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12 工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。 (a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。迎 面风 力侧 面风 力b3第五章第五章 空间力系空间力系 51 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影 52 力对轴的矩力对轴的矩 力对点的矩力对点的矩 合力矩定理合力矩定理 53 空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系的合成与平衡 54 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程 空间约束空间约束 55 空间平行力系的中心空间平行力系的中心 物体的重心物体的重心 习题课习题课 4bgqFxyO力的三要素： 大小、方向、作用点(线)大小：大小：作用点作用点： 在物体的哪点就是哪点方向方向： 由、b、g三个方向角确定 由仰角q 与俯角 来确定。FF 5-1 5-1 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影一、力在空间的表示一、力在空间的表示：51、一次投影法（直接投影法）、一次投影法（直接投影法）由图可知：gb cos, cos, cosFZFYFX二、力在空间坐标轴上的投影二、力在空间坐标轴上的投影6qgcoscoscoscossinFFFXxyqgsincossinsinsinFFFYxyqgsincosFFZ2、二次投影法（间接投影法）、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到xy面上，然后再投影到x、y轴上，即7三、力沿坐标轴分解三、力沿坐标轴分解： 若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则： zyxFFF,zyxFFFF222ZYXFFZFYFXgbcos,cos,coskZFjYFiXFzyx,而：kZjYiXF所以：FxFyFz85-2 5-2 力对轴的矩力对轴的矩 力对点的矩力对点的矩 合力矩定理合力矩定理 一、力对轴的矩的概念与计算一、力对轴的矩的概念与计算9定义：定义：的面积2)()(BOAdFFmFmxyxyOz它是代数量，方向规定 + 力对力对/它的轴的矩为零。即力它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩与轴共面时，力对轴之矩为零。为零。 由于FZ平行于Z轴，所以FZ不可能使门转动。10 力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数量，其大小等于在垂直于转轴的平面内的分量的大小和它与量，其大小等于在垂直于转轴的平面内的分量的大小和它与转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手规则确定。转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手规则确定。11 在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。 例例 汽车反镜的球铰链二、力对点的矩的矢量表示二、力对点的矩的矢量表示面积AOBdFFmO2)(如果r 表示A点的矢径，则：12即：力对点的矩等于矩心到该力力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。作用点的矢径与该力的矢量积。dFFrFrFmFrFmOO),sin()(,)(21 kZjYiXF由于kzj yi xrZYXzyxkjiFrFmO)(kFmjFmiFmkyXxYjxZzXizYyZzOyOxO)()()()()()(两矢量夹角为O13即：)(cos)(FmFmzOg)()(FmFmzzO三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系面积由于AOBFmO2)(证证2)()(BOAFmFmxyzz通过O点作任一轴Z，则：cosBOAOABg由几何关系：2cos2BOAOABg所以：14 定理定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。 )()(cos,)()(cos,)()(cosFmFmFmFmFmFmOzOyOxgb222)()()()(FmFmFmFmzyxOkFmjFmiFmFrFmzOyOxOO)()()()(kFmjFmiFmzyx)()()(又由于所以力对点O的矩为：15 四、合力矩定理合力矩定理 与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为： )()()()()(21iznzzzzFmFmFmFmRm 即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所有各分力对同一轴的矩的代数和。所有各分力对同一轴的矩的代数和。16例例1 已知已知：P=2000N, C点在Oxy平面内。 求：力求：力P对三个坐标轴的矩。 60cos45cos60sin45cos45cos45sinPPPPPPPPyxxyz解：解：17)mN(2 .3860cos45cos560sin45cos60)5(6)()()()(PPPPPmPmPmPmyxzzyzxzz)mN(8 .8445sin6600)()()()(PPPmPmPmPmzzxyxxxx18)mN(7 .7045sin5500)()()()(PPPmPmPmPmzzyyyxyy19 1、几何法、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多 边形方法求合力。 