函数与几何综合解答题-2021年中考数学真题分项汇编（原卷版）.pdf

1 / 212 20 02 21 1 年年中中考考数数学学真真题题分分项项汇汇编编【全全国国通通用用】 （第第 0 01 1 期期）专专题题 34 函函数数与与几几何何综综合合问问题题（解解答答题题）一一、解解答答题题1 （2021浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(73,0)，点 B 在直线8:3l yx上，过点B 作 AB 的垂线，过原点 O 作直线 l 的垂线，两垂线相交于点 C（1）如图，点 B，C 分别在第三、二象限内，BC 与 AO 相交于点 D若BABO，求证：CDCO若45CBO，求四边形ABOC的面积（2）是否存在点 B，使得以, ,A B C为顶点的三角形与BCO相似？若存在，求 OB 的长；若不存在，请说明理由2 （2021浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，M经过原点O，分别交x轴、y轴于2,0A，0,8B，连结AB直线CM分别交M于点D，E（点D在左侧） ，交x轴于点17,0C，连结AE（1）求M的半径和直线CM的函数表达式（2）求点D，E的坐标（3）点P在线段AC上，连结PE当AEP与OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长2 / 213（2021黑龙江中考真题） 如图， 一次函数ykxb的图象与y轴的正半轴交于点A， 与反比例函数4yx的图像交于,P D两点以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知BOD的面积与AOB的面积之比为1:4（1）求一次函数ykxb的表达式：（2）求点P的坐标及CPD外接圆半径的长4 （2021江苏中考真题）已知四边形ABCD是边长为 1 的正方形，点 E 是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，90AEF，设BEm（1）如图 1，若点 E 在线段BC上运动，EF交CD于点 P，AF交CD于点 Q，连结CF，当13m 时，求线段CF的长；在PQEV中，设边QE上的高为 h，请用含 m 的代数式表示 h，并求 h 的最大值；（2） 设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为 y， 请直接写出 y 与 m 的3 / 21关系式5（2021江苏中考真题） 在平面直角坐标系xOy中， 对于A、A两点， 若在y轴上存在点T， 使得90ATA，且TATA， 则称A、A两点互相关联， 把其中一个点叫做另一个点的关联点 已知点2,0M 、1,0N ，点,Q m n在一次函数21yx 的图像上（1）如图，在点2,0B、0, 1C、22D,中，点 M 的关联点是_（填“B”、“C”或“D”） ；若在线段MN上存在点1,1P的关联点P，则点P的坐标是_；（2）若在线段MN上存在点 Q 的关联点Q，求实数 m 的取值范围；（3）分别以点4,2E、Q 为圆心，1 为半径作E、Q若对E上的任意一点 G，在Q上总存在点G，使得 G、G两点互相关联，请直接写出点 Q 的坐标6 （2021广东中考真题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线1:42l yx分别与 x 轴，y 轴相交于 A、B 两点，点,P x y为直线l在第二象限的点4 / 21（1）求 A、B 两点的坐标；（2）设PAO的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式：并写出 x 的取值范围；（3）作PAO的外接圆C，延长 PC 交C于点 Q，当POQ的面积最小时，求C的半径7 （2021广西梧州市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（1，0） ，B（0，3） ，顶点为 C平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点 D（3，1）为原抛物线上点 A 的对应点，新抛物线顶点为 E，它与 y 轴交于点 G，连接 CG，EG，CE（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点 F，使以点 C，E，F，G 为顶点的四边形是平行四边形，并求出点 F的坐标；（3）若点 K 是 y 轴上的一个动点，且在点 B 的上方，过点 K 作 CE 的平行线，分别交两条抛物线于点 M，N，且点 M，N 分别在 y 轴的两侧，当 MNCE 时，请直接写出点 K 的坐标8 （2021四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数33yx42的图象与反比例函数5 / 210kyxx的图象相交于点,3A a，与 x 轴相交于点 B（1）求反比例函数的表达式；（2）过点 A 的直线交反比例函数的图象于另一点 C，交 x 轴正半轴于点 D，当ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点 C 的坐标9 （2021湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，一次函数2yx的图像l与函数0,0kykxx的图像（记为）交于点 A，过点 A 作ABy轴于点B，且1AB ，点C在线段OB上（不含端点） ，且OCt，过点C作直线1/ /lx轴，交l于点D，交图像于点E（1）求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；（2）连接OE、BE、AE，记OBE、ADE的面积分别为1S、2S，设12USS，求U的最大值10 （2021江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形OABC为矩形，点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点已知实数0k ，一次函数3yxk 的图像经过点C、D，反比例函数0kyxx的图像经过点B，求k的值6 / 2111 （2021山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且2OA，4OC ， 连接OB 反比例函数1kyx（0 x ） 的图象经过线段OB的中点D， 并与AB、BC分别交于点E、F一次函数2yk xb的图象经过E、F两点（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P是x轴上一动点，当PEPF的值最小时，点P的坐标为_12 （2021广西中考真题）如图，在ABC中，ADBC于点D，14BC ，8AD ，6BD 点E是AD上一动点（不与点A，D重合） ，在ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DEx，连接BE（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；7 / 21（2）设ABE的面积为1S，矩形EFGH的面积为2S，令12SyS，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围） ；（3）如图，点( , )P a b是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求OMN面积的最小值，并说明理由13 （2021江苏中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用（理解）（1）如图 1，,ACBC CDAB，垂足分别为 C、D，E 是AB的中点，连接CE已知ADa，0BDbab分别求线段CE、CD的长（用含 a、b 的代数式表示） ；比较大小：CE_CD（填“”、“”或“”） ，并用含 a、b 的代数式表示该大小关系（应用）（2）如图 2，在平面直角坐标系xOy中，点 M、N 在反比例函数10yxx的图像上，横坐标分别为 m、n设11,pmn qmn，记14lpq当1,2mn时，l _；当3,3mn时，l _；通过归纳猜想，可得 l 的最小值是_请利用图 2 构造恰当的图形，并说明你的猜想成立14 （2021四川中考真题）已知反比例函数myx的图象经过点(2,3)A8 / 21（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数myx的图象上点 A 的右侧取点 C，作 CHx 轴于 H，过点 A 作 y 轴的垂线 AG交直线CH于点 D过点 A，点 C 分别作 x 轴，y 轴的垂线，交于 B，垂足分别为为 F、E，连结 OB，BD，求证：O，B，D三点共线；若2ACOA，求证：2AODDOH 15 （2021内蒙古中考真题）如图，矩形ABCD的两边,AB BC的长分别为 3，8，C，D 在 y 轴上，E 是AD的中点，反比例函数0kykx的图象经过点 E，与BC交于点 F，且1CFBE（1）求反比例函数的解析式；（2）在 y 轴上找一点 P，使得23CEPABCDSS矩形，求此时点 P 的坐标16 （2021湖南中考真题）如图，抛物线22yaxbx经过1,0A ，4,0B两点，与y轴交于点C，连接BC9 / 21（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图 2，直线l：3ykx经过点 A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当/ /PQy轴时，作QMPQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧） ，以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；（3）如图 3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得CBF DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由17 （2021湖北中考真题）抛物线21yx交x轴于A，B两点（A在B的左边） （1）ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上如图（1） ，若点C的坐标是0,3，点E的横坐标是32，直接写出点A，D的坐标；如图（2） ，若点D在抛物线上，且ACDE的面积是 12，求点E的坐标；（2）如图（3） ，F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证FGFH的值是定值18 （2021湖南中考真题）已知二次函数20yaxbxc a10 / 21（1）若12a ，2bc ，求方程20axbxc的根的判别式的值；（2）如图所示，该二次函数的图像与 x 轴交于点1,0A x、2,0B x，且120 xx，与 y 轴的负半轴交于点 C，点 D 在线段 OC 上，连接 AC、BD，满足ACOABD，1bcxa求证：AOCDOB；连接 BC，过点 D 作DEBC于点 E，点120,Fxx在 y 轴的负半轴上，连接 AF，且ACOCAFCBD，求1cx的值19 （2021内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24yxx经过坐标原点，与 x 轴正半轴交于点 A，点( , )M m n是抛物线上一动点（1）如图 1，当0m ，0n ，且3nm时，求点 M 的坐标：若点15,4By在该抛物线上，连接 OM，BM，C 是线段 BM 上一动点（点 C 与点 M，B 不重合） ，过点C 作/ /CDMO，交 x 轴于点 D，线段 OD 与 MC 是否相等？请说明理由；（2）如图 2，该抛物线的对称轴交 x 轴于点 K，点7,3E x在对称轴上，当2m ，0n ，且直线 EM 交x 轴的负半轴于点 F 时， 过点 A 作 x 轴的垂线， 交直线 EM 于点 N， G 为 y 轴上一点， 点 G 的坐标为180,5，连接 GF若2EFNFMF，求证：射线 FE 平分AFG11 / 2120 （湖南省永州市 2021 年中考真题数学试卷） 已知关于 x 的二次函数21yxbxc（实数 b， c 为常数） （1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为1x ，求此二次函数的表达式；（2）若20bc，当3bxb时，二次函数的最小值为 21，求 b 的值；（3）记关于 x 的二次函数222yxxm，若在（1）的条件下，当01x时，总有21yy，求实数m 的最小值21 （2021四川中考真题）如图，抛物线2(0)yaxbxc a与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，10AC ，3OBOCOA（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点 P，使四边形 PBAC 的面积最大求出点 P 的坐标（3）在（2）的结论下，点 M 为 x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点 