全国中考几何压轴题精选教师版.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 1： 25（2021. 重庆）如图 1，在 ABC中， ACB=90°， BAC=60°，点 E 角平分线上一点，过点 E 作 AE的垂线，过点 A 作 AB的线段，两垂线交于点D，连接 DB，点 F 是BD的中点， DHAC，垂足为 H，连接 EF， HF。（1）如图 1，如点 H是 AC的中点， AC=2，求 AB，BD的长。（2）如图 1，求证： HF=EF。（3）如图 2，连接 CF，CE，猜想： CEF是否是等边三角形？如是，请证明。如不是，请说明理由。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（1 ） ACB=9°0 ABC=30 °， BAC=6°0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB=2AC=2 ×23=43 ， AD AB ， CAB=60 °， DAC=30 °，AH=12AC=3 ，AD=AHcos30°=233 ，BD=AB2+AD2=213。 （ 2）如图 1，连接 AF ，AE 是 BAC 角平分线， HAEBA ） -60 =°30 °- FBA ， EAF= FDH ，在 DHF 与 AEF 中，DH AE HDF EAHDF AF ， DHF AEF ，HF=EF 。（3 ）如图 2，取 AB 的中点 M ，连接 CM ， FM ， 在 Rt ADE 中， AD=2AE ，DF=BF ， AM=BM ，AD=2FM ，FM=AE ， E=30 °， ADE= DAH=30 °，在 DAE 与 ADH 中，AHD DEA 90 ° ADE DAHAD AD ， DAE ADH ，DH=AE ，点 F 是 BD 的中点，DF=AF ， EAF= EAB- FAB=30 °-FABFDH= FDA- HDA= FDA-60 °= （ 90 °- Fbr> ABC=30 °，AC=CM=12AB=AM， CAE=12 CAB=30 °CMF= AMF- AMC=30 °， 在 ACE 与MCF 中，AC CM CAE CMFAE MF ， ACE MCF ，CE=CF ， ACE= MCF ， ACM=60 °，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ECF=60 °， CEF 是等边三角形资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2： 27（2021.成都）已知,ACEC分别为四边形ABCD和 EFCG的对角线，点E 在 ABC内， CAE+CBE=90°。（1）如图，当四边形ABCD和 EFCG均为正方形时，连接BF。1求证： CAEDCBF。2如 BE=1,AE=，2 求 CE的长。（2）如图，当四边形ABCD和 EFCG均为矩形，且 AB/BC=EF/FC时，如 BE=1,AE=2,CE=，3求 k 的值。（3）如图，当四边形 ABCD和 EFCG均为菱形，且 DAB=GEF=45°时，设,BE=m，AE=n， CE=p，摸索究 ,m、n、p 三者之间满意的等量关系。 （直接写出结果，不必写出解答过程）（ 1）（ i ）证明：四边形ABCD和 EFCG均为正方形，ACBC CECF2， ACB= ECF=45°， ACE=BCF，在 CAE和 CBF中，ACBCCECF 2ACE BCF， CAE CBF（ii ）解： CAE CBF， CAE= CBF，AEBFACBC， 又 CAE+CBE=90°， CBF+CBE=90°， EBF=90°，又 AEBFACBC 2，AE=22BF2，BF2，EF2=BE2+BF2=12+22=3，EFF， CAE+CBE=90°， CBE+CBF=90°， EBF=90°，EF2=BE2+BF2=1+4k2+，1ECFC k2+1，CEEF=k2+1k，CE=3，EF=3kk2+1，1+4k2+13kk2+12 9k2k2+1 ，k2 58， 解得 k=±104，ABBC=EFFC=k 0，k=104 （ 3） DAB=45°， ABC=180°-45 °=135°，在 ABC中，依据余弦定理，可得AC2=AB2+BC2-2A.BBC.F=3， CE2=2EF2=6，CE=6 （2）如图，连接BF，ABBC=EFFC=，kBC=a， AB=ka，FC=b， EF=kb，AC=AB2+BC2 k2a2+a2ak2+1 ，CE=EF2+FC2=k2b2+b2 bk2+1，ACBC ECFCk2+1， ACE= BCF， 在 ACE和 BCF中， ACBCECFC k2+1ACE BCF， ACE BCF，AEBF ACBCk2+1， CAE= CBF， 又 AE=2，2BFk2+1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BF=2k2+1， CAE=CBcos135°=2BC2-2BC2× -22=BC22+2 在 ACE和 BCF中，资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ACBCECFC 2+2ACE BCF， ACE BCF，AEBF ACBC2+2， CAE=CBF， 又 AE=n，BF2AE22+2n22+2， CAE= CBF， CAE+CBE=90°， CBE+CBF=90°， EBF=90°，EF2=BE2+BF，2p22+2m2+n22+2，（ 2+2）m2+n2=p2，即 m， n，p 三者之间满意的等量关系是：（2+2）m2+n2=p2例 3： 23.2021.