即：合力等于各分力的矢量和inFFFFFR321一、空间汇交力系的合成一、空间汇交力系的合成：5-3 5-3 空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系的合成与平衡 202、解析法、解析法： 由于 代入上式合力由 为合力在x轴的投影， kZjYiXFiiiikZjYiXRiiiiXixXRiyYRizZR213、合力投影定理、合力投影定理： 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。222222)()()(:ZYXRRRRzyx合力RRRRRRzyxgbcos,cos,cos二、空间汇交力系的平衡：二、空间汇交力系的平衡：空间汇交力系平衡的充要条件是：空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，力系的合力为零，即：即：0iFR220X0Y0Z空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程解析法解析法平衡充要条件为：几何法几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭力多边形封闭。说明：说明：空间汇交力系只有空间汇交力系只有 三个独立平衡方程，只能求解三个独立平衡方程，只能求解 三个未知量。三个未知量。 上式中三个投影轴可以任取，只要不共面、其中任上式中三个投影轴可以任取，只要不共面、其中任 何两轴不相互平行。何两轴不相互平行。23 建立空间任意力系平衡方程的方法与平面力系的方法相同，都是采取力系向一点简化的方法。只是对于空间力系推导平衡条件的过程比较复杂。这里只用比较直观的方法得出空间任意力系平衡方程。5-4 5-4 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程 空间约束空间约束nFFFF321, 设作用在刚体上有空间任意力系24 如果该物体平衡，则必须要使该物体不能沿x、y、z三轴移动，也不能绕x、y、z三轴转动。即满足：0)( , 00)( , 00)( , 0FmZFmYFmXzyx空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件是：空间任意力系平衡的充要条件是： 各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三个各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三个轴力矩的代数和都必须分别等于零。轴力矩的代数和都必须分别等于零。 共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数。共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数。25还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。 对于空间汇交力系：（设各力汇交于原点对于空间汇交力系：（设各力汇交于原点）则0)(0)(0)(iziyixFmFmFm成为恒等式成为恒等式故空间汇交力系的平衡方程为：故空间汇交力系的平衡方程为：000ZYX26 对于空间平行于对于空间平行于 z 轴的平行力系：轴的平行力系：则000)(YXFmiz成为恒等式成为恒等式OxyzF1F2F3故空间平行于故空间平行于 z 轴的平行力系的平衡方程为：轴的平行力系的平衡方程为：0)(0)(0FmFmZyixFn271、球形铰链、球形铰链二、空间约束二、空间约束 观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。例例28球形铰链球形铰链292、向心轴承，蝶铰链，滚珠、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱柱)轴承轴承303、滑动轴承、滑动轴承 314、止止推推轴轴承承 325、带有销子的夹板、带有销子的夹板336、空间固定端、空间固定端34例例 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？最好使每一个方程有一个未知数，方便求解。(Q力作用在C轮的最低点）解解：选研究对象 作受力图 选坐标列方程35)N(746,010050;0)N(352,0;0QQPmPYPYYxzyyAyA由36)N(385 , 020sin ; 0)N(2040 , 020sin 50300200 ; 0)N(729 , 020cos ; 0)N(437 , 020cos 5020050300 ; 00000AzBABzBxAxBABByxzZQPZZZZQPZmXQPXXXXQXPPmAA37方法方法(二二) :将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。38 空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此空间平行力系的中心空间平行力系的中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。 5-5 5-5 平行力系的中心平行力系的中心 物体的重心物体的重心一、空间平行力系的中心、物体的重心一、空间平行力系的中心、物体的重心391 1、平行力系的中心、平行力系的中心由合力矩定理可得：RzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC 40 如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。 由合力矩定理： iiCxPxP二、重心坐标公式二、重心坐标公式：41PPzzPPyyPPxxiCiCiC, 物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n )，常用积分法求物体的重心位置。42PdVzzPdVyyPdVxxVCVCVCggg,iiiVPg 设g gi表示第i个小部分每单位体积的重量，Vi第i个小体积，则代入上式并取极限，可得：上式为重心重心C 坐标的精确公式坐标的精确公式。 