全等三角形中的截长补短教师版 .docx

精品名师归纳总结全等三角形中的截长补短中考要求考试要求板块A 级要求B 级要求C 级要求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结全等三角形的性质及判定会识别全等三角形把握全等三角形的概念、判定和性 质，会用全等三角形的性质和判定解决简洁问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等查找对应边和对应角，常用到以下方法： 1 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 2 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 3 有公共边的，公共边常是对应边 4 有公共角的，公共角常是对应角 5 有对顶角的，对顶角常是对应角 6 两个全等的不等边三角形中一对最长边 或最大角 是对应边 或对应角 ，一对最短边 或最小角 是对应边 或对应角 要想正确的表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键 全等三角形的判定方法： 1 边角边定理 SAS ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 2 角边角定理 ASA ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 3 边边边定理 SSS ：三边对应相等的两个三角形全等 4 角角边定理 AAS ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 5 斜边、直角边定理 HL ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，留意有时会添加帮助线奥数赛点： 能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础重、难点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重点： 本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特殊是几种判定方法，特殊是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点： 本节的难点是全等三角形性质和判定定理的敏捷应用。为了能娴熟的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清晰，哪几个是条件，打算哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中例题精讲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结板块一、全等与角度【例 10】如 图，在ABC 中，求 ABC 的度数 .BAC60 ， AD 是 BAC 的平分线，且ACABBD ，A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABDCBDCE【解析】 如下列图，延长 AB 至 E 使 BEBD ，连接 ED 、 EC .由 ACABBD 知 AEAC ，而 BAC60 ，就 AEC 为等边三角形 .留意到EADCAD ， ADAD ， AEAC ，故 AED ACD .从而有 DE故BEDDC ，BDEDECDCEDCE ，DEC2DEC .所以DECDCE20 ，ABCBECBCE602080 .AEBDC【另解】在 AC 上取点 E ，使得 AEAB ，就由题意可知 CEBD .在 ABD 和AED 中， ABAE ， BADEAD ， ADAD ，就 ABD AED ，从而 BDDE ，进而有 DECE ， ECDEDC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AEDECDEDC2ECD .留意到ABDAED ，就：13ABCACBABCABCABC22180BAC120 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故ABC80 .【点评】由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE ，利用角平分线AD 可以构造全等三角形 . 同样的，将AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是非常自然的 .需要说明的是，无论实行哪种方法，都表达出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 11】在等腰 ABC 中， ABAC ，顶角求 BDC .A20，在边 AB 上取点 D ，使 ADBC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AADDEBCBC【解析】 以 AC 为边向ABC 外作正ACE ，连接DE .在ABC和EAD中，AD，ABEA，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EADBACCAE80ABC ，2060可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就ABC EAD .由此可得 EDEAEC ，所以EDC 是等腰三角形 .由于AEDBAC20 ，就 CEDAECAED602040 ，从而DCE70 ，DCADCEACE706010 ，就 BDCDACDCA201030 .【另解 1】以 AD 为边在 ABC 外作等边三角形ADE ，连接 EC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在ACB 和CAE 中，CAE6020ACB ， AEADCB ， ACCA ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此 ACB CAE ，从而CABACE ， CEABAC .在CAD 和CED 中， ADED ， CECA ， CDCD ，故CAD CED ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而ACDECD ，CABACE2ACD ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 ACD10 ，因此BDC30 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AAEDDNB CBC【另解 2】如下列图，以 BC 为边向ABC 内部作等边BCN ，连接 NA 、 ND .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在CDA 和ANC 中， CNBCAD ，CAD20 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ACNACBBCN806020 ， 故 CADACN ，而 ACCA ，进而有CDA ANC .就 ACDCAN10 ，故 BDCDACDCA30 .【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系 .【例 12】 “勤奋杯”数学邀请赛试卷 如下列图，在ABC 中， ACBC ，C20 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 M 在 AC 上， N 在 BC 上，且满意BAN50 ，ABM60 ，求NMB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C CMMKNNPABAB【解析】 过 M 作 AB 的平行线交 BC 于 K ，连接 KA交 MB 于 P .连接 PN ，易知 APB 、 MKP 均为正三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于BAN50 ， ACBC ， C20 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以ANB50 ， BNABBP ，BPNBNP80 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 PKN40 ，KPN180608040 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 PNKN .从而 MPN MKN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结进而有PMNKMN ，NMB1KMP 230 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CMN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【另解】如下列图，在AC 上取点 D ，使得ABDDAB20 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 C20、 ACBC 可知BAC80 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 ABD20 ，故ADB80 ， BABD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在ABN 中，BAN50 ，ABN80 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 ANB50 ，从而 BABN ，进而可得 BNBD .而 DBNABCABD802060 ，所以 BDN 为等边三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在ABM 中，AMB180ABMBAM180806040 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DBMADBAMB804040 ，故 DMBDBM ，从而 DMDB .