Q使点 P、B、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由22 （四川省资阳市 2021 年中考数学试卷） 抛物线2yxbxc 与 x 轴交于 A、 B 两点， 与 y 轴交于点 C，且1,0 ,0,3BC12 / 21（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，点 P 是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点 E，当:1:2PE BE 时，求点 P 的坐标；（3）如图 2，点 D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点 D 落在点D处，且2DDCD，点M 是平移后所得抛物线上位于D左侧的一点，/ /MNy轴交直线OD于点 N， 连结CN 当55DNCN的值最小时，求MN的长23 （2021黑龙江中考真题）如图，抛物线2yaxbxc与x轴交于除原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为2,1（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线2yaxbxc上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线2y 的距离总相等证明上述结论并求出点F的坐标；过点F的直线l与抛物线2yaxbxc交于,M N两点 证明： 当直线l绕点F旋转时，11MFNF是13 / 21定值，并求出该定值；（3）点3,Cm是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点,P Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出,P Q的坐标24 （2021湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线14yxxn 与x轴交于点A和点,04B nn ，顶点坐标记为11,h k抛物线222229yxnnn 的顶点坐标记为22,h k（1）写出A点坐标；（2）求1k，2k的值（用含n的代数式表示） ；（3）当44n 时，探究1k与2k的大小关系；（4）经过点229, 5Mnn和点22 ,95Nnn的直线与抛物线14yxxn ，222229yxnnn 的公共点恰好为 3 个不同点时，求n的值25 （2021山西中考真题）如图，抛物线21262yxx与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） ，与y轴交于点C，连接AC，BC14 / 21（1）求A，B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式；（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；设抛物线的对称轴与直线l交于点M， 与直线AC交于点N 当DMNAOCSS时， 请直接写出DM的长26 （2021湖南中考真题） 在平面直角坐标系中， 如果一个点的横坐标与纵坐标相等， 则称该点为“雁点” 例如 1,1 , 2021,2021都是“雁点”（1）求函数4yx图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25yaxxc上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与 x 轴交于 M、N 两点（点 M 在点 N的左侧） 当1a 时求 c 的取值范围；求EMN的度数；（3） 如图， 抛物线2yx2x3 与 x 轴交于 A、 B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ， P 是抛物线2yx2x3 上一点，连接BP，以点 P 为直角顶点，构造等腰RtBPC，是否存在点 P，使点 C 恰好为“雁点”？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由27 （2021湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与 y 轴交于 E 点，F 是AD的中点，B、C、D 的坐标分别为 2,0 , 8,0 , 13,1015 / 21（1）求过 B、E、C 三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；（3）设过 F 与AB平行的直线交 y 轴于 Q，M 是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点 P，当PBQ的面积最大时，求 P 的坐标28 （2021湖南中考真题） 如图所示， 抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点， 与 y 轴交于点 C， 且2OA，4OB ，8OC ，抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 M，与 x 轴交于点 N（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 是对称轴上的一个动点，是否存在以 P、C、M 为顶点的三角形与MNB相似？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由（3）D 为 CO 的中点，一个动点 G 从 D 点出发，先到达 x 轴上的点 E，再走到抛物线对称轴上的点 F，最后返回到点 C要使动点 G 走过的路程最短，请找出点 E、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程（4） 点 Q 是抛物线上位于 x 轴上方的一点， 点 R 在 x 轴上， 是否存在以点 Q 为直角顶点的等腰RtCQR？