初二数学上学期知识点和典型例题总结3.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -全等三角形类型一：全等三角形性质的应用1、如图， ABD ACE， AB=AC，写出图中的对应边和对应角.思路点拨 : AB=AC，AB和 AC是对应边， A 是公共角， A 和 A 是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析： AB和 AC是对应边， AD和 AE、BD和 CE是对应边， A 和 A 是对应角， B 和 C， AEC 和 ADB是对应角 .总结升华： 已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角。再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边. 已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角. 举一反三：【变式 1】如图， ABC DBE. 问线段 AE和 CD相等吗？为什么？【答案】证明：由 ABC DBE，得 AB=DB,BC=B，E就 AB-BE=DB-B，C 即 AE=CD。【变式 2】如右图，。求证： AECF【答案】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - AECF2、如图，已知 ABC DEF， A=30°， B=50°， BF=2，求 DFE的度数与 EC的长。思路点拨 :由全等三角形性质可知：DFE=ACB，EC+CF=BF+F，C所以只需求 ACB的度数与 BF的长即可。解析： 在 ABC中，ACB=180°- A- B，又 A=30°， B=50°，所以 ACB=10°0 .又由于 ABC DEF，所以 ACB= DFE，BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。所以 DFE=100°EC=EF-FC=BC-FC=FB。=2总结升华： 全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式 1】如下列图， ACD ECD， CEF BEF， ACB=90° .求证：（ 1）CD AB。（ 2） EFAC.【答案】1 ）由于 ACD ECD，所以 ADC=EDC（全等三角形的对应角相等） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 ADC+EDC=18°0，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ADC=EDC=9°0 .所以 CDAB.2 ）由于 CEF BEF,所以 CFE=BFE（全等三角形的对应角相等） .由于 CFE+BFE=180°，所以 CFE=BFE=90° .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 ACB=9°0所以 EFAC., 所以 ACB=BFE.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -类型二：全等三角形的证明3、如图， ACBD，DF CE， ECB FDA，求证： ADF BCE 思路点拨 :欲证 ADF BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判定仍缺少这角的另一边，可通过ACBD而得 解析： ACBD已知AB-BD AB-AC等式性质 即 ADBC在 ADF与 BCE中 ADF BCESAS总结升华： 利用全等三角形证明线段 角 相等的一般方法和步骤如下：(1) 找到以待证角 线段 为内角 边 的两个三角形，(2) 证明这两个三角形全等。(3) 由全等三角形的性质得出所要证的角 线段 相等举一反三：【变式 1】如图，已知 AB DC，ABDC，求证： ADBC【答案】 ABCD 3 4在 ABD和 CDB中 ABD CDBSAS 1 2 全等三角形对应角相等 ADBC内错角相等两直线平行 【变式 2】如图，已知 EB AD于 B，FC AD于 C，且 EBFC， ABCD 求证 AF DE【答案】 EBAD已知 EBD90° 垂直定义 同理可证 FCA90° EBD FCA ABCD， BCBC ACAB+BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -BC+CDBD在 ACF和 DBE中 ACF DBESAS AFDE全等三角形对应边相等 类型三：综合应用4、如图， AD为 ABC的中线。求证： AB+AC>2AD.思路点拨 :要证 AB+AC>2A，D由图想到： AB+BD>A，D AC+CD>A，D所以AB+AC+BC>2A，D所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。解析： 延长 AD至 E，使 DE=AD，连接 BE由于 AD为 ABC的中线， 所以 BD=CD.在 ACD和 EBD中，所以 ACD EBDSAS.所以 BE=CA.在 ABE中， AB+BE>A，E 所以 AB+AC>2AD.总结升华： 通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【变式 1】已知：如图，在RtABC中， AB=AC, BD的延长线于 E，求证： BD=2CE.【答案】分别延长CE、BA交于 F.由于 BE CF,所以 BEF=BAC=90° , 1=2，CE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BEC=90° .在 BEF和 BEC中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -所以 BEF BECASA.所以 CE=FE= CF.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于 BAC=90° ,BECF.所以 BAC=CAF=90°， 1+ BDA=9°0所以 BDA=BFC.在 ABD和 ACF中，所以 ABD ACFAAS， 1+BFC=90°.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 BD=CF所.