(2013春季发行)高三数学第一轮总复习-2-8函数与方程、函数模型及其应用-新人教A版范文(共18页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上2-8函数与方程、函数模型及其应用基础巩固强化1.(2011·北京东城一模)已知函数f(x)()xx，在下列区间中，含有函数f(x)零点的是()A(0，)B(，)C(，1) D(1,2)答案B解析f(0)1>0，f()()()>0，f()()()<0，f()·f()<0，且函数f(x)的图象为连续曲线，函数f(x)在(，)内有零点点评一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到2(文)(2011·杭州模拟)函数f(x)|x2|lnx在定义域内零点的个数为()A0B1C2D3答案C解析在同一坐标系内作出函数y|x2|与ylnx的图象，lne1，e<3，由图象可见两函数图象有两个交点，函数f(x)有两个零点(理)(2011·陕西)函数f(x)cosx在0，)内()A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点答案B解析在同一直角坐标系中分别作出函数y和ycosx的图象，如图，由于x>1时，y>1，ycosx1，所以两图象只有一个交点，即方程cosx0在0，)内只有一个根，所以f(x)cosx在0，)内只有一个零点，所以选B.3(文)函数f(x)xsinx在区间0,2上的零点个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析在同一坐标系中作出函数yx与ysinx的图象，易知两函数图象在0,2内有两个交点(理)(2011·深圳一检)已知函数f(x)x2x，g(x)xlnx，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()Ax1<x2<x3 Bx2<x1<x3Cx1<x3<x2 Dx3<x2<x1答案A解析令f(x)x2x0，因为2x恒大于零，所以要使得x2x0，x必须小于零，即x1小于零；令g(x)xlnx0，要使得lnx有意义，则x必须大于零，又xlnx0，所以lnx<0，解得0<x<1，即0<x2<1；令h(x)x10，得x1>1，即x3>1，从而可知x1<x2<x3.4(2012·河南六市模拟)若定义在R上的函数yf(x)满足f(x1)f(x)，且当x1,1时，f(x)x2，函数g(x)，则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内的零点的个数为()A9B8C7D6答案B解析f(x1)f(x)，f(x2)f(x)，又x1，1时，f(x)x2，f(x)的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g(x)的图象，可见yf(x)(5x5)与y2x(x1)有5个交点，yf(x)(5x5)与ylog3(x1)(x>1)的图象有3个交点，共有8个交点5(2012·新疆维吾尔自治区检测)在以下区间中，函数f(x)x34x2x4不存在零点的区间是()A0,1 B1,2C2,3 D3,4答案C解析f(0)4，f(1)0，f(3)8<0，f(4)0，f(2)6，由于在区间0,1，1,2，3,4内都存在零点，故选C.点评注意，不能由f(2)6<0，f(3)8<0，做出判断f(x)在区间2,3内无零点6.如图，A、B、C、D是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，A、B、C、D四个采矿点的采矿量之比为6234，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比现从P、Q、R、S中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选()AP点BQ点CR点DS点答案B解析设图中每个小正方形的边长均为1，A、B、C、D四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a(a>0)，设si(i1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时si(i1,2,3,4)的大小如果选在P点，s16a2a×23a×34a×435a，如果选在Q点，s26a×22a3a×24a×332a，如果选在R处，s36a×32a×23a4a×233a，如果选在S处，s46a×42a×33a×24a40a，显然，中转站选在Q点时，中转费用最少7(2012·江苏)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_答案9解析本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等知识f(x)x2axb(x)2b的最小值为b，b0，即b，f(x)(x)2.f(x)<c，即x2axb<c，则(x)2<c，c>0且<x<，()()6，26，c9.8有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_(围墙的厚度不计)答案2500m2解析设所围场地的长为x，则宽为，其中0<x<200，场地的面积为x×22500m2，等号当且仅当x100时成立9某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d(km)(d<200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d达到n(km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高(经济效益市场销售价值生产成本运输成本)，则n的值为_.