一元二次方程知识点总结 .docx

精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问结构梳理一元二次方程学问点的总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）含有个未知数。（ 2）未知数的最高次数是1、概念（ 3）是方程。（ 4）一元二次方程的一般形式是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）法,适用于能化为xm 2n n0的一元。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次方程（2）法,即把方程变形为ab=0 的形式,一元2、解法（ a, b 为两个因式） , 就 a=0 或二（3）法次方（4）法,其中求根公式是程（ 5）当当时,方程有两个不相等的实数根。时,方程有两个相等的实数根。当时,方程有没有的实数根。可用于解某些求值题（ 1）一元二次方程的应用（ 2）（ 3） 可用于解决实际问题的步骤（4）（ 5）（ 6）学问点归类考点一一元二次方程的定义假如一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫做一元二次方程。留意： 一元二次方程必需同时满意以下三点：方程是整式方程。 它只含有一个未知数。未知数的最高次数是2. 同时仍要留意在判定时,需将方程化成一般形式。例以下关于 x 的方程,哪些是一元二次方程？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x 253 。 x 26x0 。（ 3） xx5 。（ 4）x 20 。（ 5）2xx32x 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax 2bxc0 （ a,b,c 是已知数, a0 ）。其中 a, b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：（ 1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号。2（2）要精确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必需把它先化为一般形式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程。（3）形如 axbxc0 不肯定是一元二次方程, 当且仅当 a0 时是一元二次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 1 将以下方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 5 x 27 x 。 （ 2） x22 x38 。 （ 3） 3x4x3x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 已知关于 x 的方程 m1 xm2 2m1 x20 是一元二次方程时,就m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点三解一元二次方程的方法使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如：当 x2 时,x 23 x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 x2 是 x 23 x20 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法一直接开平方法解一元二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 x 2a a0,就 x 叫做 a 的平方根,表示为xa ,这种解一元二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的方法叫做直接开平方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 1 ） xa a0的 解 是 x2a 。（ 2 ） xmn n0的 解 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2cn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xnm。（ 3） mxnc m0, 且 c0 的解是 x。m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例用直接开平方法解以下一元二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 9 x 216法二配方法0 。 （ 2） x251620 。 （ 3） x523 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解一元二次方程时,在方程的左边加上一次项系数一半的平方,再减去这个数, 使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种方法叫做配方, 配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了,这样解一元二次方程的方法叫做配方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意 ：用配方法解一元二次方程x 2pxq0 ,当对方程的左边配方时,肯定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后,仍要再减去这个数。例用配方法解以下方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 1） x6 x50 。（ 2） x 27 x202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法三因式分解法假如两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即如 pq=0 时,就 p=0或 q=0 。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （ 1）将方程的右边化为 0。（ 2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。 （ 3）令每个因式分别为 0,得两个一元一次方程。 （ 4）解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关键点：（ 1）要将方程右边化为0。（2）娴熟把握多项式因式分解的方法,常用方法有：提公式法,公式法（平方差公式,完全平方公式）等。例用因式分解法解以下方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）5 x 24 x 。（ 2） 2 x 23250 。 （ 3） x 26 x9252 x。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法四 公式法一元二次方程ax2bxc0 a0的求根公式是： xbb 22a4ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（ 1）把方程化为ax 2bxc0 a0的形式,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结确定的值a,b.c （留意符号） 。（ 2）求出 b 24ac2的值。（ 3）如 b4ac0 ,就a,b. 把及可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2b4 ac 的值代人求根公式x例用公式法解以下方程bb22a4ac,求出x1, x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 2 x 23 x10 。 （ 2） 2 x x210。 （ 3）x 2x250可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结技巧 挑选适合的方法解一元二次方程直接开平方法 用于解左边的含有未知数的平方式,右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程因式分解 要求方程右边必需是0,左边能分解因式。 公式法 是由配方法推导而来的,要比配方法简洁。留意： 一元二次方程解法的挑选,应遵循先特别,再一般,即先考虑能否用直接开平方法或 因式分解法, 不能用这两种特别方法时,再选用公式法, 没有特别要求, 一般不采纳配方法, 由于配方法解题比较麻烦。2例用适当的方法解以下一元二次方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 1） 2 x39 2 x3。（ 2） x 28 x60 。