我们已经得到 DMDNDB ，故 D 是BMN 的外心，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而NMB1NDB 230 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【点评】此题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢高校的几何大师RossHonsberger 将其喻为“平面几何中的一颗明珠”. 此题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不是那么简洁.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 13】在四边形 ABCD 中，已知 ABAC， 求 DBC 的度数 .ABD60 ，ADB76 ，BDC28 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EDDCCABAB【解析】 如下列图，延长BD 至 E ，使 DEDC ，由已知可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ADE180ADB18076104 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ADCADBBDC故 ADEADC .7628104 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于 ADAD ， DEDC ，故ADE ADC ，因此 AEAC ，EACD ， EADCAD .又由于 ABAC ，故 AEAB ， ABCACB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而已知ABD60 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ABE为等边三角形 .于是ACDEEAB60 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 CAD180ADCACD16 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 CABEABCADEAD28 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而ABC11802CAB 76 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以DBCABCABD16 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 14】 日 本 算 术 奥 林 匹 克 试 卷 如 图 所 示 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ，DAC12，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CAB36 ，ABD48 ，DBC24 ，求ACD 的度数 .P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DCDCABAB【解析】 认真观看，发觉已知角的度数都是12 的倍数，这使我们想到构造60 角，从而利用正三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在四边形 ABCD外取一点 P ，使PAD12 且 APAC ，连接 PB、 PD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在ADP 和ADC 中，PADCAD12 ， APAC ， ADAD ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故ADP ADC .从而APDACD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在ABC 中，CAB36 ，ABC72 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 ACB72 ， ACAB ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 APAB .而 PABPADDACCAB12123660 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故PAB是正三角形，APB60 ， PAPB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在DAB 中， 故 DADB .DABDACCAB123648DBA ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在PDA和PDB 中， PAPB ， PDPD ， DADB ，故PDA PDB ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而APDBPD1APB 230 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 ACD30 .【例 15】 河南省数学竞赛试卷点 E ，使DBE在正DBC ，且ABC 内取一点 D ，使BEBA，求BED .DADB ，在ABC 外取一AAEEDDBCBC【解析】 如下列图，连接DC . 由于就ADC BDC ，ADBD ， ACBC ， CDCD ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 BCD30 .而 DBEDBC ， BEABBC ， BDBD ，因此 BDE BDC ，故 BEDBCD30 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 16】 北京市数学竞赛试卷如下列图，在ABC 中，BACBCA44 ， M 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC 内一点，使得BMCA30 ，MACB16 ，求BMC 的度数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OMMA CADC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 在 ABC 中，由BACBCA44 可得 ABAC ，ABC92 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如下列图，作 BDAC 于 D 点，延长 CM 交 BD 于 O 点，连接 OA ，就有OACMCA30 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BAOBACOACOAMOACMAC所以BAOMAO .443014 ，301614 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于AOD90OAD903060COD ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以AOM120AOB .BOM120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 AOAO ，因此 ABO故 OBOM .AMO ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于BOM120 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 OMBOBM180BOM230 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 BMC180OMB150 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【巩固】如下列图，在ABC 中，已知BAC80 ，ABC60 ， D 为三角形内一点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 DAB10 ，ADBA20 ，求ACD 的度数 .A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EGDDB CBFC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 如下列图，延长BD 交 AC 于 E ，就AEB80BAE ， ABBE .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 BC 上截取 BFBA ，连接 FA ，就 ABF 为等边三角形 .在 AC 上截取 AGAB ，连接 GB、 GD 、 GF ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由边角边公理知AFG 在BEF 中，因 BEBF ，BAE . EBF40 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 BEF70 ，易得FEG30ADE .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由角边角公理知FEG 于是 EGDE .ADE ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意到EBC40ECB ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 ECEB .又由边角边公理知EDC EGB ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而ECDEBG .