作物项目水果蔬菜稻米甘蔗市场价格(元/kg)8321生产成本(元/kg)3210.4运输成本(元/kg·km)0.060.020.010.01单位面积相对产量(kg)10154030答案50解析设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y1、y2、y3、y4，则y1500.6d，y2150.3d，y3400.4d，y4180.3d，由50d<200，故n50.10当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小请根据以下数据：当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12km；当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑1516km；一辆出租车日平均行程为200km.(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱解析(1)设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为P元，由题意可知，W×2.8(t0且tN)，×3P×3(t0且tN)，即37.5tP40t.又>40t，即W>P，所以使用液化气比使用汽油省钱(2)设37.5t5000，解得t545.5，又t0，tN，t546.设40t5000，解得t750.所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t546,750时，省出的钱等于改装设备的钱.能力拓展提升11.(文)(2012·天津理)函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是()A0B1C2D3答案B解析本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力f(x)2xx32,0<x<1，f (x)2xln23x2>0在(0,1)上恒成立，f(x)在(0,1)上单调递增又f(0)20021<0，f(1)2121>0，f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，又函数yf(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点点评有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数(理)(2011·舟山月考)函数f(x)的零点个数是()A0B1C2D3答案D解析令x(x1)0得x0或1，满足x0；当x>0时，lnx与2x6都是增函数，f(x)lnx2x6(x>0)为增函数，f(1)4<0，f(3)ln3>0，f(x)在(0，)上有且仅有一个零点，故f(x)共有3个零点12某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()Ay100x By50x250x100Cy50×2x Dy100log2x100答案C解析观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.点评也可以将x1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大13某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()Af(x) Bf(x)Cf(x) Df(x)lgsinx答案C解析根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点经验证：f(x)不存在零点；f(x)不存在零点；f(x)的定义域为全体实数，且f(x)f(x)，故此函数为奇函数，且令f(x)0，得x0，函数f(x)存在零点；f(x)lgsinx不具有奇偶性14(文)(2011·山东济宁一模)已知a是函数f(x)2xlogx的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足()Af(x0)0 Bf(x0)<0Cf(x0)>0 Df(x0)的符号不确定答案B解析分别作出y2x与ylogx的图象如图，当0<x0<a时，y2x的图象在ylogx图象的下方，所以，f(x0)<0.(理)已知函数f(x)，把函数g(x)f(x)x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为()Aan(nN*)Bann(n1)(nN*)Cann1(nN*)Dan2n2(nN*)答案C解析当x0时，f(x)2x1；当0<x1时，f(x)f(x1)12x1112x1；当1<x2时，f(x)f(x1)1f(x2)22x2122x21；当x0时，g(x)的零点为x0；当0<x1时，g(x)的零点为x1；当1<x2时，g(x)的零点为x2；当n1<xn(nN*)时，g(x)的零点为n，故a10，a21，a32，ann1.15(文)某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400kg，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400kg不需要保管)(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少，并求出这个最小值解析(1)每次购买原材料后，当天用掉的400kg原材料不需要保管，第二天用掉的400kg原材料需保管1天，第三天用掉的400kg原材料需保管2天，第四天用掉的400kg原材料需保管3天，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400kg原材料需保管x1天每次购买的原材料在x天内的保管费用为y1400×0.03123(x1)6x26x.