高二数学圆锥曲线：抛物线知识点整理和总结.doc

高二数学圆锥曲线：抛物线知识点整理和总结高二数学圆锥曲线：抛物线知识点整理和总结专题九抛物线一.基本概念1.抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。2.抛物线的标准方程、图象及几何性质：p0标准方程l焦点在x轴上，开口向右y2焦点在x轴上，开口向左y2px2焦点在y轴上，开口向上x2焦点在y轴上，开口向下x22px2py2pyyPxOFPylxFOlyPFOy轴lyOFx图形xPO(0,0)顶点对称轴焦点离心率准线二例题分析【例1】（河西区2022高考一模）已知双曲xa22x轴F(p2,0)F(p2,0)F(0,p2)F(0,p2)e1xp2xp2yp2yp2yb221a0,b0的一个顶点与抛物线y20x的焦点重合，该双曲线的离心率为252，则该双曲线的渐近线斜率为（）A2B43C12D34【例2】（南开区2022年高三一模）若抛物线y2px的焦点与双曲线焦重合，则p的值为（）A3B-3C6D-62x26y231的左【变式1】（河北区2022年高三三模）已知抛物线y245x的焦点和双曲线xa22yb221(a0,b0)的一个焦点重合，且双曲线的离心率e52，则双曲线的方程为（）A【变式2】（2022年第三次六校联考）.已知双曲线xa22x216y291Bx29y2161Cx2y241Dx24y291yb221的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y28x的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为-【例3】.（2022年天津一中高三第五次月考）已知抛物线y22pxp0的焦点F为双xa22曲线yb221a0,b0的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰好过点F，则该双曲线的离心率为（）A2B【例4】（2022年天津文）已知双曲线xa2221C3D31yb221(a0,b0)的左顶点与抛物线y2px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点2坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（）A23B25C43D45【例5】（2022年天津文）已知双曲线xa22yb221(a0,b0)的一条渐近线方程是y3x，它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同。则双曲线的方程为。【变式1】（2022年天津理）已知双曲线xa22yb221(a0,b0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为（）（Ax236y21081（Bx29y2271（C）x2108y2361（D）x227y291【变式2】（2022陕西理）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是。【例6】（2022年福建）已知双曲线x24yb221的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为_.【变式1】（2022年安徽）过抛物线y4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若AF3，则三角形AOB的面积为_.【例7】（2022辽宁理）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AFBF=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A34B1C54D74【变式1】（2022年天津理）已知抛物线的参数方程为x2pty2pt2（t为参数，p>0）,焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=_.【变式2】（2022山东文）设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（）A(0，2)【变式3】（2022年四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M2,y0，若点M到抛物线焦点距离为3，则OM长度_.B0，2C(2，+)D2，+)扩展阅读：抛物线题及知识点总结一、抛物线的定义及其应用例1设P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值例2、(2022山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2)B0,2C(2，)D2，)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、2B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AKl，垂足为K，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则AKF的面积是()A4B33C43D8悟一法1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有p，可利用题中已知条件确定p的值注意到抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征例4过抛物线y22px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3则此抛物线的方程为()39Ay2xBy29xCy2xDy23x22三、抛物线的综合问题例5(2022江西高考)已知过抛物线y22px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上，M点到抛物线C的焦点F的1距离为2，直线l：yxb与抛物线C交于A，B两点2(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程练习题1已知抛物线x2ay的焦点恰好为双曲线y2x22的上焦点，则a等于()A1B4C8D162抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A1716157BC.16162D.15163(2022辽宁高考)已知F是物线yx的焦点，A，B是该物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()3A.425B1C.47D.44已知抛物线y2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A相离B相交C相切D不确定5(2022宜宾检测)已知F为抛物线y28x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于()A42A、B两点，则|FA|FB|的值等于D16B8C826在y2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A(2,1)C(2,1)B(1,2)D(1,2)7设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为3，那么|PF|()A43B8C83D168(2022陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28xBy28xCy24xDy24x9(2022永州模拟)以抛物线x216y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为_10已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为_11已知抛物线y4x与直线2xy40相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FA|FB|_.212过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，那么|AB|等于_13根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)过点P(2，4)14已知点A(1,0)，B(1，1)，抛物线C：y24x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OM与OP的夹角为，求POM的面积4一、抛物线的定义及其应用例1设P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值自主解答(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1.由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为5.(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为4.