（ 3） x2 x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点四一元二次方程根的判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2一元二次方程 axbxc0 a02根的判别式 =b4ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运用根的判别式,不解方程,就可以判定一元二次方程的根的情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） = b 24ac 0方程有两个不相等的实数根。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） = b 24ac=0方程有两个相等的实数根。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（3） = b4ac 0方程没有实数根。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用根的判别式判定一元二次方程根的情形的步骤：把全部一元二次方程化为一般形式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结确定a,b.c 的值。运算 b 24ac2的值。依据 b4ac 的符号判定方程根的情形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例不解方程,判定以下一元二次方程根的情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 2 x 23 x50 。（ 2）9 x 230 x25 。（ 3） x 26 x100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点五根的判别式的逆用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在方程ax2bxc0 a0 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）方程有两个不相等的实数根b 24ac 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 2）方程有两个相等的实数根b 24ac =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）方程没有实数根b4 ac 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意 ：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范畴,但不能忽视二次项系数不为0 这一条件。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例m 为何值时,方程2m1 x24mx2m30 的根满意以下情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）有两个不相等的实数。（ 2）有两个相等的实数根。（ 3）没有实数根。 考点六一元二次方程的根与系数的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 x1, x2是一元二次方程ax2bxc0 a0的两个根, 就有 x1x2bb, x1 x2aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22（ 1） x1x22x1x22x1x211（ 2）x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） x1a x2ax1x2a x1x2a2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）x1x2 =2x1x2=2x1x24 x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例已知方程2 x 25 x30 的两根为x1, x2 ,不解方程,求以下各式的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 1） x1x2 。（ 2）x1x2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2考点七依据代数式的关系列一元二次方程利用一元二次方程解决有关代数式的问题时,要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程） ,然后将方程整理成一般形式求解,最终作答。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例当 x 取什么值时,代数式x 2x60 与代数式 3 x2 的值相等？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、挑选题1. 一元二次方程 x2 =2x 的根是（）强化练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A、x=2B、x=0C、x1=0,x2=2D、x1=0,x2=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 将代数式 x2+4x1 化成（ x+p） 2+q 的形式（）A、（ x 2） 2+3 B、（ x+2）2 4 C、（ x+2）25 D、（ x+2）2 +43. 方程 x2 4=0 的解是（）A、x=2B、x=2C、x=±2D、x=±44. 小华在解一元二次方程x2x=0 时,只得出一个根 x=1,就被漏掉的一个根是（）A、x=4B、x=3 C、x=2D、x=025. 如方程式（ 3x c） 60=0 的两根均为正数,其中 c 为整数,就 c 的最小值为何？（）A、1B、8C、16D、61可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结26. 已知 a 是方程 x +x1=0 的一个根,就21的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 21a 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 15 2B. 15 2C.1D.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 已知三角形的两边长是方程 x25x+6 的两个根,就该三角形的周长L 的取值范畴是（）A 1 L5B 2 L 6C 5 L9D6L108方程（ x+1）（x2）=x+1 的解是（）A、2B、3C、 1, 2D、 1, 329. 分三角形两边长分别为 3 和 6,第三边是方程 x 6x+8=0 的解,就这个三角形的周长是（）A、11B、13C、11 或 13D、不能确定10. 一元二次方程（ x3）（ x 5） =0 的两根分别为（）A、3, 5B、 3, 5C、 3, 5D、3, 5二、填空题1.（ 2022 江苏淮安, 13, 3 分）一元二次方程 x2 4=0 的解是.2.（ 2022 江苏南京, 19, 6 分）解方程 x2 4x+1=03.（ 2022 山东济南, 18, 3 分）方程 x2 2x=0 的解为4.（ 2022 泰安, 21,3 分）方程 2x2 5x30 的解是25.（ 2022 山东淄博 14, 4 分）方程 x 2=0 的根是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. （2022 四川达州, 10,3 分）已知关于 x 的方程 x2 mx+n=0 的两个根是 0 和 3,就 m=,n=7.（ 2022 浙江衢州, 11, 4 分）方程 x2 2x=0 的解为8.（ 2022 黑龙江省黑河,7 , 3 分）一元二次方程a2 4a 7=0 的解为（）。三、解答题1.（ 2022 江苏无锡, 20, 8 分）（1）解方程： x +4x2=0。22.（ 2022 山东烟台, 19, 6 分）先化简再运算：x 2x 21xx2x1x,其中 x 是一元二次方程x 22x20 的正数根 .3.（ 2022 清远, 18,5 分）解方程： x24x1 04.（ 2022 湖北武汉, 17, 6 分）解方程： x2+3x+1=05、已知 x1, x2 是一元二次方程（ a-6 ）x2+2ax+a=0的两个实数根（1） ）是否存在实数 a,使-x 1 +x1x2=4+x2 成立？如存在,求出a 的值。如不存在, 请你说明理由。（2） ）求使（ x1+1）（ x2 +1）为负整数的实数 a 的整数值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结26、已知关于 x 的一元二次方程（ x-m）（1） ）求 m的取值范畴。+6x=4m-3 有实数根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22（2） ）设方程的两实根分别为 x1 与 x2 ,求代数式 x1 .x2-x 1 -x 2 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载