初中人教版数学勾股定理经典题型分析 .docx

精品名师归纳总结勾股定理经典题型分析类型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中， C=90 °1已知 a=6， c=10，求 b， 2已知 a=40， b=9 ，求 c。 3已知 c=25， b=15，求 a.思路点拨 : 写解的过程中，肯定要先写上在哪个直角三角形中，留意勾股定理的变形使用。解析： 1 在 ABC 中， C=90 °， a=6， c=10,b=2 在 ABC 中， C=90°， a=40， b=9,c=3 在 ABC 中， C=90°， c=25， b=15,a=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举一反三【变式】 :如图 B= ACD =90 ° , AD =13,CD =12, BC=3,就 AB 的长是多少 .【答案】 ACD =90 ° AD = 13, CD=12 AC 2 =AD 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 CD 2=132122=25 AC=5又ABC=90 °且 BC=3 由 勾 股 定理可得AB 2= AC 2 BC 2=52 32=16 AB= 4 AB 的长是 4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，. 求： BC 的长 .思路点拨 ：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 D，就有，再由勾股定理运算出AD 、DC 的长，进而求出 BC 的长 .解析 ：作于 D ，就因，的两个锐角互余在中，假如一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半.根 据 勾 股 定理，在中，.根 据 勾 股 定理，在中，.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结举一反三 【变式 1】如图，已知：，于 P.求证：.解析：连结 BM ，依据勾股定理，在中，.而在中，就依据勾股定理有.又已知，.在中，依据勾股定理有，.【变式 2】已知：如图，B= D=90 °， A=60 °， AB=4 ， CD=2 。求：四边形ABCD 的面积。分析 ：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连结AC ，或延长 AB 、DC 交于 F，或延长 AD 、BC 交于点 E，依据此题给定的角应选后两种，进一步依据此题给定的边选第三种较为简洁。解析 ：延长 AD 、BC 交于 E。 A= 60°， B=90 °， E=30°。 AE=2AB=8 ， CE=2CD=4 ， BE2=AE 2-AB 2=8 2-42=48 ， BE=。 DE2= CE 2-CD 2 =42-22=12， DE=。 S 四边形 ABCD =SABE -S CDE=AB · BE-CD · DE=类型三：勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下图，在一次夏令营活动中，小明从营的A 点动身，沿北偏东60°方向走了到达 B 点，然后再沿北偏西30°方向走了 500m 到达目的的 C 点。1求 A 、C 两点之间的距离。 2 确定目的的 C 在营的 A 的什么方向。解 析 ： 1过 B 点作 BE/AD DAB= ABE=60 ° 30°+ CBA+ ABE=180 °可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 CBA=90 °即 ABC 为直角三角形由已知可得： BC=500m ， AB=由勾股定理可得： 所以2在 Rt ABC 中， BC=500m ，AC=1000m CAB=30 ° DAB=60 ° DAC=30 °即点 C 在点 A 的北偏东 30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门外形如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 .【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间 时 其 高 度 是 否 小 于CH 如下图， 点 D 在离厂门中线0.8 米处，且 CD ， 与的面交于 H解：OC 1 米 大门宽度一半 ，OD 0.8 米 卡车宽度一半在 Rt OCD 中，由勾股定理得：CD .米，C . . .米 .米因此高度上有0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门二用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各的农村进行电网改造，某的有四个村庄A 、B 、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮忙运算一下，哪种架设方案最省电线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路点拨 ：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理运算线路长，然后进行比较，得出结论解析 ：设正方形的边长为1，就图 1、图 2中的总线路长分别为AB+BC+CD 3，AB+BC+CD 3图 3中，在 RtABC 中同理图 3中的路线长为图 4中，延长 EF 交 BC 于 H ，就 FH BC， BH CH由 FBH 及勾股定理得：EA ED FB FC EF 1 2FH 1此图中总线路的长为4EA+EF 3 2.828>2.732图 4的连接线路最短，即图4的架设方案最省电线 举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A 动身，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程解：如图，在Rt 中，底面周长的一半cm， 依据勾股定理得提问：勾股定理第 4 页 共 10 页可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AC cm勾股定理 答：最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段。思路点拨： 由勾股定理得，直角边为1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是，类似的可作。作法 ：如下图1作直角边为 1单位长的等腰直角ACB ，使 AB 为斜边。