函数值上函数值y随自变量随自变量x的增大而减小的增大而减小,则函数在则函数在x=0处处取得最大值取得最大值,即即ymax=1-a=3,得得a=-2,满足满足a0,所以所以a=-2符合条件符合条件;当当0a1时时,在区间在区间0,a上函数值上函数值y随自变量随自变量x的增大而增大的增大而增大,在区在区间间a,1上函数值上函数值y随自变量随自变量x的增大而减小的增大而减小,则函数在则函数在x=a处取得最大值处取得最大值,即即ymax=a2-a+1=3,解得解得a=2或或a=-1,又又0a1时时,在区间在区间0,1上函数值上函数值y随自变量随自变量x的增大而增大的增大而增大,在区间在区间1,t上函数值上函数值y随自变量随自变量x的增大而减小的增大而减小,函数在函数在x=1处取得最大值处取得最大值,即即ymax=-1+2=1.第四十一页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。第四十二页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。1.一元二次函数一元二次函数y=-x2+bx+3在区间在区间(-,2上单调递增上单调递增,则实数则实数b的取的取值范围是值范围是()A.b|b4B.4C.b|b4D.-4答案答案:A 第四十三页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。2.已知一元二次函数已知一元二次函数y=-x2+2x+4,则函数则函数()A.图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线x=1,最大值为最大值为3B.图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线x=-1,最大值为最大值为5C.图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线x=1,最大值为最大值为5D.图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线x=-1,最小值为最小值为3解析解析:由由y=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,知其图象的对称轴为直线知其图象的对称轴为直线x=1,最大最大值为值为5.答案答案:C第四十四页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。3.若函数若函数y=(a-1)x2+2x+5的图象恒在的图象恒在x轴的上方轴的上方,则实数则实数a的取值的取值范围是范围是()解析解析:当当a-1=0时时,函数解析式为函数解析式为y=2x+5,此时函数图象为一条此时函数图象为一条直线直线,不是恒在不是恒在x轴的上方轴的上方,故故a1;答案答案:A 第四十五页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。4.函数函数y=-2x2+x随自变量随自变量x的增大而增大的区间是的增大而增大的区间是.第四十六页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。5.求一元二次函数求一元二次函数y=x2-2ax+2在区间在区间2,4上的最小值上的最小值.解解:由题意由题意,函数解析式可化为函数解析式可化为y=(x-a)2+2-a2,可得该函数的图象可得该函数的图象的对称轴为直线的对称轴为直线x=a.当当a4时时,函数在区间函数在区间2,4上单调递减上单调递减,所以函数在所以函数在x=4处取得最处取得最小值小值,即即ymin=18-8a;当当a2时时,函数在区间函数在区间2,4上单调递增上单调递增,所以函数在所以函数在x=2处取得处取得最小值最小值,即即ymin=6-4a;当当2a4时时,函数在区间函数在区间2,a上单调递减上单调递减,在区间在区间a,4上单调递增上单调递增,所以函数在所以函数在x=a处取得最小值处取得最小值,即即ymin=-a2+2.第四十七页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。第四十八页，编辑于星期五：二十三点 四十六分。
