2020高考数学（文）（课标II）大一轮复习（PDF版教师用书）：第十五章 极坐标与参数方程.pdf

第十五章极坐标与参数方程真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养 课标，解答题中坐标系、极坐标方程极坐标方程的运算；求极坐标方程定义法数学运算 课标，解答题中参数方程参数方程与普通方程的互化；参数方程的应用定义法；公式法数学运算 课标，解答题中坐标系、极坐标方程极坐标方程与直角坐标方程的互化；极坐标方程的应用定义法；函数法数学运算 课标，解答题中坐标系、极坐标方程；参数方程极坐标方程与直角坐标方程的互化；参数方程与普通方程的互化；极坐标方程的应用定义法；公式法数学运算 课标，解答题中坐标系、极坐标方程；参数方程极坐标方程与直角坐标方程的互化；参数方程与普通方程的互化；极坐标方程的应用定义法数学运算命题规律与趋势考查内容本章为选考内容，考查的重点是参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，主要考查直线、圆、圆锥曲线的参数方程和极坐标方程，还会结合三角函数的最值、点到直线的距离、三角形面积、轨迹方程等进行考查命题特点一是方程的互化；二是极坐标方程与参数方程的简单应用直线和圆、直线与椭圆的位置关系考查较多，重点考查数形结合的思想和转化与化归能力解题方法求解的一般思路为将极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程转化为普通方程，然后再借助平面几何、解析几何的知识与方法去处理有些题目还需借助参数方程中参数的几何意义，利用数形结合的方法来解答题型难度题型均以解答题形式出现，试题难度属于中低档命题趋势从近五年考题分析，本章内容较为稳定考查题型、难度变化不大，但考查方式有些微创新关联考点圆的方程、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系易错警示在用直线的参数方程中 的几何意义解题时，注意参数方程是不是标准方程注意参数的取值范围备考建议平时注意极坐标方程与参数方程基本概念的掌握与应用理解极坐标与参数的几何意义，积累常见的消参方法第十五章 极坐标与参数方程 对应学生用书起始页码 考点一坐标系、极坐标方程高频考点 平面直角坐标系中的伸缩变换设点 （，） 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：（），（）的作用下，点 （，）对应到点 （，），称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换直角坐标与极坐标的互化把平面直角坐标系的原点作为极点， 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设 是平面内的任意一点， 它 的 直 角 坐 标、 极 坐 标 分 别 为 （ ， ） 和 （ ， ），则 ， ， （）简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为 的圆（）圆心为（，），半径为 的圆 ()圆 心 为，()，半径为 的圆 （）过极点，倾斜角为 的直线（）和 （）过点 （ ， ） （ ），与极轴垂直的直线 ()过点，()（），与极轴平行的直线 （）考点二参数方程高频考点 参数方程的有关概念（）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 ， 都是某个变数 的函数：（），（），并且对于 的每个允许值，由方程组所确定的点 （，）都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 ， 的变数 叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程（）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的两种不同形式一般地，可以通过消去参数将参数方程化为普通方程直线、圆和椭圆的普通方程和参数方程普通方程参数方程过 点 （ ，）， 倾斜角为()的直线 （） ， （ 为参数）圆心在原点，半径为 的圆 ， （ 为参数）中心在原点，焦点在 轴上的椭圆（） ， （ 为参数）对应学生用书起始页码 一、与极坐标有关问题的求解方法 求解与极坐标有关的问题，主要有两种方法：一是直接利用极坐标求解，求解时可与数形结合思想结合在一起应用；二是转化为直角坐标后，用直角坐标求解，使用后一种时应注意若结果要求是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标用极坐标求曲线方程的步骤： 