安徽 如图 1，在四边形 ABCD中，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，过点 E作 AB 的垂线，过点 F 作 CD 的垂线，两垂线交于点G，连接 AG、BG、CG、DG，且 AGD BGC1求证： ADBC。2求证： AGD EGF。3如图 2，如 AD、BC所在直线相互垂直，求AD/EF的值考点：相像形综合题.分析：（ 1）由线段垂直平分线的性质得出GA=GB，GD=GC，由 SAS证明 AGD BGC，得出对应边相等即可。（2）先证出 AGB= DGC，由，证出 AGB DGC，得出比例式，再证出 AGD= EGF，即可得出 AGD EGF。（3）延长 AD 交 GB 于点 M ，交 BC的延长线于点H，就 AH BH，由 AGD BGC，得出 GAD= GBC，再求出 AGE= AHB=90°，得出 AGE= AGB=45°，求出，由 AGD EGF，即可得出的值解答：（1）证明： GE 是 AB 的垂直平分线，GA=GB，同理： GD=GC，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 AGD 和 BGC中， AGD BGC（SAS），AD=BC。（2）证明： AGD= BGC， AGB= DGC，在 AGB 和 DGC中， AGB DGC，又 AGE= DGF， AGD= EGF， AGD EGF。资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）解：延长AD 交 GB 于点 M ，交 BC的延长线于点H，如下列图：就 AH BH， AGD BGC， GAD=GBC，在 GAM 和 HBM 中， GAD=GBC， GMA= HMB ， AGE= AHB=90 ，° AGE=AGB=45 ，°，又 AGD EGF，=点评： 此题是相像形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相像三角形的判定与性质、三角函数等学问。此题难度较大，综合性强，特殊是（3）中，需要通过作帮助线综合 运用（ 1）（2）的结论和三角函数才能得出结果可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 4：23（2021.潍坊）如图 1，点 O 是正方形 ABCD两对角线的交点，分别延长OD 到点G，OC到点 E，使 OG=2OD， OE=2OC，然后以 OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接 AG， DE（1）求证： DEAG。（2）正方形 ABCD固定，将正方形 OEFG绕点 O 逆时针旋转角（ 0° 360°）得到正方形 OEFG，如图 2在旋转过程中，当 OAG是直角时，求的度数。如正方形 ABCD的边长为 1，在旋转过程中，求AF长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由解：（ 1）如图 1 ，延长 ED 交 AG 于点 H ，点O 是正方形 ABCD 两对角线的交点，OA=OD， OA OD ，OG=OE ，在AOG 和DOE 中，AOG DOE ，AGO= DEO ，AGO+ GAO=90°，AGO+ DEO =90 °，AHE=90 °，即 DE AG 。（2 ）在旋转过程中， OAG 成为直角有两种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（）由 0°增大到90 °过程中，当OAG =90 °时，OA=OD=OG=OG ，在Rt OAG 中，sin AG O=，AG O=30 °，OA OD ，OA AG ，OD AG ，DOG = AG O=30 °，即=30 °。（）由 90 °增大到180 °过程中，当OAG =90 °时，同理可求 BOG =30 °，=180 °30 °=150 °综上所述，当 OAG =90 °时，=30 °或150 °如图 3 ，当旋转到 A 、O 、F在一条直线上时， AF的长最大，正方形 ABCD 的边长为 1，OA=OD=OC=OB=，OG=2OD，OG =OG=，OF =2 ，AF =AO+OF=+2 ，COE=45 °，此时=315 °可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 5： 23 （2021.海南）如图9-1，菱形 ABCD 中，点P 是 CD 的中点， BCD = 60°，射线 AP 交 BC 的延长线于点E，射线 BP 交 DE 于点 K，点 O 是线段BK 的中点（1）求证： ADP ECP。（2）如 BP = n·PK，试求出n 的值。（3）作 BMAE 于点 M，作 KNAE 于点 N，连结MO、NO，如图 9-2 所示 请证明MON是等腰三角形，并直接写出MON 的度数（1 ）证明：四边形 ABCD 为菱形，AD BC ，DAP= CEP，ADP= ECP，在ADP 和ECP 中，ADP ECP。