2以 AB 为一条直角边，作另始终角边为1 的直角。斜边为。3顺次这样做下去，最终做到直角三角形，这样斜边、的长度就是、。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析： 可以把看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3 和 1。作法 ：如下图在数轴上找到A 点，使 OA=3 ，作 AC OA 且截取 AC=1 ，以 OC 为半径， 以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出以下原命题的逆命题并判定是否正确1. 原命题：猫有四只脚 正确2. 原命题：对顶角相等正确3. 原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等正确4. 原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等正确思路点拨： 把握原命题与逆命题的关系。解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫不正确2. 逆命题：相等的角是对顶角不正确3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.正确4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上正确可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结升华： 此题是为了学习勾股定理的逆命题做预备。7、假如 ABC 的三边分别为 a、b、c，且满意 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，判定 ABC 的外形。思路点拨 ：要判定 ABC 的外形，需要找到 a、 b、c 的关系，而题目中只有条件a2+b2 +c2+50=6a+8b+10c ，故只有从该条件入手，解决问题。解析 ：由 a2+b 2+c2+50=6a+8b+10c ，得 ：a2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0, a-3 2+b-4 2+c-5 2=0。 a-3 2 0, b-4 2 0, c-5 2 0。 a=3， b=4， c=5 。 32+42=52, a2+b2=c 2。由勾股定理的逆定理，得ABC 是直角三角形。总结升华 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来讨论图形的位置关系的,在证明中也常要用到。举一反三 【变式 1】四边形 ABCD 中， B=90 °， AB=3 ， BC=4 ， CD=12 ， AD=13 ，求四边形 ABCD 的面积。【答案】：连结 AC B=90 °， AB=3 ， BC=4 AC 2=AB 2+BC 2=25 勾股定理 AC=5 AC 2+CD 2=169 ，AD 2=169 AC 2+CD 2=AD 2 ACD=90 °勾股定理逆定理【变式 2】已知 : ABC 的三边分别为 m2 n2,2mn,m2+n2m,n 为正整数 ,且 m n,判定 ABC 是否为直角三角形 .分析 :此题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明 :a2+b2=c2 即可证明：所以 ABC 是直角三角形 .【变式 3】如图正方形ABCD ， E 为 BC 中点， F 为 AB 上一点，且 BF=AB 。请问FE 与 DE 是否垂直 .请说明。【答案】答： DEEF 。证明：设BF=a，就 BE=EC=2a, AF=3a ， AB=4a, EF2=BF 2+BE 2=a2+4a2=5a2。DE 2=CE 2+CD 2=4a2+16a2=20a2。连接 DF如图DF 2=AF 2+AD 2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF 2+DE 2, FE DE。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、假设直角三角形两直角边的比是3： 4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。思路点拨： 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再依据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析： 设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x，依据题意得：3x2+ 4x2 202化简得 x216。直角三角形的面积× 3x×4x 6x 296总结升华： 直角三角形边的有关运算中，经常要设未知数，然后用勾股定理列方程组求解。举一反三 【变式 1】等边三角形的边长为2，求它的面积。【答案】如图，等边 ABC ，作 AD BC 于 D就： BD BC 等腰三角形底边上的高与底边上的中线相互重合AB AC BC 2等边三角形各边都相等BD 1在直角三角形 ABD 中， AB 2 AD 2+BD 2，即： AD 2AB 2 BD 2 4 1 3AD S ABC BC ·AD 注：等边三角形面积公式：假设等边三角形边长为a，就其面积为a。【变式 2】直角三角形周长为12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x， y，依据题意得：由 1得： x+y 7，x+y 249， x2+2xy+y 2 49 3 3 2 ，得： xy 12直角三角形的面积是xy × 12 6cm2【变式 3】假设直角三角形的三边长分别是n+1 ， n+2， n+3 ，求 n。思路点拨： 第一要确定斜边最长的边长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：n+1 2+n+22 n+3 2化简得： n2 4n± 2，但当 n 2 时， n+1 1<0， n 2总结升华： 留意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情形下，第一要先确定斜边，直角边。【变式 4】以以下各组数为边长，能组成直角三角形的是A、 8， 15， 17B 、4， 5， 6C、5，8， 10D、8， 39，40解析： 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判定，对数据较大的可以用c2 a2+b2 的变形： b2 c2 a2 c ac+a来判定。例如：对于挑选D， 82 40+39× 40 39，以 8， 39， 40 为边长不能组成直角三角形。