以 BD=2CE.5、如图， ABCD，BE DF， B D，求证： 1AE CF，2AE CF， 3 AFE CEF思路点拨 :1直接通过 ABE CDF而得， 2 先证明 AEB CFD，3由12可证明 AEF CFE而得，总之，欲证两边 角 相等，找这两边 角所在的两个三角形然后证明它们全等解析：(1) 在 ABE与 CDF中 ABE CDFSASAE CF全等三角形对应边相等(2) AEB CFD全等三角形对应角相等 AE CF内错角相等，两直线平行(3) 在 AEF与 CFE中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - AEF CFESAS AFE CEF全等三角形对应角相等 总结升华： 在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角 边 作为判定另一对三角形全等的条件举一反三：【变式 1】如图，在 ABC中，延长 AC边上的中线 BD到 F，使 DF BD，延长 AB边上的中线 CE到 G，使 EGCE，求证 AF AG【答案】在 AGE与 BCE中 AGE BCESAS AGBC全等三角形对应边相等 在 AFD与 CBD中 AFD CBDSAS AFCB全等三角形对应边相等 AFAG等量代换 6、如图 ABAC，BDAC于 D，CEAB于 E，BD、CE相交于 F 求证： AF平分 BAC思路点拨 :如能证得得 AD=AE，由于 ADB、 AEC都是直角，可证得Rt ADF RtAEF，而要证 AD=AE，就应先考虑 Rt ABD与 RtAEC，由题意已知AB=AC， BAC是公共角，可证得Rt ABDRt ACE解析： 在 Rt ABD与 Rt ACE中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -Rt ABDRt ACEAASAD=AE全等三角形对应边相等 在 Rt ADF与 Rt AEF中Rt ADFRt AEFHL DAF=EAF全等三角形对应角相等 AF平分 BAC角平分线的定义 总结升华： 条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三：【变式 1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等【答案】依据题意，画出图形，写出已知，求证已知：如图，在 ABC与 ABC中 AB=A B， BC=BC， ADBC于 D，AD BC于 D 且 AD=AD 求证： ABC A B C证明： 在 Rt ABD与 Rt A B D中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结HL角相等 Rt ABD Rt ABD B=B 全等三角形对应在 ABC与 ABC中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - ABC ABCSAS【变式 2】已知，如图， AC、BD相交于 O，AC=BD， C D 90° 求证： OC=OD【答案】 C=D=90° ABD、 ACB为直角三角形在 RtABD和 Rt ABC中 RtABDRt ABCHL AD=BC在 AOD和 BOC中 AOD BOCAAS OD=OC7、 ABC中， AB=AC， D 是底边 BC上任意一点， DEAB， DFAC，CG AB垂足分别是 E、F、G.试判定：推测线段DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。思路点拨 : 寻求一题多解和多题一解是把握规律的捷径解析： 结论： DE+DF=CG方法一：（截长法）板书此种方法（3 分钟）作 DMCG于 MDE AB，CGAB， DMCG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -四边形 EDMG是矩形 DE=GMDM/AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 MDC=AB=AC B= FCD MDC=BFCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 DMCG， DFAC DMC= CFD在 MDC和 FCD中 MDC FCD（AAS） MC=DFDE+DF=GM+MC=CG总结升华：方法二（补短法）作CM ED交 ED的延长线于 M（证明过程略）总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化引申：假如将条件“ D是底边 BC上任意一点”改为“ D 是底边 BC的延长线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和 CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明举一反三：【变式 1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（ 2）补短法（ 3）面积法轴对称考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的熟悉典例 1以下几何图形中， 1 线段2 角3 直角三角形4 半圆，其中肯定是轴对称图形的有（）A1 个B2 个C 3 个D 4 个 2正 n 边形有 条对称轴，圆有 条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称典例： 1、如图， Rt ABC， C=90° , B=30° ,BC=8， D 为 AB中点，P 为 BC上一动点，连接AP、DP,就 AP+DP的最小值是AF2、已知等边ABC， E 在 BC的延长线上， CF 平分 DCE， P 为射线QBC上一点， Q 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BCF上一点，连接AP、PQ.如 AP=PQ，求证 APQ是多少度考点四、线段垂直平分线的性质线段是轴对称图形，它的对称轴是 PCE图（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线段的垂直平分线上的点到 相等归类回忆角平分线的性质角是轴对称图形，其对称轴是角平分线上的点到 相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -典例 1、如图， ABC中， A=90°， BD为 ABC平分线， DE BC， E 是 BC的中点，求C 的度数。2、 如图， ABC中， AB=AC，PB=PC，连 AP并延长交 BC于 D，求证： AD垂直平分 BCAABPEDBCEA DCDBC3、如图 ,DE 是ABC中 AC边的垂直平分线，如BC=8厘米， AB=10厘米，就EBC的周长为（）A.16 厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米4、 如图， BAC=3°0 ， P 是 BAC 平分线上一点，PM AC， PD AC， PD=28 ,就AM=5、如图，在RtABC中， ACB = 90°， BA C 的平分线交BC 于 D.过 C 点作BMPADCCGAB 于 G，交 AD于 E.过 D 点作 DFAB 于 F. 以下结论：A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 CED=CDE。S AEC S AEGAC AG 。 ADF=2 ECD。