高中数学必修五2.1《数列的概念与简单表示法》-(1).ppt
1第一页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。64个格子个格子1223344551667788你想得到什么样的赏赐？陛下，赏小人一些麦粒就可以。OK请在第一个格子放1颗麦粒请在第二个格子放2颗麦粒请在第三个格子放4颗麦粒请在第四个格子放8颗麦粒 依次类推2第二页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。456781567812334264个格子你认为国王你认为国王有能力满足有能力满足上述要求吗上述要求吗每个格子里的麦粒数都是每个格子里的麦粒数都是前 一个格子里麦粒数的一个格子里麦粒数的2倍且共有且共有64格子格子2213263220212?3第三页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。三角形三角形数数1, 3, 6, 10, . 正方形数正方形数1, 4, 9, 16, 传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：提问：这些数有什么规律吗？提问：这些数有什么规律吗？4第四页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。v上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：633222221，4131211354321，请观察v1，2，3，4的倒数排列成的一列数：的倒数排列成的一列数：v高一（高一（4）班每次考试的名次由小到大排成的一列数：）班每次考试的名次由小到大排成的一列数：v-1的的1次幂，次幂，2次幂，次幂，3次幂，次幂，排列成一列数：排列成一列数：1111，1111v无穷多个无穷多个1排列成的一列数：排列成的一列数：三角形数：三角形数：1，3，6，10，正方形数：正方形数：1，4，9，16，5第五页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。633222221，354321，1111，1111共同特点：共同特点：1. 都是一列数；都是一列数；2. 都有一定的顺序都有一定的顺序，4 41 1 ，3 31 1 ，2 21 1 1 1，1，3，6，10，1，4，9，16，6第六页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。定义：按一定顺序排列着的一列数称为定义：按一定顺序排列着的一列数称为问问1：数列数列 ，2 ， 改为改为13 ， ，35 , 2 ， ， ，3531请问：是不是同一数列？请问：是不是同一数列？问问2:数列数列改为：改为：-1，1，-1，11，-1，1，-1，请问：是不是同一数列？请问：是不是同一数列？(数列具有数列具有有序性有序性)7第七页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。1 12 23 34 45 5，1111354321，4131211633222221，1111，数列中的每一个数叫做数列中的每一个数叫做这个数列的这个数列的项项。各项依次叫做这个数列的各项依次叫做这个数列的第第1项项，第第2项项，第第n项项， 数列的分类数列的分类(1)按按项数项数分：分：项数有限的数列叫项数有限的数列叫有穷数列有穷数列项数无限的数列叫项数无限的数列叫无穷数列无穷数列(2)按按项之间的大小项之间的大小关系：关系：递增数列，递增数列，递减数列，递减数列，摆动数列摆动数列，常数列。常数列。有穷数列有穷数列无穷数列无穷数列有穷数列有穷数列无穷数列无穷数列无穷数列无穷数列递增数列递增数列递增数列递增数列递减数列递减数列摆动数列摆动数列常数列常数列8第八页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。1 12 23 34 45 5 数列的一般形式数列的一般形式可以可以 写成：写成：简记为简记为 ,其中其中，naaaa321是数是数 nana第第1项项第第2项项第第3项项第第n项项 的第的第n项项与项数之间的关系可以用一个与项数之间的关系可以用一个公式来表示，公式来表示，1111-12,22,12n632,2131n1,23n,3511-n)1- (,11,1,1a2a3ana na列的第列的第n项。项。02121112 n )64,(* nNnn1n)35,(* nNn 那么这个公那么这个公式就叫做这个数列的式就叫做这个数列的通项公式通项公式。如果数列如果数列na 12 nna n1na nna n)1(-=1na)(*Nn )(*Nn )(*Nn 9第九页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。三三.数列的数列的表示方法表示方法第第n项项数列的一般形式数列的一般形式： 或简记为或简记为 .,321naaaa na 与与 的的区别是什么？区别是什么？ nana 表示数列表示数列 ，而而 只表示这个数列的第只表示这个数列的第n项项. na,321naaaana第第1项项(或首项或首项)序序号号1.列举法列举法10第十页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。2序号序号n 1 2 3 4 20 223242202 项项na2nna数列的数列的通项公式通项公式. nana数列数列 的第的第n项项 与与 n 之间的关系之间的关系 (公式公式) 数列可以看作是一个定义域为正整数集数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集（或它的有限子集1，2，n）的函数，那么数列的通项公式也就是相应函数的解）的函数，那么数列的通项公式也就是相应函数的解析式析式.1a2a3a2.通项公式法通项公式法11第十一页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。 1 2 3 4 5 6 710 9 8 7 6 5 4 3 2 1yx*2,20nnanN n特点：特点：它们都是一群孤立的点它们都是一群孤立的点. 1 2 3 4 5 6 710 9 8 7 6 5 4 3 2 1yx7,3*nNnnan且3.图象法图象法12第十二页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。（1）（2）1nnannann1 na 例例1 根据下面数列根据下面数列 的的通项公式，写出它的前通项公式，写出它的前5项：项：解：解：（1）在通项公式中依次取 n =1，2， 3，4，5，得到数列 的前5项为 na.65,54,43,32,21 （2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，那么数列 的前5项为 na1，2， 3，4， 5.13第十三页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。 例例2 写出数列的一个通项公式，写出数列的一个通项公式，使它的前使它的前4项分别是下列各数：项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；解：此数列的前四项解：此数列的前四项1，3，5，7都是都是序号的序号的2倍减去倍减去1，所以通项公式是：，所以通项公式是：12nan14第十四页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。（2）;515,414,313,2122222 解：解：此数列的前四项的分母都是此数列的前四项的分母都是序号加序号加1，分子都是分母的平方减去，分子都是分母的平方减去1，所以通项公式是：所以通项公式是：121112nnnnnan15第十五页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。