八级上册数学全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -初二数学第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不肯定全等。例 1.如图， A, F , E, B 四点共线，ACCE ， BDDF ， AEBF ， ACBD 。求证：ACFBDE 。思 路 ： 从 结 论A C FB D E入 手 ， 全 等 条 件 只 有 A CB D。由 AEBF 两边同时减去EF 得到 AF BE ，又得到一个全等条件。仍缺少一 个全等条件，可以是CFDE ，也可以是AB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由条件 ACCE ，BDDF 可得ACEBDF90 ，再加上 AEBF ，ACBD ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以证明ACEBDF ，从而得到AB 。证明ACCE ， BDDFACEBDF90在 Rt ACE 与 Rt BDF 中AEBFACBD RtACERtBDF HLA BAEBFAEEFBFEF ，即 AFBE在ACF 与BDE 中AFBEABACBDACFBDE SAS摸索 ：此题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看仍需要什么条件。另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结： 此题不仅告知我们如何去查找全等三角形及其全等条件，而且告知我们如何去分析一个题目，得出解题思路。例 2.如图，在ABC 中， BE 是 ABC的平分线，ADBE ，垂足为D 。求证：21C 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -思路：直接证明21C 比较困难， 我们可以间接证明， 即找到，证明2且1C 。也可以看成将2 “转移”到。那么在哪里了？角的对称性提示我们将AD延长交BC 于 F，就构造了 FBD ，可以通过证明三角形全等来证明2= DFB ，可以由三角形外角定理得DFB= 1+ C。证明 ： 延长 AD 交 BC 于 F在ABD 与FBD 中ABDFBD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BDBDADBFDB90ABDFBD ASA2DFB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又DFB1C21C 。摸索 ： 由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发觉全等三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 如图，在ABC 中， ABBC ，ABC90 。F 为 AB 延长线上一点， 点 E 在 BC 上，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BEBF ，连接 AE, EF 和 CF 。求证：AECF 。思路： 可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE 为边的ABE 绕点 B 顺时针旋转90 到CBF 的位置，而线段CF 正好是CBF 的边，故只要证明它们全等即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 ：ABC90 ， F 为 AB 延长线上一点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABCCBF90在ABE 与CBF 中ABBCABCCBF BEBFABECBF SASAECF 。摸索 ： 利用旋转的观点，不但有利于查找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结： 利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不简单找到需证明的三角形。这时我们就可以依据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来查找或利用帮助 线构造全等三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 4. 如图， AB / CD ， AD / BC ，求证：ABCD 。思路： 关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。证明 ： 连接 ACAB / CD ， AD / BC 12 ，34在ABC 与CDA 中12ACCA43ABCCDA ASAABCD 。摸索 ： 连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例 5. 如图， AP, CP 分别是ABC 外角MAC 和NCA 的平分线，它们交于点P 。求证：BP 为MBN 的平分线。思路： 要证明“ BP 为MBN 的平分线”，可以利用点P 到 BM , BN 的距离相等来证明，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故应过点P 向BM , BN 作垂线。另一方面，为了利用已知条件“AP,CP 分别是MAC 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结NCA 的平分线”，也需要作出点P 到两外角两边的距离。证明 ： 过 P 作 PDBM 于 D ， PEAC 于 E ， PFBN 于 F AP 平分MAC ， PDBM 于 D ， PEAC 于 EPDPECP 平分NCA， PEAC 于 E ， PFBN 于 F PEPFPDPE ， PEPFPDPFPDPF ，且 PDBM 于 D ， PFBN 于 FBP 为MBN 的平分线。摸索 ：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 6. 如图， D 是ABC 的边 BC 上的点，且 CDAB ，ADBBAD ， AE 是ABD 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中线。求证：AC2AE 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路： 要证明“AC2AE ”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于AC 。因此，延长AE 至 F ，使 EFAE 。证明 ： 延长 AE 至点 F ，使 EFAE ，连接 DF在ABE 与FDE 中AEFEAEBFED BEDEABEFDE SASB EDFADFADBEDF ，ADCBADB又ADBBAD ADFADCABDF ， ABCDDFDC在ADF 与ADC 中ADADADFADC DFDCADFADC SASAFAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又AF AC2AE2AE 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结摸索 ：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。