例2、(2022山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2)B0,2C(2，)D2，)解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p4，根据已知只要|FM|>4即可根据抛物线定|FM|y02由y02>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y22px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AKl，垂足为K，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则AKF的面积是()A4B33C43D8设点A(x1，y1)，其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有|BF|BB1|；又|CB|2|FB|，因此有|CB|2|BB1|，cosCBB1CBB1.即直线AB与x轴的夹角为.335|BB1|1，|BC|p又|AF|AK|x14，因此y14sin23，2311因此AKF的面积等于|AK|y142343.22悟一法1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有p，可利用题中已知条件确定p的值注意到抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征例4过抛物线y22px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3则此抛物线的方程为()3Ay2xBy29x29Cy2xDy23x2解析：分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|2|BF|得|BC|2|BB1|，BCB130°，又|AA1|AF|3，|AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633，F为线段AC的中点故13点F到准线的距离为p|AA1|，故抛物线的方程为y23x.22三、抛物线的综合问题例5(2022江西高考)已知过抛物线y22px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由p4,4x25pxp20可简化为x25x40，从而x11，x24，y122，y242，从而A(1，22)，B(4,42)；设OC(x，y)(1，2332)(4,42)(41,4222)又y22(21)28(41)38x3，即2即(21)241.解得0，或2.例6、(2022湖南高考)(13分)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l与轨迹C相交于点D，E，求ADEB的最小值2妙解(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有x12y2|x|1.化简得y22x2|x|.当x0时，y24x；当x例7已知点M(1，y)在抛物线C：y22px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的1距离为2，直线l：yxb与抛物线C交于A，B两点2(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程解：(1)抛物线y22px(p>0)的准线为x，由抛物线定义和已知条件可知2|MF|1()12，解得p2,故所求抛物线C的方程为y4x.22ppp2y1xb，2(2)联立y4x2消去x并化简整理得y8y8b0.2依题意应有6432b>0，解得b>2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y28，y1y28b，设圆心Q(x0，y0)，则应用x0x1x22，y0y1y224.因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r|y0|4.又|AB|5x1x222y1y2214y1y22y1y24y1y256432b6432b所以|AB|2r588，解得b.548，5所以x1x22b2y12b2y24b16则圆心Q的坐标为(2424，4)故所求圆的方程为(x)2(y4)216.551已知抛物线x2ay的焦点恰好为双曲线y2x22的上焦点，则a等于()A1B4C8D16解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的上焦点为(0,2)，4依题意则有2解得a8.4aa2抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A1716157BC.1616D.1516y12解析：抛物线方程可化为x，其准线方程为y.设M(x0，y0)，则由416115抛物线的定义，可知y01y0.16163(2022辽宁高考)已知F是物线y2x的焦点，A，B是该物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()3A.45B1C.47D.4解析：根据物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：11315(|AF|BF|).242444已知抛物线y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A相离B相交C相切D不确定解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，则|AA1|AF|，|BB1|BF|，于是M到l的距离d(|AA1|BB1|)11(|AF|BF|)|AB|半径，故相切225(2022宜宾检测)已知F为抛物线y8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于()A42B8C82D16212A、B两点，则|FA|FB|的值等于yx2，解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为yx2由2y8x，消去y得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|FB|(x12)(x22)|x1x2|(x1x2)4x1x21441682.6在y2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点2P的坐标是()A(2,1)C(2,1)B(1,2)D(1,2)2解析：如图所示，直线l为抛物线y2x的准线，F为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D.答案：B7设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为3，那么|PF|()A43B8C83D168(2022陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28xBy28xCy24xDy24x解析：由准线方程x2，可知抛物线为焦点在x轴正半轴上的标准方程，同时得p4，所以标准方程为y22px8x9(2022永州模拟)以抛物线x216y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为_解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y4，则圆心为(0,4)，半径r8.所以，圆的方程为x2(y4)264.10已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为_解析：设抛物线方程为x2ay(a0)，则准线为y.Q(3，m)在抛4物线上，9am.而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，aa99a|m()|5.将m代入，得|5，解得，a±2，或a±18，4aa4所求抛物线的方程为x±2y，或x±18y.11已知抛物线y24x与直线2xy40相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FA|FB|_.22y24x解析：由2xy40，消去y，得x25x40(*)，方程(*)的两根为A、B两点的横坐标，故x1x25，因为抛物线y24x的焦点为F(1,0)，所以|FA|FB|(x11)(x21)712过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，那么|AB|等于_解析：因线段AB过焦点F，则|AB|AF|BF|.又由抛物线的定义知|AF|x11，|BF|x21，故|AB|x1x228.13根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y144的左顶点；(2)过点P(2，4)解：双曲线方程化为1，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为9162x2y2py22px(p>0)，则3，p6，抛物线方程为y212x.2(2)由于P(2，4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2mx或x2ny，代入P点坐标求得m8，n1，所求抛物线方程为y28x或x2y.14已知点A(1,0)，B(1，1)，抛物线C：y24x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OM与OP的夹角为，求POM的面积4解：设点M(，y1)，P(，y2)，44P，M，A三点共线，kAMkPM，即y21y22y1y2141y1y2y11，y1y24.22，即2y1y2y14y1y244444y2y212OMOPy1y25.向量OM与OP的夹角为，15|OM|OP|cos5.SPOM|OM|OP|sin.4242第 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