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S CEDSDFB。 CE=DF. 其中正确结论的序号是EGF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABCD考点五、等腰三角形的特点和识别CDB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典例 1、如图， ABC 中， AB=AC=，8 D在 BC上，过 D 作 DE AB 交 AC于 E，DFAC交 AB 于 F，就四边形 AFDE的周长为 。A2 、 如 图 ， ABC中 ， BD 、 CD分 别 平 分 ABC与 ACB ，EEF过DD F且 EFBC，如 AB = 7 ，BC = 8 ， AC = 6 ，就 AEF周长为 BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -A. 15B . 14C. 13D.18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 如图 , 点 B、D、F 在 AN上,C 、E 在 AM上，且AAB=BC=CD=ED=EF,A=20o, 就 FEB= 度_ NDFBCEM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，就它的一个底角的度数是5、 ABC中， DF 是 AB 的垂直平分线，交BC于 D， EG是 AC的垂直平分线，交BC于E，如 DAE=2°0 ，就 BAC等于°6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点动身，能将其剪成两个等腰三角形纸片，就原等腰三角形纸片的底角等于7、已知，在 ABC中， ACB=90°，点 D、E 在直线 AB上，且 AD=AC， BE=BC，就 DCE =度.A8、如图：在 ABC中， AB=AC，AD BC， DEAB 于点 E, DF AC于点 F。试说明 DE=DF。EFB DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -9、如图 ,E 在 ABC的 AC边的延长线上， D 点在 AB边上， DE交 BC于点 F，ADF=EF，BD=CE.求证： ABC是等腰三角形 .DBFCE考点六、等边三角形的特点和识别等边三角形的各 相等，各 相等并且每一个角都等于 三个角相等的三角形是 三角形有一个角是60°的 三角形是等边三角形特殊的：等边三角形的中线、高线、角平分线典例 1、以下推理中，错误选项A A B C， ABC 是等边三角形B AB AC，且 B C， ABC 是等边三角形C A 60°， B 60°， ABC 是等边三角形D AB AC， B 60°，ABC是等边三角形2、如图，等边三角形ABC中， D 是 AC的中点， E 为 BC延长线上一点，且CE CD， DM BC，垂足为 M。求证： M是 BE的中点。ADBMCE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -考点七、 30°所对的直角边是斜边的一半典例BD1、如图，是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁 AB 的中点，立柱BC、DE垂直A于横梁 AC， AB=8m， A=30°，就 DE等于（）ECA1mB 2mC3mD 4mC2、如图： ADC中， A = 15 °， D=90°， B 在 AC的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结垂直平分线上，AB =34，就 CD = A. 15B . 17C. 16D.以上全不对ABD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=40c，m C0=D0=30 cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度AOB刚好为 120°，求桌面到的面的距离是多少？ABAFEOCDBDC乙第 4 题图甲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结o4、如图， AB=AC，DE AB于 E，DFAC 于 F， BAC=120，就 DE+DF=BC=6，AE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BFC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、在 ABC 中，ABAC，A120， AB 的垂直平分线交BC 于点 D ，交 AB 于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 E 假如 DE1 ，求 BC 的长实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、（ 1）以下各数是否有平方根，请说明理由 （ -3 ） 2 02 -0.012（2） 以下说法对不对？为什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4 有一个平方根只有正数有平方根任何数都有平方根如 a 0，a 有两个平方根，它们互为相反数解：（ 1） （ -3 ） 2 和 0 2 有平方根，由于（-3 ） 2 和 0 2 是非负数。 - 0.01 2没有平方根，由于 -0.01 2是负数。（2）只有对，由于一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数。零的平方根是零。负数没有平方根。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、求以下各数的平方根：11923 0.3641649可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3、设，就以下结论正确选项（）A.B.C.D.解析：（估算）由于，所以选 B【变式 1】1） 1.25 的算术平方根是 。平方根是 .2 ） -27立方根是 . 3 ） ， ， .【答案】 1）。.2 ）-3. 3），【变式 2】求以下各式中的（1）（ 2）（3）【答案】（ 1）（ 2）x=4 或 x=-2 （ 3） x=-4例 4、判定以下说法是否正确（1）的算术平方根是 -3 。（ 2）的平方根是± 15.（3）当 x=0 或 2 时，解析：（ 1）错在对算术平方根的懂得有误，算术平方根是非负数. 故（2）表示 225 的算术平方根，即=15. 实际上，此题是求15 的平方根，故的平方根是.（3）留意到，当x=0 时，=，明显此式无意义，发生错误的缘由是忽视了“负数没有平方根”，故x 0，所以当 x=2 时， x=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载