例7.如 图 ， 在ABC 中 ， ABAC，12 ， P 为 AD 上 任 意 一 点 。 求 证 ：ABACPBPC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -原图法一图法二图思路： 欲证 ABACPBPC ，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差， 故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段ABAC 。而构造 ABAC可以采纳“截长”和“补短”两种方法。证明 ： 法一：在 AB 上截取 ANAC ，连接 PN在APN 与APC 中ANAC12APAPAPNAPC SASPNPC在BPN 中， PBPNBNPBPCABAC ，即 AB AC>PB PC。法二：延长 AC 至 M ，使 AMAB ，连接 PM在ABP 与AMP 中ABAM12APAPABPAMP SASPBPM在PCM 中， CMPMPC ABACPBPC 。摸索 ： 当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采纳“截长补短”法。详细作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”。或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证 明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。小结： 此题组总结了本章中常用帮助线的作法，以后随着学习的深化仍要连续总结。我们不光要总结帮助线的作法，仍要知道帮助线为什么要这样作，这样作有什么用处。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、挑选题：同步练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 能使两个直角三角形全等的条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.斜边相等2. 依据以下条件，能画出唯独ABC 的是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. AB3， BC4 ， CA8B. AB4 ， BC3，A30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C. C60 ，B45 ， AB4D. C90 ， AB6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如图，已知12， ACAD ，增加以下条件：ABAE 。 BCED 。CD 。BE 。其中能使ABCAED 的条件有 A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个4. 如图，12 ，CD ， AC , BD 交于 E 点，以下不正确选项A. DAECBEB.CEDEC.DEA 不全等于CBED.EAB 是等腰三角形5. 如图，已知ABCD ， BCAD ，B23 ，就D 等于 A. 67B.46C.23D.无法确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、填空题：6. 如 图 ， 在ABC 中 ，C 90，ABC 的 平 分 线 BD 交 AC 于 点 D ， 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C D:A D2 : 3， AC10cm ，就点 D 到 AB 的距离等于 cm 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 如 图 ， 已 知 ABDC ， ADBC ， E , F 是 BD 上 的 两 点 ， 且 BEDF ， 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AEB100 ，ADB30 ，就BCF 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 将 一 张 正 方 形 纸 片 按 如 图 的 方 式 折 叠 ， 。BC , BD 为 折 痕 ， 就CBD 的 大 小 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 如图，在等腰RtABC 中，C90， ACBC ， AD 平分BAC 交 BC 于 D ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DEAB 于 E ，如 AB10 ，就BDE 的周长等于 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 如图，点D , E,F , B 在同一条直线上，AB / CD ， AE / CF ，且 AECF ，如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BD10， BF2 ，就 EF 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、解答题：11. 如图，ABC 为等边三角形， 点 M , N 分别在交于 Q 点。求AQN 的度数。BC , AC 上，且 BMCN ，AM 与 BN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 如图，ACB90 ， ACBC ，D 为 AB 上一点， AECD ，BFCD ，交 CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结延长线于 F 点。求证：BFCE 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、挑选题：同步练习的答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. A2. C3. B4. C5. C二、填空题：6. 47.708. 909. 1010. 6三、解答题：11. 解：ABC 为等边三角形ABBC ，ABCC60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在ABM 与BCN 中ABBC ABCCBMCNABMBCN SASNBCBAMAQNABQBAMABQNBC12. 证明：AECD ， BFCD60 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FAEC90ACECAE90ACB90ACEBCF90CAEBCF在ACE 与CBF 中 FAEC CAEBCFACBCACECBF AASBFCE 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载