(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x26x6001.5×400x6x2594x600(元)，购买一次原材料平均每天支付的总费用为y6x5942594714.当且仅当6x，即x10时，取得等号该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元(理)(2011·日照模拟)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x(元)与年产量t(t)满足函数关系x2000，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s元(以下称s为赔付价格)(1)将工厂的年利润w(元)表示为年产量t(t)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y0.002t2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s是多少？解析(1)工厂的实际年利润为：w2000st(t0)w2000sts()2，当t()2时，w取得最大值所以工厂取得最大年利润的年产量t()2(t)(2)设农场净收入为v元，则vst0.002t2.将t()2代入上式，得v.又v，令v0，得s20.当0<s<20时，v>0；当s>20时，v<0.所以当s20时，v取得最大值因此李明向张林要求赔付价格s为20元/吨时，获得最大净收入*16.已知二次函数f(x)ax2bxc.(1)若f(1)0，试判断函数f(x)的零点个数；(2)若对x1、x2R，且x1<x2，f(x1)f(x2)，证明方程f(x)f(x1)f(x2)必有一个实数根属于(x1，x2)；(3)是否存在a、b、cR，使f(x)同时满足以下条件：当x1时，函数f(x)有最小值0；对任意实数x，都有0f(x)x(x1)2.若存在，求出a、b、c的值；若不存在，请说明理由解析(1)因为f(1)0，所以abc0，故bac.因为b24ac(ac)24ac(ac)2.当ac时，0，函数f(x)有一个零点；当ac时，>0，函数f(x)有两个零点(2)令g(x)f(x)f(x1)f(x2)，则g(x1)f(x1)f(x1)f(x2)，g(x2)f(x2)f(x1)f(x2)，因为g(x1)·g(x2)f(x1)f(x2)2<0(f(x1)f(x2)，所以g(x)0在(x1，x2)内必有一个实根即方程f(x)f(x1)f(x2)必有一个实数根属于(x1，x2)(3)假设a、b、c存在，由得1，0，即b2a，b24ac，所以4a24ac，故ac.由知对任意实数x，都有0f(x)x(x1)2.令x1，得0f(1)10，所以f(1)10，即abc1.由解得ac，b.当ac，b时，f(x)x2x(x1)2，其顶点为(1,0)满足条件，又f(x)x(x1)2，所以对任意xR，都有0f(x)x(x1)2，满足条件.所以存在a、b、cR，使f(x)同时满足条件.1(2012·昆明一中检测)已知函数f(x)|lg(x1)|，若ab，且f(a)f(b)，则ab的取值范围是()A4，) B(4，)C2，) D(2，)答案B解析解法1：不妨设a<b，f(x)|lg(x1)|，f(a)f(b)，1<a2，b>2，f(a)lg(a1)，f(b)lg(b1)，lg(a1)lg(b1)，(a1)(b1)1，ab(a1)(b1)2>224.解法2：结合f(x)的图象得lg(b1)lg(a1)，得lg(a1)lg(b1)0，所以(a1)(b1)1，化简得，abab，即1，所以ab()(ab)2224，当ab时取“”，而由已知ab，故选B.2(2011·温州十校模拟)已知函数f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A(0,2) B(0,8)C(2,8) D(，0)答案B解析当m0时，显然不合题意；当m>0时，f(0)1>0，若对称轴0即0<m4，结论显然成立；若对称轴<0，即m>4，只要4(4m)28m4(m8)(m2)<0即可，即4<m<8.综上0<m<8，选B.3(2011·江南十校联考)定义域为D的函数f(x)同时满足条件：常数a，b满足a<b，区间a，bD，使f(x)在a，b上的值域为ka，kb(kN*)，那么我们把f(x)叫做a，b上的“k级矩形”函数函数f(x)x3是a，b上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对(a，b)共有()A1对 B2对C3对 