（2 ）如图 1，作 PICE 交 DE 于 I，就=，又点 P 是 CD 的中点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -=，ADP ECP，AD=CE ，=，BP=3PK ，n=3 。（3 ）如图 2，作 OG AE 于 G，BM 丄 AE 于， KN 丄 AE ，BM OG KN ，点O 是线段 BK 的中点，MG=NG，又 OG MN ，OM=ON， 即MON是等腰三角形，由题意得， BPC，AMB ，ABP 为直角三角形， 设 BC=2 ，就 CP=1 ，由勾股定理得，BP=， 就 AP=，依据三角形面积公式，BM=，由（ 2）得， PB=3PO ，OG=BM=，MG=MP=，tan MOG=，MOG=60°，MON的度数为 120 °可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 6： 252021.福州如图.在锐角中， D，E 分别为 AB, BC中点, F 为 AC 上一点，且 AFE=A，DM/EF 交 AC于点 M1求证: DM=DA2点 G 在 BE上, 且 BDG= C.如图 ,求证:DEG ECF（3）在图中 .取 CE上一点 H，使 CFH=B. 如 BG=1 求 EH的长.（1）证明：如图1 所示，DMEF， AMD=AFE， AFE=A， AMD=A，DM=D。A（2）证明：如图2 所示，D、E 分别是 AB、BC的中点，DEAC， BDE=A， =B， BDG BED，BDBE BGBD， BD2=BG.BE， AFE=A， CFH=B， C=180°- A- B=180°- AFE-CFH=EFH，又 FEH= CEF， EFH EDEG= C， AFE=A， BDE=AFE， BDG+GDE= C+ FEC， BDG=C， DGE=FEC， DEG ECF。（3）解：如图3 所示， BDG=C=DEB， BEHEF EFEC， EF2=EH.EC，DEAC，DMEF，四边形 DEFM是平行四边形，EF=DM=DA=B，DBG.BE=EH.EC，BE=EC，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EH=BG=1资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7：26（2021.河北平面上，矩形 ABCD与直径为 QP的半圆 K 如图 151 摆放，分别延长 DA 和 QP 交于点 O，且 DOQ=60°， OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1，让线段 OD 及矩形 ABCD位置固定，将线段OQ 连带着半圆 K 一起围着点 O 按逆时针方向开头旋转，设旋转角为（ 0 60）.发觉： 1当 =0°，即初始位置时，点P直线 AB 上. 填“在”或“不在” ， 求当是多少时， OQ 经过点 B？2在 OQ 旋转过程中，简要说明是多少时，点P，A 间的距离最小？并指出这个最小值。3如图 152，当点 P 恰好落在 BC边上时，求及S阴影.拓展：如图 15 3，当线段 OQ 与 CB边交于点 M ，与 BA 边交于点 N 时，设 BM=xx>0， 用含 x 的代数式表示 BN 的长，并求 x 的取值范畴 .探究：当半圆 K 与矩形 ABCD的边相切时，求 sin的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 8：25. 2021.陕西如图，在每一个四边形ABCD中，均有 AD BC，CDBC， ABC=60°，AD=8，BC=121如图 1，点 M 是四边形 ABCD边 AD 上的一点，就 BMC 的面积为。2如图 2，点 N 是四边形 ABCD边 AD 上的任意一点，请你求出BNC周长的最小值。3如图 3，在四边形 ABCD的边 AD 上，是否存在一点P，使得 cos BPC的值最小？如存在，求出此时 cos BPC的值。如不存在，请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解：（ 1）如图，过A 作 AE BC，四边形 AECD 为矩形，EC=AD=8，BE=BC EC=12 8=4 ，在 Rt ABE 中，ABE=60 °，BE=4 ，AB=2BE=8， AE=4，就 SBMC =BC.AE=24。故答案为： 24。（2 ）如图，作点 C 关于直线 AD 的对称点 C，连接CN ，C D ，CB 交 AD 于点 N ，连接CN ，就 BN+NC=BN+NCBC=BN +CN ，BNC 周长的最小值为 BN C 的周长 =BN +CN +BC=BC +BC ，AD BC ，AE BC ，ABC=60 °，过点 A 作 AE BC，就 CE=AD=8，BE=4 ，AE=BE .tan60 °=4，CC=2CD=2AE=8，BC=12 ，BC=4，BNC 周长的最小值为4+12 。