一阶常微分方程解法总结 .docx

精品名师归纳总结第一章一阶微分方程的解法的小结、可分别变量的方程:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、形如dy dxf xg ydy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 g y0 时,得到g yf x dx ,两边积分即可得到结果;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 g 0 0 时,就yx0 也就是方程的解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、1、 dyxydxdyx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:当 y0 时,有xdx ,两边积分得到yln yCC为常数 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 yx 2C1e 2C1为非零常数且 C1eC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y0 明显就是原方程的解 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述 ,原方程的解为 yx2C1e 2C1为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、形如M x N ydxPxQ ydy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 P x N y0 时,可有M x dxPxQ yN ydy ,两边积分可得结果 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 N y0 0 时, yy0 为原方程的解 ,当 P x0）0 时, xx0 为原方程的解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、2、 x y21) dxyx 21 dy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:当 x21 y 210 时,有1ydy y 2xx21dx 两边积分得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln x21ln y 21ln CC0 ,所以有 x21 y21CC0 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x21 y210 时,也就是原方程的解 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述 ,原方程的解为 x21 y21CC为常数 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可化为变量可分别方程的方程:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、形如 dydxg y x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 : 令 uy,就 dyxxduudx,代入得到x duu dxgu为变量可分别方程, 得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f u, x, C0C为常数 再把 u 代入得到f y , x, C x0 C为常数 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、形如 dydxGaxby, ab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 : 令 uaxby ,就 dyadxbdu, 代入得到1 duab dxbGu 为变量可分别方程,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结到 f u, x, C0C为常数 再把 u 代入得到f axby, x, C0 C为常数 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、形如 dydxf a1xa 2xb1y b2 yc1 c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0a1b1dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 : 1 、0 ,转化为Gaxby ,下同 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b2dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0a1b1a1xb1yc10uxx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 、0 ,的解为 x0 , y0 ,令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b2a2xb2 yc20uab vvyy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dva1ub1v11v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得到 ,duf a2ub2vf v a2b2ug u,下同 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结仍有几类 : yf xy dxxg xy dy0, uxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 dydxf xy, vxydyxf ydxx2, wy x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M x, y xdxydyN x, y xdyydx0, xr cos , yr sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以上都可以化为变量可分别方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、1、 dydxxy5xy2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:令 uxy2 ,就 dydxdu,代入得到 1dudxu7,有 udu7dxu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2所以 u7 xC 2C为常数 ,把 u 代入得到（ xy2）2 27 xCC为常数 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、2、 dydx2xy2 xy1x2 y1110xux1dydv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:由x得到2 y103 ,令y1v33 ,有y1dx3,代入得到du可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dv2uvduu2v2vu12 v u, 令 tv , 有 dvutduudt,代入得到tu dt du2t12t, 化简得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结到, du1 2t2 dtd 1tt 2 2,有 ln uln1tt 2 CC为常数 ,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u22t2t21tt 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 uC11t,C1t 2eC ,故代入得到 x13C1y1y13x1x3,C0121313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 、一阶线性微分方程 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1一般形式 : a（x dydxa0 x yh x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结标准形式 : dydxP x yQ x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 :1、直接带公式 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yCeP xdxP x dxeP x dxeQ xdxP x dxeP xdxeQxdxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、积分因子法 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx1xdyxQ xdxC , xP x dxe可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、IVP:dxP x yQ x ,y x0 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xye x0P s dsxxQte x0x0P sdsdty0 y0etP sdsx0txQt e x0x 0P s dsdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3、 x1 dydxnyex x1 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 化简方程为 : dydxnyex x x11n ,就 P xn, Q x x1ex x1 n;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入公式得到 xP x dxen dxex 1 x1-n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 , y x x1n x1 n ex x1) n dxC x1 n exCC为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 、恰当方程 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如 M x, ydxN x, ydy0,Gx,y, s.t. dGM x,ydxN x,y dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 :先判定就是否就是恰当方程:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如有M x, y yN x, y x恒成立 ,那么原方程就是个恰当方程,找出一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结G x,y, s.tGx, y xM X , y,G x, y yN x, y ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 G x, yC,C为常数 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4、 3x26 xy2 dx6 x2 y4 y3 dy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:由题意得到 , M x, y3x26 xy2 , N x, y6x 2 y4 y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由M12xy yN得到,原方程就是一个恰当方程;x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面求一个G x,y, s.tG x, y xM X , y,Gx, y yN x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 G x, yxM X, y3x26xy2 得 G x, yx33x2 y 2 y ,两边对y 求偏可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结导得到G y6 x2 y y6 x2 y4 y3 ,得到 y4 y3 ,有 yy 4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 G x, yx33x2 y 2y4 ,由 dG0,得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x33x2 y 2y4C, C为常数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 、积分因子法 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方 程 M x, y dxN x, ydy0, x, y, s.t.MdxNdy0是一个恰当方程,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么称x,y 就是原方程的积分因子;积分因子不唯独。