若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由16 / 2129 （2021甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212yxbxc与坐标轴交于0, 2 ,4,0AB两点，直线:28BC yx 交y轴于点C点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为,G DG分别交直线,BC AB于点,E F（1）求抛物线212yxbxc的表达式；（2）当12GF ，连接BD，求BDF的面积；（3）H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；在的条件下，第一象限有一动点P，满足2PHPC，求PHB周长的最小值30（2021湖南中考真题） 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线C：20yaxbxc a经过点1,1和4,1（1）求抛物线C的对称轴（2）当1a 时，将抛物线C向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到抛物线1C求抛物线1C的解析式设抛物线1C与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧） ，与y轴交于点C，连接BC点D为第一象限内抛物线1C上一动点， 过点D作DEOA于点E 设点D的横坐标为m 是否存在点D， 使得以点O，D，E为顶点的三角形与BOC相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由17 / 2131 （2021江苏中考真题）如图，二次函数21yxmxm（m是实数，且10m ）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧） ，其对称轴与x轴交于点C，已知点D位于第一象限，且在对称轴上，ODBD，点E在x轴的正半轴上，OCEC连接ED并延长交y轴于点F，连接AF（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示） ；（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当AFQ的周长的最小值等于125，求m的值32 （2021贵州中考真题）如图，抛物线2=2 +0y axx c a与x轴交于 A、B（3，0）两点，与y轴交于点 C（0，3） ，抛物线的顶点为 D（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 在抛物线的对称轴上，点 Q 在x轴上，若以点 P、Q、B、C 为顶点，BC 为边的四边形为平行四边形，请直接写出点 P、Q 的坐标；（3）已知点 M 是x轴上的动点，过点 M 作x的垂线交抛物线于点 G，是否存在这样的点 M，使得以点 A、18 / 21M、G 为顶点的三角形与BCD 相似，若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由33 （山东省淄博市 2021 年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线211(0)222mmymxx 与x轴交于1,0 ,0AB m两点，与y轴交于点C，连接BC（1）若2OCOA，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）设直线12yxb与抛物线交于,B G两点，问是否存在点E（在抛物线上） 点F（在抛物线的对称轴上） ，使得以,B G E F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点,E F的坐标；若不存在，说明理由34 （2021四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2ya xhk与 x 轴相交于 O，A两点，顶点 P 的坐标为2, 1点 B 为抛物线上一动点，连接,AP AB，过点 B 的直线与抛物线交于另一点 C19 / 21（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 B 的横坐标与纵坐标相等，ABCOAP ，且点 C 位于 x 轴上方，求点 C 的坐标；（3）若点 B 的横坐标为 t，90ABC，请用含 t 的代数式表示点 C 的横坐标，并求出当0t 时，点 C的横坐标的取值范围35 （2021湖北中考真题）如图 1，已知45RPQ，ABC中90ACB，动点 P 从点 A 出发，以2 5cm/s的速度在线段AC上向点 C 运动，,PQ PR分别与射线AB交于 E，F 两点，且PEAB，当点P 与点 C 重合时停止运动，如图 2，设点 P 的运动时间为sx，RPQ与ABC的重叠部分面积为2cmy，y 与 x 的函数关系由15(0)Cx和2()5Cxn两段不同的图象组成（1）填空：当5sx 时，EF _cm；sin A_；（2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）当236cmy 时，请直接写出x 的取值范围20 / 2136 （2021湖南中考真题）如图，已知二次函数2yaxbxc的图象经过点(2, 3)C且与x轴交于原点及点(8,0)B（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为O上的动点，且O的半径为2 2，一动点E从点A出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒 1 个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值37 （2021黑龙江中考真题） 如图， 在平面直角坐标系中，AOB的边OA在x轴上，OAAB， 且线段OA的长是方程2450 xx的根，过点B作BEx轴，垂足为E，4tan3BAE，动点M以每秒 1 个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为0t t 秒21 / 21（1）求点B的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以MAOP、 、 、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由38 （2021江苏中考真题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3yx 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，二次函数2yax2xc的图象过 B、C 两点，且与 x 轴交于另一点 A，点 M 为线段OB上的一个动点，过点 M 作直线 l 平行于 y 轴交BC于点 F，交二次函数2yax2xc的图象于点 E（1）求二次函数的表达式；（2）当以 C、E、F 为顶点的三角形与ABC相似时，求线段EF的长度；（3）已知点 N 是 y 轴上的点，若点 N、F 关于直线EC对称，求点 N 的坐标