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2019/10/22,1,第二节 常数项级数的审敛法,第十二章,（Interrogate of constant term series）,一、正项级数及其审敛法,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,四、小结与思考练习,2019/10/22,2,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1 正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,若,收敛 ,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数 .,单调递增,收敛 ,也收敛.,(Interrogate of positive term series),2019/10/22,3,都有,设,且存在,对一切,有,(1) 若强级数,则弱级数,(2) 若弱级数,则强级数,证:,设对一切,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有,是两个正项级数,(常数 k > 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,定理2 (比较审敛法),2019/10/22,4,(1) 若强级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2) 若弱级数,因此,这说明强级数,也发散 .,也收敛 .,发散,收敛,弱级数,2019/10/22,5,则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =+,证: 据极限定义,设两正项级数,满足,(1) 当 0 < l <+ 时,定理3 (比较审敛法的极限形式),2019/10/22,6,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散 ;,(3) 当l = 时,即,由定理2可知, 若,发散 ,(1) 当0 < l <时,(2) 当l = 0时,由定理2 知,收敛 ,若,2019/10/22,7,2019/10/22,8,2019/10/22,9,(常数 p > 0),的敛散性.,解: 1) 若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散 .,发散 ,例3 讨论 p 级数,2019/10/22,10,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .,时,2) 若,2019/10/22,11,2019/10/22,12,2019/10/22,13,2019/10/22,14,2019/10/22,15,2019/10/22,16,设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,证: (1),收敛 ,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,由比较审敛法可知 收敛。,定理4 比值审敛法 ( D Alembert 判别法),2019/10/22,17,因此,所以级数发散.,时,注: 当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,从而,(2) 当,2019/10/22,18,2019/10/22,19,2019/10/22,20,故对任意给定的正数 ,设,为正项级数, 且,则,证:,即,分别利用上述不等式的左、右部分, 可推出结论正确.,*定理5 根值审敛法 ( Cauchy判别法),2019/10/22,21,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,例如 , p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,注 :,2019/10/22,22,2019/10/22,23,二、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数 满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,(Interrogate of staggered series),2019/10/22,24,证:,是单调递增有上界数列,又,故级数收敛于s, 且,故,2019/10/22,25,收敛,收敛,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,2019/10/22,26,三、绝对收敛与条件收敛,定义 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级,收敛 ,数,为条件收敛 .,均为绝对收敛.,例 ：,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,(Absolute convergence and conditional convergence),2019/10/22,27,证: 设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛 ,令,定理7 绝对收敛的级数一定收敛 .,2019/10/22,28,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,例11 证明下列级数绝对收敛 :,2019/10/22,29,(2) 令,因此,收敛,绝对收敛.,2019/10/22,30,2019/10/22,31,其和分别为,*定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,*定理9 ( 绝对收敛级数的乘法 ),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,说明: 条件收敛级数不具有这两条性质.,2019/10/22,32,内容小结,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用其它方法判别,积分判别法,部分和极限,2019/10/22,33,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,3. 任意项级数审敛法,2019/10/22,34,思考与练习,1、设正项级数,收敛,能否推出,收敛 ?,提示:,由比较判敛法可知,收敛 .,注意:,反之不成立.,例如,收敛 ,发散 .,2019/10/22,35,则级数,(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;,(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.,分析:,故(B) 错 ;,又,C,2.,