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MN当且仅当yx Nx ,原方程有只与 x 有关的积分因子 ,且为 x, y x dxe,两边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同乘以x,y ,化为恰当方程 ,下同 4。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MN当且仅当yx M y ,原方程有只与 y 有关的积分因子 ,且为 x, y y dye,两边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同乘以x,y ,化为恰当方程 ,下同 4。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5、1、 ex3 y2 dx2 xydy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:由M x, yex3 y2 , N x, y2xy得M yN6 y2 y x4 y,且 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MNyx x2, 有Nx x, y2dxe xx2, 原 方 程 两 边 同 乘x2, 得 到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 ex3y 2 dx2x3ydy0, 化为d x22x2exx3 y 2 0 ,得到解为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x22 x2exx3 y2C, C为常数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5、2、ydxxy3 dy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 由题意得到 , M x, yy, N x, yxy 3 ,有MyN1 12x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MN有yx Mdxx y2 , 有 x, yeyxy 2 y dy2 dyeyy 2 ,原方程两边同乘y 2 ,得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy 2y dyd y2 0 ,得到原方程的解为:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x y 2y 2C,C为常数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(6) 、贝努力方程 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如 dydxP x yQ x yn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 :令uy1 n ,有 du1n yndy ,代入得到 dudx1nP xu1nQ x ,下同 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6、 dy6 ydxxxy2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 令 u12y,有 du,代入得到du6 ux ,就P x6 ,Q xx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ydydxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 xP x dxex6 , u xx 6 x6xdxC xC ,C为常数 ,把 u 代入得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结28x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x2C , C为常数 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6y8x(7) 、一阶隐式微分方程 :一般形式 : F x, y, y 0 ,解不出 y 的称为一阶隐式微分方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面介绍四种类型 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 yf x, y 2 xf y, y 3F x, y 04F y, y 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、形如 yf x, dy ,dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般解法 :令 pdy,代入得到 ydxf x, p ,两边对 x 求导得到 pfxf dpp dx,这就是关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x,p 的一阶线性微分方程 ,仿照 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、得出解为p x,C , C为常数,那么原方程的通解为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x, x, C , C为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、得出解为 x p, C , C为常数,那么原方程的通解为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyf p, C p, C , C为常数p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、得出解为x,p, C0, C为常数,那么原方程的通解为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x, p, C0, C为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、形如 xf y, dydxyf x, p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般解法 :令 pdy,代入有 xdxf y, p ,两边对 y 求导,得到 1pff dpyp dy,此方程就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一阶微分方程 , 可以根据以上 1 5求出通解 y,p,C0, C为常数,那么原方程的通解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 y, p, C0, C为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xf y, p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、形如F x, y 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x一 般 解 法 : 设ytt , t为参数,dyy dxtt dt, 两 边 积 分 得 到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yt t dtC, C为常数,于就是有原方程的通解为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yt xt dttC, C为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、形如F y, y 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y一 般 解 法 : 设yt t , t为参数, 由 关 系 式 dyy dx 得t dtt dx , 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dxt tdt ,两边积分得到 xxt dttt dtC, C为常数 ,于就是有C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tyt , C为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7、1xy 31y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 令 py ,得到 x1p13,两边对 y 求导,得到pp1 p 331pdp p 4 dy ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 dy2 p 23 dp ,得到 y p 323p2 p 2x1C,C为常数p,于就是通解为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p 323yp2 p 2, C为常数C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7、2yy 2ey可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 令 py ,得到 yp 2 e p,两边对 x 求导,得到 p p22 pep dp ,有dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx p2) epdp,两边积分得到xx p1ep p1epC,C为常数C,于就是通解为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yp2ep, C为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7、3x2y 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x解: 设ycost, 有 dysinty dxsin tsin t dtcos 2t21 dt ,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于就是通解为ysin 2t 4tC, C为常数2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ysin 2t 4t2C , C为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7、4y 2 1y 2 1xcost可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y解: 设 ysin t 1cost, 有 dxdy