D4对答案C分析由“k级矩形”函数的定义可知，f(x)x3的定义区间为a，b时，值域为a，b，可考虑应用f(x)的单调性解决解析f(x)x3在a，b上单调递增，f(x)的值域为a3，b3又f(x)x3在a，b上为“1级矩形”函数，解得或或，故满足条件的常数对共有3对点评自定义题是近年来备受命题者青睐的题型，它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力，解决这类问题的关键是先仔细审题，弄清“定义”的含义，把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识然后加以解决4(2012·龙岩质检)若偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且在x0,1时，f(x)x2，则关于x的方程f(x)()x在0，上根的个数是()A1B2C3D4答案C解析由题意知f(x)是周期为2的偶函数，故当x1,1时，f(x)x2，画出f(x)的图象，结合y()x的图象可知，方程f(x)()x在x0，时有3个根点评要注意在x(3，时方程无解5已知函数f(x)axxa(a>0，a1)，那么函数f(x)的零点个数是()A0个 B1个C2个 D至少1个答案D解析在同一坐标系中作出函数yax与yxa的图象，a>1时，如图(1)，0<a<1时，如图(2)，故选D.点评解决这类问题的有效方法是数形结合法6设a1,2,3,4，b2,4,8,12，则函数f(x)x3axb在区间1,2上有零点的概率为()A. B.C. D.答案C解析因为f(x)x3axb，所以f (x)3x2a.因为a1,2,3,4，因此f (x)>0，所以函数f(x)在区间1,2上为增函数若存在零点，则解得a1b82a.因此能使函数在区间1,2上有零点的有：a1,2b10，故b2，b4，b8.a2,3b12，故b4，b8，b12.a3,4b14，故b4，b8，b12.a4,5b16，故b8，b12.根据古典概型可得有零点的概率为.7(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)设函数f(x)若方程f(x)m0有且仅有两个实数根，则实数m的取值范围是()A1<m1 B1<m<0或m1C1<m0或m1 D1<m1答案C解析f(x)当x0时，f(x)单调递增，且0<f(x)1，又x>0时，f(x)x33x1，f (x)3x233(x1)(x1)，0<x<1时，f (x)<0，f(x)单调递减，x1时，f (x)>0，f(x)单调递增，f(x)在x1处取得极小值f(1)1，当m1时，直线ym与函数f(x)的图象有两个交点，当1<m0时，直线ym与函数yf(x)的图象有两个交点，故选C.8(2011·龙岩模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a12)、4m，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD.设此矩形花园的面积为Sm2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花园内，则函数uf(a)的图象大致是()答案C解析设BCx，则DC16x，由得ax12，矩形面积Sx(16x)(ax12)，显然当a8时，矩形面积最大值u64，为常数，当a>8时，在xa时，矩形面积取最大值ua(16a)，在a,12上为减函数，故选C.9(2012·湖南文)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，f (x)是f(x)的导函数当x0，时，0<f(x)<1；当x(0，)且x时，(x)f (x)>0.则函数yf(x)sinx在2，2上的零点个数为()A2B4C5D8答案B解析本题考查函数奇偶性，利用导数研究函数单调性，图象交点个数等由x(0，)，x时，(x)f (x)>0知，当x(0，)时，f (x)<0，f(x)单调递减当x(，)时，f (x)>0，f(x)单调递增当x(，0)时，f(x)(0,1)，且f(x)是最小正周期为2的偶函数，则画出函数yf(x)示意图如下：而yf(x)sinx的零点个数，即f(x)sinx的根，即ysinx与yf(x)图象交点个数由图象知有4个交点10已知yx(x1)(x1)的图象如图所示，今考虑f(x)x(x1)(x1)0.01，则方程f(x)0.有三个实根当x<1时，恰有一实根当1<x<0时，恰有一实根当0<x<1时，恰有一实根当x>1时，恰有一实根正确的有_答案解析f(2)5.99<0，f(1)0.01>0，即f(2)·f(1)<0，在(2，1)内有一个实根，结合图象知，方程在(，1)上恰有一个实根所以正确又f(0)0.01>0，结合图象知f(x)0在(1,0)上没有实数根，所以不正确又f(0.5)0.5×(0.5)×1.50.010.365<0，f(1)>0.所以f(x)0在(0.5,1)上必有一实根，在(0，0.5)上也有一个实根f(x)0在(0,1)上有两个实根所以不正确由f(1)>0结合图象知，f(x)0在(1，)上没有实根，不正确，由此可知正确11学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为107，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能最快完成全部任务？分析弄清题意，建立完成全部任务的时间与制课桌或椅子的人数的函数关系，转化为求函数的最值问题解析设x名工人制课桌，(30x)名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需时间为P(x)，制作200把椅子所需时间为Q(x)，完成全部任务所需的时间为P(x)与Q(x)的最大值F(x)为求得F(x)的最小值，需满足P(x)Q(x)，即，解得x12.5，考虑到x表示人数，所以xN*.P(12)>P(13)，Q(12)<Q(13)，故考查P(12)与Q(13)P(12)1.19，Q(13)1.18.即F(12)>F(13)所以用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快专心-专注-专业