高中数学知识点总结 第六章不等式.doc
高中数学知识点总结 第六章不等式高中数学知识点总结 第六章不等式高中数学第六章-不等式考试内容：不等式不等式的基本性质不等式的证明不等式的解法含绝对值的不等式考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式（4）掌握简单不等式的解法（5）理解不等式a-ba+ba+b06.不等式知识要点1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）abba（对称性）（2）ab,bcac（传递性）（3）abacbc（加法单调性）（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（异向不等式相减）（6）a.b,c0acbc（7）ab,c0acbc（乘法单调性）（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）(9)ab0,0cdabcd（异向不等式相除）(10)ab,ab011（倒数关系）ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法则）（12）ab0nanb(nZ,且n1)（开方法则）3.几个重要不等式（1）若aR,则|a|0,a20（2）若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么abab.（当仅当a=b时取等号）2极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：1如果P是定值,那么当x=y时，S的值最小；2如果S是定值,那么当x=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.(4)若a、b、cR,则abc3abc（当仅当a=b=c时取等号）ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）ab(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa（7）若a、bR,则|a|b|ab|a|b|4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么211abababa2b2（当仅当.22a=b时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b为正数）：2222abababab22特别地，ab(（当a=b时，()ab）2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)3322.an幂平均不等式：a12a221(a1a2.an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).1111111常用不等式的放缩法：2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1nn1n1nn112n1nn1nn1(n1)（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,anR,b1,b2,b3,bnR;则（a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有f(x1x2f(x1)f(x2)或22f(x1x2f(x1)f(x2).22则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例一元一次不等式ax>b解的讨论；2一元二次不等式ax+bx+c>0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解1f(x)g(x)g(x)0定义域f(x)g(x)f(x)02f(x)0f(x)03f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)g(x)f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)g(x)（4）.指数不等式：转化为代数不等式af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb（5）对数不等式：转化为代数不等式f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)（6）含绝对值不等式1应用分类讨论思想去绝对值；2应用数形思想；3应用化归思想等价转化g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)注：常用不等式的解法举例（x为正数）：x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)123423yx(1x)y()y2232792类似于ysinxcosxsinx(1sinx)，|x1|x|1|(x与1同号，故取等)222xxx扩展阅读：高中数学知识点总结_第六章不等式1高中数学第六章-不等式考试内容：不等式不等式的基本性质不等式的证明不等式的解法含绝对值的不等式考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式（4）掌握简单不等式的解法（5）理解不等式a-ba+ba+b06.不等式知识要点1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）abba（对称性）（2）ab,bcac（传递性）（3）abacbc（加法单调性）（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（异向不等式相减）（6）a.b,c0acbc（7）ab,c0acbc（乘法单调性）（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）(9)ab0,0cdabcd（异向不等式相除）(10)ab,ab011（倒数关系）ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法则）（12）ab0nanb(nZ,且n1)（开方法则）3.几个重要不等式（1）若aR,则|a|0,a20（2）若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么abab.（当仅当a=b时取等号）2极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：1如果P是定值,那么当x=y时，S的值最小；2如果S是定值,那么当x=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.(4)若a、b、cR,则abc3abc（当仅当a=b=c时取等号）ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）ab(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa（7）若a、bR,则|a|b|ab|a|b|4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么211abababa2b2（当仅当.22a=b时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b为正数）：2222abababab22特别地，ab(（当a=b时，()ab）2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)3322.an幂平均不等式：a12a221(a1a2.an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).1111111常用不等式的放缩法：2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1nn1n1nn112n1nn1nn1(n1)（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,anR,b1,b2,b3,bnR;则（a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有f(x1x2f(x1)f(x2)或22f(x1x2f(x1)f(x2).22则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例一元一次不等式ax>b解的讨论；2一元二次不等式ax+bx+c>0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解1f(x)g(x)g(x)0定义域f(x)g(x)f(x)02f(x)0f(x)03f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)g(x)f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)g(x)（4）.指数不等式：转化为代数不等式af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb（5）对数不等式：转化为代数不等式f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)（6）含绝对值不等式1应用分类讨论思想去绝对值；2应用数形思想；3应用化归思想等价转化g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)注：常用不等式的解法举例（x为正数）：x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)123423yx(1x)y()y2232792类似于ysinxcosxsinx(1sinx)，|x1|x|1|(x与1同号，故取等)222xxx第 6 页 共 6 页