同理可以判定其它选项。【答案】：A【变式 5】四边形 ABCD 中， B=90 °， AB=3 ， BC=4 ， CD=12 ， AD=13 ，求四边形 ABCD 的面积。解：连结 ACB=90 °， AB=3 ， BC=4AC 2=AB 2+BC 2=25勾股定理AC=5第 7 页 共 10 页可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AC 2 +CD 2=169， AD 2=169AC 2 +CD 2=AD 2 ACD=90 °勾股定理逆定理S 四边形 ABCD =S ABC +SACD =AB · BC+AC · CD=36类型二：勾股定理的应用2、如图，大路 MN 和大路 PQ 在点 P 处交汇，且 QPN 30°，点 A 处有一所中学， AP 160m。假设拖拉机行驶时，四周 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在大路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，假如受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：1要判定拖拉机的噪音是否影响学校A ，实质上是看 A 到大路的距离是否小于100m, 小于 100m 就受影响，大于 100m 就不受影响，故作垂线段AB 并运算其长度。 2要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必需找到拖拉机行至哪一点开头影响学校，行至哪一点后终止影响学校。解析 ：作 AB MN ，垂足为 B。在 Rt ABP 中， ABP 90°， APB 30°， AP 160， AB AP 80。 在直角三角形中， 30°所对的直角边等于斜边的一半点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在大路MN 上沿 PN 方向行驶到点C 处学校开头受到影响，那么AC 100m ， 由勾股定理得：BC2 1002-802 3600, BC 60。同理，拖拉机行驶到点D 处学校开头脱离影响，那么，AD 100m ， BD 60m, CD 120m 。拖拉机行驶的速度为: 18km/h 5m/s t 120m÷ 5m/s 24s。答：拖拉机在大路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒。总结升华 : 勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,假设图形缺少直角条件,就可以通过作帮助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三 【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了躲开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条 “路”。他们仅仅少走了步路假设 2 步为 1m，却踩伤了花草。解析：他们原先走的路为3+4 7m设走“捷径”的路长为xm ，就故少走的路长为7 5 2m又由于 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了4 步路。【答案】 4【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。1直接写出单位正三角形的高与面积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2图中的平行四边形ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD 的面积是多少？3求出图中线段AC 的长可作帮助线 。【答案】 1单位正三角形的高为，面积是。2如图可直接得出平行四边形ABCD 含有 24 个单位正三角形， 因此其面积。 3 过A作 AK BC 于点 K 如下图，就在 Rt ACK 中，故类型三：数学思想方法 一转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，经常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决3、如下图， ABC 是等腰直角三角形， AB=AC ， D 是斜边 BC 的中点， E、F 分别是 AB 、 AC 边上的点，且DE DF ，假设 BE=12 ， CF=5 求线段 EF 的长。思路点拨： 现已知 BE 、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，依据直角三角形的特点，三角形的中线有特别的性质，不妨先连接AD 解：连接AD 因为 BAC=90 °， AB=AC又由于AD为 ABC的中线，所以AD=DC=DB AD BC且BAD= C=45° EDA+ ADF=90 ° 又由于CDF+ ADF=90 °因所为以 EDA= CDF 所以 AED CFD ASA 所以AE=FC=5 同理：AF=BE=12 在 Rt AEF 中，依据勾股定理得：，所以 EF=13 。总结升华 ：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等学问。通过此题，我们可以明白：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同始终角三角形中求解。二方程的思想方法4、如下图，已知ABC 中， C=90 °， A=60 °，求、 、 的值。思路点拨： 由，再找出、 的关系即可求出和 的值。解：在 Rt ABC 中， A=60 °， B=90 ° -A=30 °，就，由勾股定理，得。由于，所以，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，。总结升华： 在直角三角形中， 30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。举一反三：【变式】如下图，折叠矩形的一边AD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm ， BC=10cm ，求 EF 的长。解 ： 因 为ADE 与 AFE 关于 AE 对称，所以 AD=AF ， DE=EF 。因 为 四 边形 ABCD 是矩形，所以 B= C=90°，在Rt ABF 中， AF=AD=BC=10cm ， AB=8cm ，所以。所以。设，就。在 Rt ECF 中，即，解得。即 EF 的长为 5cm。可编辑资料 - 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