在ABG 中，因 ABAG ，BAG80 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 ABG50 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而EBG30 ，故 ACD30 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结板块二、截长补短【例 1】 06 年 北京 中考 题 已 知 ABC 中，A60， BD 、 CE 分 别 平分ABC 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.ACB ， BD 、 CE 交于点 O ，试判定 BE 、 CD 、 BC 的数量关系，并加以证明AAEEODOD1423BCBFC【解析】 BECDBC，理由是：在 BC上截取 BFBE ，连结 OF ， 利用 SAS证得 BEO BFO ，12 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A60 ，BOC901A120 ，2DOE120 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ADOE180 ，AEOADO180， 13180 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 24180 ， 12 ，34 ，利用 AAS证得 CDO CFO ， CDCF ， BCBFCFBECD 【例 2】 如图，点 M 为正三角形ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点 点 B 除外 ，作DMN60 ，射线 MN 与 DBA 外角的平分线交于点N ， DM 与 MN 有怎样的数量关系 .DDGNNAMBEAMBE【解析】 推测 DMMN . 过点 M 作 MG BD 交 AD 于点 G ， AGAM ， GDMB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 ADMDMA120， DMA NMB120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ADMNMB ，而 DGMMBN120 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DGM MBN ， DMMN 【例 3】 如图 2-9 所示已知正方形ABCD 中， M 为 CD 的中点， E 为 MC 上一点，且BAE=2 DAM 求证： AE=BC+CE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种： 1 通过添帮助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和 BCCE ， 再证所构造的线段与求证中那一条线段相等 2 通过添帮助线先在求证中长线段 AE 上截取与线段中的某一段 如 BC 相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段 CE 相等 我们用 1 法来证明证 延长 AB 到 F ，使 BFCE ，就由正方形性质知AFABBFBCCE下面我们利用全等三角形来证明AEAF 为此，连接 EF 交边 BC 于 G 由于对顶角BGFCGE ，所以 RtBGF CGEAAS，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 BGGC1 BC ，FGEG2， BGDM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 RtABG RtADMSAS ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以BAGDAM1 BAEEAG ， AG 是 EAF 的平分线2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结过 G 引 GHAE 于 H 由于 AG 是 EAF 的平分线，所以 GB=GH，从而 RtGBF Rt GHE HL ，所以 F=HEG ，就 AF=AE 底角相等的三角形是等腰三角形 ，即 AE =BC+CE说明 我们也可以按分析 2 的方法来证明结论，为此可先作BAE 的平分线 AG交边 BC 于 G，再作 GH AE 于 H ，通过证明 ABG AHG 知AB=AH=BC下面设法证明 HE =CE 即可，请同学们自证【例 4】 “ 希 望 杯 ” 竞 赛试 卷 如 图 ， AD AB ， CB AB ， DM =CM = a ， AD = h ，CB= k ， AMD =75°， BMC =45°，就 AB 的长为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. a B. k C.khD . h2DDE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CCAMBAMB【解析】 过点 D 作 BC 的垂线，垂足为 E. AMD =75°， BMC =45° DMC =60°DM =CM CD =DM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AD AB， DE BC， CB AB， AMD =75° ADM = EDC ADM CDEAD=DE故 ABED 为正方形， AB=AD= h ，选 D.【例 5】 已知：如图， ABCD 是正方形， FAD= FAE. 求证： BE+DF =AE .ADADFFBECMBEC【解析】 延长 CB 至 M，使得 BM =DF ，连接 AM.AB=AD， AD CD ， AB BM， BM =DF ABM ADF AFD =AMB ， DAF = BAMABCD AFD =BAF= EAF+BAE = BAE+BAM =EAM AMB = EAMAE=EM=BE+BM =BE+DF .【例 6】 以 ABC 的 AB 、 AC 为边向三角形外作等边ABD 、ACE ，连结 CD 、 BE 相交于点 O 求证： OA平分DOE DAEDAEFOOBCBC【解析】 因 为ABD 、ACE 是 等 边 三 角 形 ， 所 以 ABAD， AEAC，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CAEBAD60 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 BAEDAC ，所以BAE DAC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有ABEADC ， AEBACD ， BEDC 在 DC上 截 取 DFBO ， 连 结 AF， 容 易 证 得ADF ABO ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ACF AEO 进而由 AFAO 得AFOAOF 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 AOEAFO 可得AOFAOE ，即 OA平分DOE 【例 7】 北京市数学竞赛试卷，天津市数学竞赛试卷 如下列图，ABC 是边长为 1的正三 角 形 ， BDC 是 顶 角 为 120的 等 腰 三 角 形 ， 以 D 为 顶 点 作 一 个 60的MDN ，点 M 、 N 分别在 AB 、 AC 上，求AMN 的周长AANNMMBCBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D【解析】 如下列图，延长 AC 到 E 使 CEBM .在BDM 与CDE 中，由于 BDCD ，DMBDECDE90 ， BMCE ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 BDM CDE ，故 MDED .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于BDC120 ，MDN60 ，所以BDMNDC60 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于BDMCDE ，所以MDNEDN60 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在MND 与END 中， DNDN ，MDNEDN60 ， DMDE ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 MND END ，就 NEMN ，所以 AMN 的周长为 2 .【例 8】 如下列图，ABC 是边长为 1 的正三角形，BDC 是顶角为 120 的等腰三角形， 以 D 为顶点作一个 60 的MDN ，点 M 、 N 分别在 AB 、 AC 上，求AMN 的周长AANNMMDDBCBFECANMEDBC【解析】 如下列图，过D 作 DE 交 BC 于 E ，使得 BEBM 。过 D 作 DF 交 BC 于 F ，使得 CFCN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于BDC120， BDC 为等腰三角形，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以DBC30 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于ABC 为正三角形，所以ABC60 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意到DBCMBD ， BMBE ， BDBD ， 所以 DBE DBM ，可知 AMCE .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理，DCF DCN， ANBF .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有 DEDM ， DFDN ， MDBEDB ， NDCFDC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于MDN60 ，BDC120 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 MDBNDC180 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 EDC120EDB120MDB ，BDF120FDC120NDC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 EDCBDF240MDBNDC60 ，因此FDE60 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 FDE NDM， MNEF ，进而可知AMN 的周长为 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另解 ：如下列图，在AB 上取一点E ，使得 BEAN . 在 DAN 和 DBE 中，DADB， AN