（3）.541,431,321,211 解：解：此数列的前此数列的前4项的绝对值都等于项的绝对值都等于序号与序号加上序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是：为负，偶数项为正，所以通项公式是：11nnann16第十六页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。观察下面数列的特点，用适当的数填空，并观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：写出每个数列的一个通项公式：128), ( ,32,16), ( ,4,2)1(49), ( ,25,16,9,4), )(2() ( ,61,51- ,41), ( ,211,-)3(7), ( ,5, 2), ( , 2, 1 )4(86413631-71-3617第十七页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。数列的通项公式唯一吗？是否每个数数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？列都有通项公式？基础知识梳理基础知识梳理18第十八页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。122.544.534567a1a2a3a4a512345xynan通项公式：通项公式：数列数列an的第的第n项项an与与n的关系式的关系式数列是一种特殊函数！数列是一种特殊函数！定义域是N*(或它的有限子集)19第十九页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。（1）数列）数列an中是一列数，而集合中的元素不中是一列数，而集合中的元素不一定是数；一定是数；（2） 数列数列an中的数是有一定次序的，而集合中中的数是有一定次序的，而集合中的元素没有次序；的元素没有次序；（3） 数列数列an中的数可以重复，而集合中的元中的数可以重复，而集合中的元素不能重复。素不能重复。思考：数列与集合的概念有何区别20第二十页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。问题问题：如果一个数列如果一个数列an的首项的首项a1=1，从第二项，从第二项起每一项等于它的前一项的起每一项等于它的前一项的2倍再加倍再加1， 即即 an = 2 an-1 + 1（nN，n1），（），（）你能写出这个数列的前三项吗？你能写出这个数列的前三项吗？像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，其像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，其中中an=2an-1+1(n1)称为称为递推公式递推公式。递推公式也。递推公式也是数列的一种表示方法。是数列的一种表示方法。21第二十一页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。定义定义 已知数列已知数列an的第一项的第一项(或前几项或前几项)，且任一项且任一项an与它的前一项与它的前一项an1(或前几或前几项项)间的关系可以用一个公式来表示，间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式.22第二十二页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。递推公式是数列所特有的表示递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者推关系，一是初始条件，二者缺一不可缺一不可 23第二十三页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。例例1.已知数列已知数列an的第一项是的第一项是1，以后，以后的各项由公式的各项由公式讲解范例讲解范例:111 nnaa写出这个数列的前五项写出这个数列的前五项.给出，给出，24第二十四页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。例例1.已知数列已知数列an的第一项是的第一项是1，以后，以后的各项由公式的各项由公式讲解范例讲解范例:111 nnaa写出这个数列的前五项写出这个数列的前五项.给出，给出，.58,35,23, 2, 125第二十五页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。小结：小结：则则项项之之和和为为的的前前若若记记数数列列, nnSna 1)( 2)( 11nSnSSannn26第二十六页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。课堂小结课堂小结1. 递推公式递推公式的概念；的概念；27第二十七页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。课堂小结课堂小结1. 递推公式递推公式的概念；的概念；2. 递推公式递推公式与数列的与数列的通项公式通项公式的区别是：的区别是：28第二十八页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。课堂小结课堂小结1. 递推公式递推公式的概念；的概念；2. 递推公式递推公式与数列的与数列的通项公式通项公式的区别是：的区别是：(1)通项公式通项公式反映的是反映的是项与项数之间的关系项与项数之间的关系， 而而递推公式递推公式反映的是反映的是相邻两项相邻两项(或或n项项)之之 间的关系间的关系.29第二十九页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。课堂小结课堂小结1. 递推公式递推公式的概念；的概念；2. 递推公式递推公式与数列的与数列的通项公式通项公式的区别是：的区别是：(1)通项公式通项公式反映的是反映的是项与项数之间的关系项与项数之间的关系， 而而递推公式递推公式反映的是反映的是相邻两项相邻两项(或或n项项)之之 间的关系间的关系.(2)对于对于通项公式通项公式，只要将公式中的，只要将公式中的n依次取依次取1, 2, 3, 4,即可得到相应的项，而即可得到相应的项，而递推公式递推公式 则要已知首项则要已知首项(或前或前n项项)，才可依次求出其，才可依次求出其 他项他项.30第三十页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。课堂小结课堂小结1. 递推公式递推公式的概念；的概念；2. 递推公式递推公式与数列的与数列的通项公式通项公式的区别是：的区别是：(1)通项公式通项公式反映的是反映的是项与项数之间的关系项与项数之间的关系， 而而递推公式递推公式反映的是反映的是相邻两项相邻两项(或或n项项)之之 间的关系间的关系.(2)对于对于通项公式通项公式，只要将公式中的，只要将公式中的n依次取依次取1, 2, 3, 4,即可得到相应的项，而即可得到相应的项，而递推公式递推公式 则要已知首项则要已知首项(或前或前n项项)，才可依次求出其，才可依次求出其 他项他项.3. 用用递推公式递推公式求通项公式的方法：求通项公式的方法： 观察法、累加法、迭乘法观察法、累加法、迭乘法.31第三十一页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。思考题：思考题： 1、 写出下列数列的一个通项公式：写出下列数列的一个通项公式： （1）1，1，1，1； （2）2，0，2，0； （3）9，99，999，9999； （4）0.9，0.99，0.999，0.9999。答案： （1） （2） （3） （4）nnnnnnnnaaaa1011101111132第三十二页，编辑于星期五：二十一点 三十七分。