VdVPg式中，43对于均质物体，g =恒量，上式成为：VdVzzVdVyyVdVxxVCVCVC,同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。44 根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与y轴平行，再应用合力矩定理对x 轴取矩得：PzPzzPPziiCiiC ,综合上述得重心坐标公式重心坐标公式为：PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC ,45若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得质心公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC ,46 同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别为：VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC,:立体AzAzAyAyAxAxiiCiiCiiC,:平板lzlzlylylxlxiiCiiCiiC,:细杆47解解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段qdRdLq cos RxRdRLdLxxLCqq2cos 2sinRxC下面用积分法求物体的重心实例求物体的重心实例：例例 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。O48三、重心的求法三、重心的求法： 组合法cm4 . 6 212211SSySySAyAyiiC由解解：cm248 cm4 21 ,80cm212 221)R(y,y,RSS 求：该组合体的重心？已知：490)(FmB由01CxPlP称PlPxC1称简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。实验法： 悬挂法称重法50 一、概念及内容一、概念及内容： 1、空间力对点之矩是矢量， 2、空间力对轴之矩和平面力偶、平面力对点之矩是代数量。 3、空间力系合力投影定理合力投影定理： 4、空间力系的合力矩定理合力矩定理： iziyixZRYRXR,)()(izzFmRm )()(FmFmzZo 5、空间力对点之矩与对轴之矩的关系空间力对点之矩与对轴之矩的关系：)( Fmo第五章第五章 空间力系空间力系习题课习题课51二、基本方程二、基本方程 1、空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程空间汇交力系空间汇交力系 000ZYX空间任意力系空间任意力系000000zyxmmmZYX空间空间x轴力轴力系系000zymmX5200000zyxmmmYX空间空间xoy 面的面的力力系系四矩式、 五矩式和六矩式的附加条件均为使方程式独立。000000 xzyxmmmmYX四矩式四矩式53 x , y, z (三个取矩轴和三个投影轴可以不重合)可以任选 的六个轴。 取矩方程不能少于三个。 空间力系独立方程六个（空间物体六个自由度） 平面三个自由度 空间力系中也包括摩擦问题。2、空间力系的几个问题、空间力系的几个问题：54选研究对象画受力图选坐标、列方程解方程、求出未知数 三、解题步骤、技巧与注意问题三、解题步骤、技巧与注意问题： 1、解题步骤解题步骤： (与平面的相同) 55 2、解题技巧：解题技巧： 用取矩轴代替投影轴，解题常常方便 投影轴尽量选在与未知力，力矩轴选在与未知力平 行或相交 一般从整体 局部的研究方法。 摩擦力F = N f ，方向与运动趋势方向相反。56 力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现） 空间力偶是矢量，平面力偶是代数量。 求物体重心问题常用组合法。 对于均质物体，重心、中心、形心为同一点。3、注意问题：注意问题：57 例例1 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN; 求：绳BE、BF的拉力和杆AB的内力)kN(546, 045sin15sin, 011TQTY由C点：解：分别研究C点和B点作受力图58由B点：59)kN( 230 , )kN( 419 53 sin ,54434 cos0 sin sin60cos , 0045cos cos45cos cos60sin , 0045cos cos45cos cos , 023222321232132NTTTTTNZTTTYTTXqqqqqqqq由B点：60此题训练：此题训练：力偶不出现在投影式中力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，类似力在投影式中投影力争一个方程求一个支反力例例2 曲杆ABCD, ABC=BCD=900, AB=a, BC=b, CD=c, m2,m3 求：支座反力及m1=?了解空间支座反力61解解：0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00 , 012333221DDxADDAADDAAADzAADyDYcbZmmamZZZZZamYYYYYamYaYmmamZaZmmXX32321)()(macmabamcambcYbZmDD62例例3 已知：AB杆, AD,CB为绳, A、C在同一垂线上，AB重80N，A、B光滑接触，ABC=BCE=600, 且AD水平，AC铅直。求平衡时，TA，TB及支座A、B的反力。解：解：思路：要巧选投影轴和取思路：要巧选投影轴和取矩轴，使一个方程解出一个未矩轴，使一个方程解出一个未知数。知数。630N8 , 0PNZB由02160cos, 0 CEPACTmBDDN)( 1 .23806333260ctg260cos60ctg2160cos PPTACPACTBBCEAC 60cos60ctg又64)N( 5 .1121806360cos060cos , 0BABATTTTX)N( 20238063060sin , 0ABANTNY65