（3 ）如图所示，存在点P，使得 cos BPC 的值最小，作 BC 的中垂线 PQ 交 BC 于点 Q，交 AD 于点 P，连接 BP， CP，作BPC 的外接圆 O ，圆 O 与直线 PQ 交于点 N ，就 PB=PC ，圆心 O 在 PN 上，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AD BC ，圆O 与 AD 相切于点 P，PQ=DC=4 6，PQ BQ ，资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BPC 90 °，圆心O 在弦 BC 的上方，在 AD 上任取一点 P，连接PB，PC，PB 交圆 O 于点 M ，连接 MC ，BPC= BMC BP C，BPC 最大， cos BPC 的值最小， 连接 OB ，就BON=2BPN= BPC，OB=OP=4 OQ ，在 Rt BOQ 中，依据勾股定理得：OQ 2+6 2= （ 4 OQ ）2 ，解得： OQ=，OB=，cos BPC=cos BOQ=，就此时 cos BPC 的值为例 9： 25（2021.贵阳）如图，在矩形纸片ABCD中， AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点 C 落在 AD 边上的点 M 处，折痕为 PE，此时 PD=3（1）求 MP 的值。（ 4 分）（2）在 AB 边上有一个动点F，且不与点 A，B 重合当 AF 等于多少时， MEF 的周长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最小？（ 4 分）资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）如点 G，Q 是 AB 边上的两个动点，且不与点 A，B 重合， GQ=2当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值 .（运算结果保留根号） （ 4 分）解：（ 1 ）四边形 ABCD 为矩形，CD=AB=4，D=90 °，矩形 ABCD 折叠，使点C 落在 AD 边上的点 M 处，折痕为 PE，PD=PH=3，CD=MH=4，H= D=90 °，MP=5 。（2 ）如图 1，作点 M 关于 AB 的对称点 M ，连接M E 交 AB 于点 F，就点 F 即为所求，过点E作 EN AD ，垂足为 N ，AM=AD MP PD=12 5 3=4 ，AM=AM=4 ，矩形 ABCD 折叠，使点C 落在 AD 边上的点 M 处，折痕为 PE，CEP= MEP ，而CEP= MPE ，MEP= MPE ，ME=MP=5，在 Rt ENM中， MN=3 ，NM =11 ，AF ME ，AFM NEM ，=，即=，解得 AF=，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -即 AF=时，MEF 的周长最小。（3 ）如图 2，由（ 2）知点 M 是点M 关于 AB 的对称点，在EN 上截取 ER=2 ，连接 M R 交 AB于点 G，再过点 E 作 EQRG，交 AB 于点 Q ，ER=GQ ， ERGQ ，四边形 ERGQ 是平行四边形，QE=GR ，GM=GM，MG+QE=GM+GR=MR，此时 MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在 Rt M RN 中， NR=4 2=2 ，M R=5，ME=5 ， GQ=2 ，四边形 MEQG的最小周长值是7+5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 10：25（ 2021.山东临沂）如图1，在正方形 ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和 DCF，连接AF， BE. （ 1）请判定： AF 与 BE 的数量关系是，位置关系是。（2）如图 2，如将条件“两个等边三角形ADE和 DCF”变为“两个等腰三角形ADE和 DCF，且 EA=ED=FD=F，C第（ 1）问中的结论是否仍旧成立.请作出判定并赐予证明。（3）如三角形 ADE 和 DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（ 1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判定.解：（1 ）AF 与 BE 的数量关系是：AF=BE ，位置关系是： AF BE 答案是：相等，相互垂直。（2 ）结论仍旧成立理由是： 正方形 ABCD 中， AB=AD=CD ，在ADE 和DCF 中， AE DFAD CDDE CF ， ADE DCF ， DAE= CDF ，又 正方形 ABCD 中， BAD= ADC=9°0， BAE= ADF ，在ABE 和 ADF CDDE CF ， ADE DCF ， DAE= CDF ，又 正方形 ABCD 中， BAD= ADC=9°0， BAE= ADF ，在ABE 和 ADF 中， AB DA BAE ADFAE DF， ABE ADF ，BE=AF ， ABM= DAF ，又 DAF+ BAM=9°0， ABM+ BAM=90 °，在ABM 中， AMB=180 °-（ ABMF 中， AB DA BAE ADFAE DF ， ABE ADF ，BE=AF ， ABM= DAF ，又 DAF+ BAM=9°0， ABM+ BAM=90 °，在ABM 中， AMB=180 °-（ ABM+ BAM ）=90 °，BE AF 。（3 ）第（ 1 ）问中的结论都能成立理由是： 正方形 ABCD 中， AB=AD=CD ，在ADE 和DCF 中， AE DFADM ） =90 °，可编辑资料 - 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