年高考年模拟 版（教师用书）建立适当的极坐标系，设 （，） 是曲线上任意一点由已知条件，列出极径 和极角 之间的关系式将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略（ 辽宁沈阳东北育才学校九模）平面直角坐标系 中，曲线 的方程为 ，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ()，射线 的极坐标方程为 （）（）写出曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；（）若射线 平分曲线 ，且与曲线 交于点 ，曲线 上的点 满足，求解析 （）依题意，将 ， 代入曲线 的直角坐标方程得，化简得 曲线 的极坐标方程可化为 ，即 ，将 ， 及 代入，易得曲线 的直角坐标方程为（ ）（）（）曲线 是圆心为（ ，），半径为 的圆，结合题意可知，射线 的极坐标方程为 （），将其代入 中，可得 又， ， （ 吉林大学附中八模）以坐标原点 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为（） （）求曲线 的普通方程；（）若曲线 与 轴的正半轴及 轴的正半轴分别交于点，在曲线 上任取一点 ，且点 在第一象限，求四边形 面积的最大值解析 （）由 （） 得 （） ，将 ， 代入可得 ，即（）解法一：由已知得 （，），（，），设 （，）（，），则 ，于是 四边形 而() ()，当且仅当 时，取“ ” 四边形 ， 四边形 面积的最大值为 解法二：由已知得 （，），（，），易知曲线 的参数方程为 ， （ 为参数），设 （ ， ），则 ， ，所以 四边形 ()（， 当 时，四边形 的面积取最大值 （ 广西南宁二中模拟）在极坐标系中，曲线 ： ()， 为 上的动点， 为极点，连接 ， 在 上，满足 ，点 的轨迹为曲线 （）求 的极坐标方程；（）射线 与 ，分别交于 ， 两点，求解析 （）设 （，），则 （，），因为 为 上的动点，所以， ，化简得到 ，所以，的极坐标方程为 ()（）由， ，得点 的极坐标为 ，()，由， ，得点 的极坐标为 ，()，所以 二、参数方程相关问题的求解方法 参数方程化为普通方程（）将参数方程化为普通方程，常见消参方法有：代入消参法、加减消参法、三角恒等变换法（如 ）等转化时要注意参数的取值对普通方程中 及 的取值范围的影响，要保持同解变形（）把普通方程化为参数方程时，要注意选择合适的参数，一般选用标准参数方程，如直线的参数方程： ， （为参数）运用参数的几何意义解题前，应先确认参数方程是不是标准参数方程，如：，（ 为参数），当 时，应先化为标准形式，然后才能利用 的几何意义解题（ 内 蒙 古 包 头 十 校 联 考 ） 已 知 直 线 ：，（ 为参数），曲线 ： ， （ 为参数）（）设 与 相交于 ， 两点，求；第十五章 极坐标与参数方程 （）若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线 ，设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最小值解析（） 的普通方程为 （），的普通方程为 ，联立得方程组 （），解得，或，所以 与 的交点为 （，），所以 ()（）由题意知 的参数方程为 ， （ 为参数），设点 的坐标是 ， ，从而点 到直线 的距离 ()，因此当 () 时， 取得最小值且最小值为（ ） （ 河北石家庄质检）平面直角坐标系 中，曲线 ：（）直线 经过点 （，），且倾斜角为以 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系（）写出曲线 的极坐标方程与直线 的参数方程；（）若直线 与曲线 相交于 ， 两点，且 ，求实数 的值解析 （）因为 ， ，曲线 ：（），即 ，所以曲线 的极坐标方程为 由题意知直线 的参数方程为，即，（ 为参数）（）设 ， 两点对应的参数分别为 ，将直线 的参数方程代入 中，得 （ ），所以 又 ，即 ，所以 ，解得 或 或 在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ， （为参数），直线 的参数方程为， （ 为参数）以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标方程为，()（）求点 的直角坐标，并求曲线 的普通方程；（）设直线 与曲线 的两个交点为 ，求 的值解析 （）由互化公式知：点 的横坐标 ，点 的纵坐标 ，所以 （， ）消去参数 得曲线 的普通方程为（）点 在直线 上，将直线的参数方程代入曲线 的普通方程得 ，设其两个根为 ， ，则 ，由参数 的几何意义知： （）